![]() | |
![]() |
![]() ![]() |
Politica de confidentialitate |
|
![]() | |
• domnisoara hus • legume • istoria unui galban • metanol • recapitulare • profitul • caract • comentariu liric • radiolocatia • praslea cel voinic si merele da aur | |
![]() |
NOTIUNI DE ALGEBRA VECTORIALA
Marimi scalare - pot fi complet caracterizate printr-un scalar (un numar pozitiv sau negativ). (ex.:timpul, temperatura, lungimea).
Marimile vectoriale - sunt acele marimi caracterizate prin punct de aplicatie, directie, sens si marime.
Vectorul este caracterizat prin
ur matoarele elemente
punct de aplicatie sau originea O
suportul sau sau directia Δ;
sensul de parcurs de la O la A;
marimea vectorului sau modulul sau
(1.1)
Din punct de vedere al originii vectorilor, deosebim:
a. Vectori liberi - a caror origine ocupa orice pozitie in spatiu, cu conditia pastrarii marimii, directiei si sensului (ex. viteza unui rigid in miscare de translatie)
b. Vectori alunecatori - a caror origine poate ocupa orice pozitie pe suportul propriu, cu conditia pastrarii marimii si sensului (ex. forta ce actioneaza asupra unui rigid)
c. Vectori legati - a caror origine ocupa un anumit loc in spatiu (o unica pozitie), (ex. forte ce actioneaza asupra unui punct material)
Vector echipotent - un vector liber avand directia paralela cu
directia unui vector , acelasi sens si
aceeasi marime cu vectorul
1. Vectorul Unitate
Fie ≠0 un vector liber. Numim
versorul lui
sau vectorul unitate, un vector
, al carui suport este paralel cu suportul vectorului
, are sensul lui
si modulul egal cu
unitatea:
(1.2)
2. Vector liber reprezentat Intr-o baza ortonormata
Consideram triedrul triortogonal drept Oxzy si un
vector liber (fig.1.2).
- sunt versorii axelor Ox, Oz, Oy.
Componentele
scalare ale vectorului pe axele Ox, Oy, Oz sunt: ax, ay, az.
Componentele
vectoriale ale vectorului
in sistemul Oxyz, sunt:
Reprezentarea vectorului in baza Oxyz, va fi:
(1.3)
Modulul vectorului
(1.4)
Cosinusii
directori ai directiei vectorului
(1.5)
Daca:
(1.6)
In cazul vectorului (fig. 1.3), acesta se
numeste vectorul de pozitie al punctului A:
(1.7)
3. Paralelismul si coplanaritatea vectorilor
Doi vectori
sunt paraleli (au
suporturile paralele), daca ( ) λ nenul astfel:
Trei vectori sunt coplanari daca
( ) simultan λ≠0, m≠0 astfel incat:
(1.9)
4. Operatii cu vectori
1. 2.4.1. Adunarea vectorilor
Suma a doi
vectori este
un vector
care reprezinta diagonala paralelogramului construit cu cei
doi vectori initiali (regula paralelogramului).
![]() |
Regula poligonului: daca se construieste un vector echipolent vectorului , avand originea in varful vectorului
, avand originea primului vector cu varful ultimului vector,
obtinem vectorul rezultant
(fig. 1.6).
Proprietatile adunarii vectorilor:
comutativitatea:
asociativitatea:
inmultirea unui vector cu un scalar m≠0:
Produsul scalar a doi vectori
Fie vectorii si
aplicati intr-un
punct O (fig. 1.7).
Produsul scalar a doi vectori este scalarul:
(1.10)
unde θ - unghiul dintre cei doi vectori
(1.11)
Proprietatile produsului scalar:
comutativitatea:
;
distributivitate fata de suma: ;
) m,n =>: ;
produsul
scalar a doi vectori identici:
produsul
este nul daca:
.
Expresia analitica a produsului scalar
(1.12)
Expresia versorului unui vector
:
(1.13)
Produsul vectorial a doi vectori
Fiind dati doi vectori liberi
reprezentati prin vectorii echivalenti, cu originea in O,
produsul vectorial al celor doi vectori va fi un vector
avand urmatoarele
proprietati:
marimea:
;
directia:
pe planul definit de
vectorii
;
sensul: este sensul de inaintare al burghiului care se roteste in sensul suprapunerii primului vector peste cel de al doilea pe drumul cel mai scurt (regula burghiului).
Proprietatile produsului vectorial:
necomutativitatea:
;
asociativitatea
la inmultirea cu scalari:
distributivitate
fata de suma: ;
║
.
Expresia analitica a produsului vectorial:
(1.14)
Produsul mixt a trei vectori
Fie vectorii aplicati in punctul O.
Se defineste produsul mixt al celor trei vectori scalarul:
(1.15)
Dublul produs vectorial a trei vectori
Fiind dati vectorii , definim produsul dublu vectorial al celor trei vectori,
vectorul:
(1.16)
|