Document, comentariu, eseu, bacalaureat, liceu si facultate
Top documenteAdmitereTesteUtileContact
      
    


 


Ultimele referate adaugate

Adauga referat - poti sa ne ajuti cu un referat?

Politica de confidentialitate



Ultimele referate descarcare de pe site
  CREDITUL IPOTECAR PENTRU INVESTITII IMOBILIARE (economie)
  Comertul cu amanuntul (economie)
  IDENTIFICAREA CRIMINALISTICA (drept)
  Mecanismul motor, Biela, organe mobile proiect (diverse)
  O scrisoare pierduta (romana)
  O scrisoare pierduta (romana)
  Ion DRUTA (romana)
  COMPORTAMENT PROSOCIAL-COMPORTAMENT ANTISOCIAL (psihologie)
  COMPORTAMENT PROSOCIAL-COMPORTAMENT ANTISOCIAL (psihologie)
  Starea civila (geografie)
 

Ultimele referate cautate in site
   domnisoara hus
   legume
    istoria unui galban
   metanol
   recapitulare
   profitul
   caract
   comentariu liric
   radiolocatia
   praslea cel voinic si merele da aur
 
OPERATII CU MATRICE - considerente matematice

OPERATII CU MATRICE - considerente matematice


1. Adunarea a doua matrice

Fie A si B doua matrice de tipul (n, m), adica A= si B=. Definim matricea C= ale carei elemente sunt date de egalitatile cij=aij + bij, oricare ar fi i = 1, 2, ., n si j = 1, 2, ., m. matricea c se numeste suma dintre matricele A si B si se noteaza C = A + B.


2. Inmultirea a doua matrice




Fie A = o matrice de tipul (n, m) si B = de tipul (m, p). Definim matricea C = de tipul (n, p) ale carei elemente sunt date de egalitatile:

Cik = ai1b1k + ai2k2k + . + aimbmk = oricare ar fi i = 1, 2, ., n si k = 1, 2, ., p. Matricea C se numeste produ sul dintre A si B (in aceasta ordine) si se noteaza C = AB. Operatia se numeste inmultire. Se observa ca are sens sa vorbim de produsul matricei A cu matricea B (in aceasta ordine) numai daca numarul de coloane ale lui A este egal cu numarul de linii ale matricei B.


3. Transpusa unei matrice

Fie A = o matrice de tipul (n, m). Matricea unde taij = aji, pentru orice i = 1, 2, ., m; j = 1, 2, ., n se numeste transpusa matricei A. Se observa ca tA este o matrice de tipul (m, n) si se obtine din A luand liniile, respectiv coloanele, lui A drept coloane, respectiv linii, pentru tA (mai precis prima linie a lui tA este prima coloana a matricei A, a doua linie a lui tA este a doua coloana a lui A s. a. m. d.).

In particular, daca A este o matrice patratica de ordinul n, atunci transpusa sa tA este de asemenea o matrice patratica de ordinul n. Daca i = j atunci taij = aji si deci diagonala principala a matricei tA este aceeasi cu diagonala principala a matricei A.


4. Determinanti de ordinul 2

Fie sistemul de doua ecuatii liniare cu doua necunoscute

. Sa notam cu A matricea coeficientilor sistemului, adica . A este o matrice patratica de ordinul doi.

Rezolvarea acestui sistem este bine cunoscuta.

Aplicand metoda reducerii obtinem sistemul echivalent .

Presupunem ca a11a22 - a12a21 ¹ 0; atunci solutia sistemului este

, . Se observa ca numitorul din aceste egalitati se exprima simplu: el este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principala a matricei A din care se scade produsul elementelor de pe diagonala secundara a matricei A.

Acest numar se noteaza cu det A si se numeste determinantul matricei A, sau determinant de ordin doi (deoarece matricea A este de ordinul doi). Acest numar se noteaza de obicei si astfel:

. Deci avem egalitatea = a11a22 - a12a21. In formulele care dau solutiile sistemului initial, se observa ca numaratorul formulei care da valoarea lui x1 este tot un determinant de ordinul doi, si anume determinantul matricei . Aceasta matrice se obtine din A inlocuind prima coloana din A cu coloana formata din elementele b1 si b2. Analog, numaratorul formulei care da valoarea lui x2 este un determinant de ordinul doi, si anume determinantul matricei . Deci solutiile se pot rescrie sub forma , (*)

Formulele (*) poarta denumirea de formulele lui Cramer.


5. Determinanti de ordinul 3

Sa consideram acum un sistem de trei ecuatii liniare cu trei necunoscute.

. Sa notam cu A matricea coeficientilor, adica

. Rezolvarea sistemului se face prin metoda reducerii. Daca inmultim prima ecuatie cu a23 si a doua cu -a13 si le adunam, obtinem ecuatia

(a11a23 - a31a13)x1 + (a12a23 - a22a13)x2 = b1a23 - b2a13.

Analog, inmultim prima ecuatie cu a33 si a treia cu -a13 si apoi adunand, obtinem ecuatia:

(a11a33 - a31a13)x1 + (a12a33 - a32a13)x2 = b1a33 - b3a13.

