OPERATII CU MATRICE - considerente matematice

1. Adunarea a doua matrice

Fie A si B doua matrice de tipul (n, m), adica A= si B=. Definim matricea C= ale carei elemente sunt date de egalitatile c_ij=a_ij + b_ij, oricare ar fi i = 1, 2, ., n si j = 1, 2, ., m. matricea c se numeste suma dintre matricele A si B si se noteaza C = A + B.

2. Inmultirea a doua matrice

Fie A = o matrice de tipul (n, m) si B = de tipul (m, p). Definim matricea C = de tipul (n, p) ale carei elemente sunt date de egalitatile:

C_ik = a_i1b_1k + a_i2k_2k + . + a_imb_mk = oricare ar fi i = 1, 2, ., n si k = 1, 2, ., p. Matricea C se numeste produ sul dintre A si B (in aceasta ordine) si se noteaza C = AB. Operatia se numeste inmultire. Se observa ca are sens sa vorbim de produsul matricei A cu matricea B (in aceasta ordine) numai daca numarul de coloane ale lui A este egal cu numarul de linii ale matricei B.

3. Transpusa unei matrice

Fie A = o matrice de tipul (n, m). Matricea unde ^ta_ij = a_ji, pentru orice i = 1, 2, ., m; j = 1, 2, ., n se numeste transpusa matricei A. Se observa ca ^tA este o matrice de tipul (m, n) si se obtine din A luand liniile, respectiv coloanele, lui A drept coloane, respectiv linii, pentru ^tA (mai precis prima linie a lui ^tA este prima coloana a matricei A, a doua linie a lui ^tA este a doua coloana a lui A s. a. m. d.).

In particular, daca A este o matrice patratica de ordinul n, atunci transpusa sa ^tA este de asemenea o matrice patratica de ordinul n. Daca i = j atunci ^ta_ij = a_ji si deci diagonala principala a matricei ^tA este aceeasi cu diagonala principala a matricei A.

4. Determinanti de ordinul 2

Fie sistemul de doua ecuatii liniare cu doua necunoscute

. Sa notam cu A matricea coeficientilor sistemului, adica . A este o matrice patratica de ordinul doi.

Rezolvarea acestui sistem este bine cunoscuta.

Aplicand metoda reducerii obtinem sistemul echivalent .

Presupunem ca a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁ ¹ 0; atunci solutia sistemului este

, . Se observa ca numitorul din aceste egalitati se exprima simplu: el este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principala a matricei A din care se scade produsul elementelor de pe diagonala secundara a matricei A.

Acest numar se noteaza cu det A si se numeste determinantul matricei A, sau determinant de ordin doi (deoarece matricea A este de ordinul doi). Acest numar se noteaza de obicei si astfel:

. Deci avem egalitatea = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁. In formulele care dau solutiile sistemului initial, se observa ca numaratorul formulei care da valoarea lui x₁ este tot un determinant de ordinul doi, si anume determinantul matricei . Aceasta matrice se obtine din A inlocuind prima coloana din A cu coloana formata din elementele b₁ si b₂. Analog, numaratorul formulei care da valoarea lui x₂ este un determinant de ordinul doi, si anume determinantul matricei . Deci solutiile se pot rescrie sub forma , (*)

Formulele (*) poarta denumirea de formulele lui Cramer.

5. Determinanti de ordinul 3

Sa consideram acum un sistem de trei ecuatii liniare cu trei necunoscute.

. Sa notam cu A matricea coeficientilor, adica

. Rezolvarea sistemului se face prin metoda reducerii. Daca inmultim prima ecuatie cu a₂₃ si a doua cu -a₁₃ si le adunam, obtinem ecuatia

(a₁₁a₂₃ - a₃₁a₁₃)x₁ + (a₁₂a₂₃ - a₂₂a₁₃)x₂ = b₁a₂₃ - b₂a₁₃.

Analog, inmultim prima ecuatie cu a₃₃ si a treia cu -a₁₃ si apoi adunand, obtinem ecuatia:

(a₁₁a₃₃ - a₃₁a₁₃)x₁ + (a₁₂a₃₃ - a₃₂a₁₃)x₂ = b₁a₃₃ - b₃a₁₃.

Cu ecuatiile (1) si (2) formam un sistem cu doua ecuatii si doua necunoscute. Daca in acest sistem inmultim prima ecuatie cu a₁₂a₃₃ - a₃₂a₁₃ si a doua cu - (a₁₂a₂₃ - a₂₂a₁₃) si apoi le adunam, obtinem:

(3) (a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a ₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂)x₁ = b₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃b₃ + a₁₃b₂a₃₂ - a₁₃a₂₂b₃ - a₁₂b₂a₃₃ - b₁a₂₃a₃₂.

Numarul care este coeficientul lui x₁ in aceasta ecuatie il notam cu det A si il numim determinantul matricei A sau determinant de ordin trei (deoarece matricea A este o matrice de ordinul trei). Acest numar se noteaza de obicei si astfel: .

In ecuatia (3) se observa ca membrul doi este tot un determinant de ordinul trei si anume este determinantul matricei de ordinul trei care se obtine din matricea A, matricea coeficientilor, prin inlocuirea primei coloane cu coloana termenilor liberi din sistem. Deci formula (3) se poate scrie astfel: x₁ = .

