STATICA PUNCTULUI MATERIAL

1. Notiuni Introductive

Punctul material - este o particula materiala ale carei dimensiuni pot fi neglijate, in care este concentrata intreaga sa masa.

Punctul material liber - este un punct material ce poate ocupa orice pozitie in spatiu. Pozitiile ocupate succesiv in spatiu sunt determinate de fortele care actioneaza asupra punctului material si sunt definite la un moment dat de trei parametri scalari independenti (coordonatele carteziene ale punctului: x, y, z).

Punctul material liber are trei grade de libertate

Punctul material supus la legaturi - ocupa anumite pozitii in spatiu.

ex.:

punctul material pe o suprafata - are doua grade de libertate;

punctul material pe o curba - are un singur grad de libertate;

punctul material fix in spatiu - nu are nici un grad de libertate.

2. Reducerea fortelor aplicate punctului material

Principiul paralelogramului

Pozitia rezultantei in raport cu cei doi vectori este data de relatiile teoremei sinusurilor:

(1.18)

Regula poligonului

(1.19)

Daca alegem un sistem de axe de coordonate Oxzy si notam cu (X_i,Y_i,Z_i) proiectiile fortei pe axe:

(1.20)

si cu (X,Y,Z) proiectiile rezultantei pe axe:

(1.21)

vom obtine:

   (1.22)

Proiectia rezultantei pe o axa este egala cu suma proiectiilor tuturor fortelor pe acea axa.

Daca: sistemul de forte este in echilibru.

• Marimea rezultantei:

(1.23)

Cosinusii directori:

(1.24)

Pentru cazul particular al fortelor coplanare (in planul Oxz), atunci:

(1.25)

unde: α - unghiul dintre directia rezultantei si directia axei Ox

3. Echilibrul fortelor aplicate punctului material

Teorema echilibrului punctului material:

Conditia necesara si suficienta ca un punct material liber, aflat initial in repaus, sa continue sa ramana in repaus sub actiunea unui sistem de forte dat, este ca acest sistem sa fie in echilibru, adica rezultanta sa sa fie egala cu 0.

(1.26)

Conditiile scalare de echilibru:

(1.27)

In particular:

Sistem de forte coplanar:

(1.28)

Sistem de forte coliniare:

(1.29)

In problemele de echilibru al punctului material liber se intalnesc urmatoarele situatii:

Se dau fortele care actioneaza asupra punctului si se cere sa se determine pozitia lui

Se da pozitia punctului si se cer fortele care actioneaza asupra lui;

Se dau o parte din forte si o   parte din parametrii ce caracterizeaza pozitia punctului si se cere sa se determine celelalte forte si ceilalti parametri de pozitie.

4. Punctul material supus la legaturi. Axioma legaturilor

Fie un punct material A, aflat in echilibru pe o suprafata (S) (fig.1.8), actionat de forte a caror rezultanta o notam cu .

Aplicand "axioma legaturilor", putem spune: orice legatura geometrica poate fi intotdeauna suprimata si inlocuita cu forte corespunzatoare, numite forte de legatura sau reactiuni.

Conditia necesara si suficienta pentru ca un punct material sa ramana in repaus:

(1.30)

Pe axele sistemului Oxyz:

(1.31)

Din punct de vedere al tipului de legaturi deosebim:

• rezemarea pe o curba;
• rezemarea pe o suprafata;
• prinderea cu fire.

Din punct de vedere al fortelor de frecare deosebim:

• legaturi fara frecare - suprafata sau curba este perfect lucioas;
• legaturi cu frecare - suprafata sau curba nu este perfect lucioasa.

5. Echilibrul punctului material supus la legaturi fara frecare (ideale)

Fie un punct material A, obligat sa ramana pe o suprafata S, actionat de forta direct aplicata si de o forta de legatura (fig.1.9).

unde:

- forta normala orientata pe directia (nn')

- forta tangentiala orientata dupa directia dreptei (Δ) de intersectie a planului ce contine directia (nn') si planul (P)

(1.33)

unde:

- reactiunea normala;

- forta de frecare de alunecare;

Componenta tinde sa indeparteze punctul A de pe suprafata (S), si efectul ei este anulat de normala , deci la echilibru:

(1.34)

Componenta tinde sa deplaseze punctul A pe suprafata (S) dupa o directie din planul tangent.

Se deosebesc doua cazuri:

1. cazul legaturii fara frecare:

deci va fi orientata pe directia (nn')

Rezulta ecuatia vectoriala de echilibru:

(1.35)

(1.36)

2. legaturi cu frecare:

Functia vectoriala de echilibru va fi:

(1.37)

(1.38)

6. Echilibrul punctului material supus la legaturi cu    frecare.. Legile frecarii uscate.

Pentru punerea in evidenta a fortei de frecare de alunecare se foloseste experimentul cu un aparat numit tribometru (fig.1.10).

Pana la o anumita valoare a fortei orizontale (F_max) corpul ramane pe loc. Reactiunea face cu normala un unghi α - este deci forta de frecare de alunecare.

In cazul in care forta si forta de frecare de alunecare capata valori maxime, unghiul α devine unghiul maxim φ, numit unghi de frecare.

Vom avea deci:

(1.39)

la limita: (1.40)

deoarece (1.41)

Legile frecarii uscate (legile lui Coulomb)

Marimea fortei de frecare de alunecare maxima este direct proportionala cu marimea reactiunii normale N;

depinde de natura si starea corpurilor;

nu depinde de marimea corpurilor aflate in contact ti nici de viteza relativa de deplasare a acestora.

Definim coeficientul de frecare de alunecare:

m tgφ                     (1.42)

Expresia fortei de frecare de alunecare maxima

(1.43)

Conditia pentru echilibru:

(1.44)