Vectori si valori proprii - exercitii rezolvate

1. Calculati valorile si vectorii proprii pentru matricile:

a) ; b)

2. Stabiliti daca matricile de la exercitiul precedent se pot diagonaliza si, in caz afirmativ, scrieti forma lor diagonala.

3. Consideram aplicatia ,.

a)    Verificati daca T este transformare liniara.

b)    Scrieti matricea atasata lui T, .

c)    Calculati valorile si vectorii proprii atasati lui .

d)    Scrieti subspatiile proprii corespunzatoare transformarii T si stabiliti daca aceasta se poate diagonaliza.

e)    Scrieti, daca exista, matricea diagonalizatoare C si matricea diagonala D.

B) REZOLVARI

1. a) Construim polinomul caracteristic, .

Deci, . Rezolvam ecuatia caracteristica, , adica  si obtinem radacinile

,

care sunt valorile proprii corespunzatoare matricii A.

Vectorul propriu corespunzator valorii proprii : cautam , v de forma , pentru care . Inlocuim si obtinem:

Atunci,  este vectorul propriu corespunzator valorii proprii .

Vectorul propriu corespunzator valorii proprii : cautam , v de forma , pentru care . Inlocuim si obtinem:

Atunci,  este vectorul propriu corespunzator valorii proprii .

b) Construim polinomul caracteristic, .

Deci, . Rezolvam ecuatia caracteristica, , de unde obtinem radacinile:

,

care sunt valorile proprii corespunzatoare matricii A.

Vectorul propriu corespunzator valorii proprii : cautam , v de forma , pentru care . Inlocuim si obtinem:

Atunci,  este vectorul propriu corespunzator valorii proprii .

Vectorul propriu corespunzator valoriilor proprii egale : cautam , v de forma , pentru care . Inlocuim si obtinem:

Atunci, . Deci vectorul propriu corespunzator valoriilor proprii egale  este o combinatie liniara de vectorii .

2. Studiem daca matricea  este diagonalizabila: valorile proprii pe care le-am obtinut sunt , ambele cu ordin de multiplicitate egal cu 1 in ecuatia caracteristica, deci . Vectorii proprii genereaza urmatoarele subspatii proprii:

Deci, A se poate diagonaliza si forma ei diagonala este

Pentru matricea , valorile proprii sunt

,

cu ordinele de multiplicitate  si . Vectorii proprii genereaza urmatoarele subspatii proprii:

Pentru , dimensiunea o vom putea determina abia dupa ce vom studia liniar independenta vectorilor . Fie B matricea construita cu acesti doi vectori, . Un calcul simplu arata ca ea are rangul 2, egal cu numarul de vectori din care a fost construita. Deci,  sunt liniar ndependenti si deci .

Prin urmare, si pentru cazul b) de la exercitiul 1, matricea A este diagonalizabila. Forma ei diagonala este:

3. a) Aratam ca T este transformare liniara.

Fie  si fie . Aratam ca

Deci, aplicatia T este aplicatie liniara.

b)    Matricea atasata aplicatiei T este .

c)    Calculam valorile si vectorii proprii ai lui .

Construim polinomul caracteristic,

Deci, . Rezolvam ecuatia caracteristica, , de unde obtinem radacinile:

,

care sunt valorile proprii corespunzatoare matricii A, cu ordinele de multiplicitate  si .

Vectorul propriu corespunzator valorilor proprii egale : cautam , v de forma , pentru care . Inlocuim si obtinem:

Atunci, . Deci, vectorul propriu corespunzator valorilor proprii egale  este o combinatie liniara de vectorii .

Vectorul propriu corespunzator valorii proprii : cautam , v de forma , pentru care . Inlocuim si obtinem:

este vectorul propriu corespunzator valorii proprii .

d) Subspatiile proprii sunt:  si . Evident, .

Pentru a determina , studiem liniar independenta vectorilor si . Matricea construita cu ajutorul acestor doi vectori este si are rangul doi, egal cu numarul de vectori din care a fost construita. Atunci, .

Prin urmare, matricea  si implicit transformarea T sunt diagonalizabile. Matricea diagonala este , iar matricea diagonalizatoare este .

C) PROBLEME PROPUSE PENTRU AUTOEVALUARE

1. Calculati valorile si vectorii proprii pentru matricile:

a) ; b) ; c) ; d)

2. Stabiliti daca matricile de la exercitiul precedent se pot diagonaliza si, in caz afirmativ, scrieti forma lor diagonala.

3. Consideram aplicatia ,.

f)     Verificati daca T este transformare liniara.

g)    Scrieti matricea atasata lui T, .

h)    Calculati valorile si vectorii proprii atasati lui .

i)      Scrieti subspatiile proprii corespunzatoare transformarii T si stabiliti daca aceasta se poate diagonaliza.

j)      Scrieti, daca exista, matricea diagonalizatoare C si matricea diagonala D.