Procedand exact asa cum am facut pentru obtinerea ecuatiei (3), avem si ecuatiile care dau valorile lui x₂ si x₃:

x₂ = si x₃ = .

Daca ¹ 0 atunci valorile lui x₁, x₂ si x₃ sunt:

, ,

Aceste formule se numesc, de asemenea, formulele lui Cramer de rezolvare a sistemelor de trei ecuatii cu trei necunoscute.

APLICATIA

Programul urmator ilustreaza operatiile de baza cu matrice: suma si produsul a doua matrice, transpusa unei matrice, determinantii de ordinul doi si trei.

uses fdelay,crt;

type matrice=array[1..10,1..10] of integer;

var w:integer;

a,b:matrice;

procedure citire(var a:matrice;n,m:integer;c:char);

var i,j:integer;

begin

writeln;

for i:=1 to n do

for j:=1 to m do

begin

write(c,'[',i,',',j,']=');

readln(a[i,j]);

end

end;

procedure scrie(a:matrice;n,m:integer);

var i,j:integer;

begin

writeln;

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to m do

write(a[i,j]:5);

writeln;

end;

readln;

end;

procedure suma;

var c:matrice;

n,m,i,j:integer;

begin

clrscr;

write('Dati numarul de linii ale matricelor de adunat: ');

readln(n);

write('Dati numarul de coloane ale matricelor de adunat: ');

readln(m);

writeln('Dati prima matrice: ');

citire(a,n,m,'A');

writeln('Dati a doua matrice :');

citire(b,n,m,'B');

for i:=1 to n do

for j:=1 to m do

c[i,j]:=a[i,j]+b[i,j];

writeln;

writeln('Suma celor matrice este: ');

scrie(c,n,m);

end;

procedure produs;

var c:matrice;

n,m,p,k,i,j:integer;

begin

clrscr;

write('Dati numarul de linii ale primei matrice: ');

readln(n);

write('Dati numarul de coloane ale primei matrice: ');

readln(m);

write('Dati numarul de coloane ale matricei a doua: ');

readln(p);

writeln('Dati prima matrice: ');

citire(a,n,m,'A');

writeln('Dati a doua matrice :');

citire(b,m,p,'B');

for i:=1 to n do

for j:=1 to p do

begin

c[i,j]:=0;

for k:=1 to m do

c[i,j]:=c[i,j]+a[i,k]*b[k,j];

end;

writeln;

writeln('Produsul celor matrice este: ');

scrie(c,n,p);

end;

procedure transpusa;

var a,t:matrice;

n,m,i,j:integer;

begin

clrscr;

write('Dati numarul de linii ale matricei de transpus: ');

readln(n);

write('Dati numarul de coloane ale matricei de transpus: ');

readln(m);

writeln('Dati matricea: ');

citire(a,n,m,'A');

for i:=1 to n do

for j:=1 to m do

t[j,i]:=a[i,j];

writeln;

writeln('Matricea transpusa este: ');

scrie(t,m,n);

end;

procedure determinant2;

var a:matrice;

d:longint;

begin

clrscr;

writeln('Dati o matrice cu doua linii si doua coloane:');

citire(a,2,2,'A');

d:=a[1,1]*a[2,2]-a[2,1]*a[1,2];

write('Determinantul matricei este = ',d);

readln;

end;

procedure determinant3;

var a:matrice;

d:longint;

begin

clrscr;

writeln('Dati o matrice cu trei linii si trei coloane:');

citire(a,3,3,'A');

d:=a[1,1]*a[2,2]*a[3,3]+a[1,2]*a[2,3]*a[3,1]+a[1,3]*a[2,1]*a[3,2];

d:=d-a[1,3]*a[2,2]*a[3,1]-a[1,2]*a[2,1]*a[3,3]-a[1,1]*a[2,3]*a[3,2];

write('Determinantul matricei este = ',d);

readln;

end;

procedure meniu;

begin

clrscr;

writeln(' 1. SUMA A DOUA MATRICE');

writeln(' 2. PRODUSUL A DOUA MATRICE ');

writeln(' 3. TRANSPUSA UNEI MATRICE');

writeln(' 4. DETERMINANT DE ORDIN DOI');

writeln(' 5. DETERMINANT DE ORDIN TREI');

writeln(' 6. TERMINARE PROGRAM');

writeln;

writeln('ALEGETI INTRE 1 SI 6');

end;

begin

repeat

repeat

meniu;

readln(W);

until (W>=1) and (W<=6);

case W of

1:SUMA;

2:PRODUS;

3:TRANSPUSA;

4:DETERMINANT2;

5:DETERMINANT3;

end;

until w=6;

end.

BIBLIOGRAFIE

1. C. Nastasescu, I. Stanescu, C. Nita - MATEMATICA, elemente de algebra superioara, manual pentru clasa a IX-a, E.D.P. - Bucuresti, 1999

2. T. Sorin, INFORMATICA, manual pentru clasa a IX-a, Ed. Infomat, -

Bucuresti, 1999

3. T. Sorin, INFORMATICA, manual pentru clasa a X-a, Ed. Infomat, -

Bucuresti, 1999