Cu ecuatiile (1) si (2) formam un sistem cu doua ecuatii si doua necunoscute. Daca in acest sistem inmultim prima ecuatie cu a12a33 - a32a13 si a doua cu - (a12a23 - a22a13) si apoi le adunam, obtinem:

(3) (a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a 32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32)x1 = b1a22a33 + a12a23b3 + a13b2a32 - a13a22b3 - a12b2a33 - b1a23a32.

Numarul care este coeficientul lui x1 in aceasta ecuatie il notam cu det A si il numim determinantul matricei A sau determinant de ordin trei (deoarece matricea A este o matrice de ordinul trei). Acest numar se noteaza de obicei si astfel: .

In ecuatia (3) se observa ca membrul doi este tot un determinant de ordinul trei si anume este determinantul matricei de ordinul trei care se obtine din matricea A, matricea coeficientilor, prin inlocuirea primei coloane cu coloana termenilor liberi din sistem. Deci formula (3) se poate scrie astfel: x1 = .

Procedand exact asa cum am facut pentru obtinerea ecuatiei (3), avem si ecuatiile care dau valorile lui x2 si x3:

x2 = si x3 = .

Daca ¹ 0 atunci valorile lui x1, x2 si x3 sunt:

, ,

Aceste formule se numesc, de asemenea, formulele lui Cramer de rezolvare a sistemelor de trei ecuatii cu trei necunoscute.


APLICATIA


Programul urmator ilustreaza operatiile de baza cu matrice: suma si produsul a doua matrice, transpusa unei matrice, determinantii de ordinul doi si trei.


uses fdelay,crt;

type matrice=array[1..10,1..10] of integer;

var w:integer;

a,b:matrice;


procedure citire(var a:matrice;n,m:integer;c:char);

var i,j:integer;

begin

writeln;

for i:=1 to n do

for j:=1 to m do

begin

write(c,'[',i,',',j,']=');

readln(a[i,j]);

end

end;


procedure scrie(a:matrice;n,m:integer);

var i,j:integer;

begin

writeln;

for i:=1 to n do

begin

for j:=1 to m do

write(a[i,j]:5);

writeln;

end;

readln;

end;


procedure suma;

var c:matrice;

n,m,i,j:integer;

begin

clrscr;

write('Dati numarul de linii ale matricelor de adunat: ');

readln(n);

write('Dati numarul de coloane ale matricelor de adunat: ');

readln(m);

writeln('Dati prima matrice: ');

citire(a,n,m,'A');

writeln('Dati a doua matrice :');

citire(b,n,m,'B');

for i:=1 to n do

for j:=1 to m do

c[i,j]:=a[i,j]+b[i,j];

writeln;

writeln('Suma celor matrice este: ');

scrie(c,n,m);

end;



procedure produs;

var c:matrice;

n,m,p,k,i,j:integer;

begin

clrscr;

write('Dati numarul de linii ale primei matrice: ');

readln(n);

write('Dati numarul de coloane ale primei matrice: ');

readln(m);

write('Dati numarul de coloane ale matricei a doua: ');

readln(p);

writeln('Dati prima matrice: ');

citire(a,n,m,'A');

writeln('Dati a doua matrice :');

citire(b,m,p,'B');

for i:=1 to n do

for j:=1 to p do

begin

c[i,j]:=0;

for k:=1 to m do

c[i,j]:=c[i,j]+a[i,k]*b[k,j];

end;

writeln;

writeln('Produsul celor matrice este: ');

scrie(c,n,p);

end;



procedure transpusa;

var a,t:matrice;

n,m,i,j:integer;

begin

clrscr;

write('Dati numarul de linii ale matricei de transpus: ');

readln(n);

write('Dati numarul de coloane ale matricei de transpus: ');

readln(m);

writeln('Dati matricea: ');

citire(a,n,m,'A');

for i:=1 to n do

for j:=1 to m do

t[j,i]:=a[i,j];

writeln;

writeln('Matricea transpusa este: ');

scrie(t,m,n);

end;



procedure determinant2;

var a:matrice;

d:longint;

begin

clrscr;

writeln('Dati o matrice cu doua linii si doua coloane:');

citire(a,2,2,'A');

d:=a[1,1]*a[2,2]-a[2,1]*a[1,2];

write('Determinantul matricei este = ',d);

readln;

end;



procedure determinant3;

var a:matrice;

d:longint;

begin

clrscr;

writeln('Dati o matrice cu trei linii si trei coloane:');

citire(a,3,3,'A');

d:=a[1,1]*a[2,2]*a[3,3]+a[1,2]*a[2,3]*a[3,1]+a[1,3]*a[2,1]*a[3,2];

d:=d-a[1,3]*a[2,2]*a[3,1]-a[1,2]*a[2,1]*a[3,3]-a[1,1]*a[2,3]*a[3,2];

write('Determinantul matricei este = ',d);

readln;

end;


procedure meniu;

begin

clrscr;

writeln(' 1. SUMA A DOUA MATRICE');

writeln(' 2. PRODUSUL A DOUA MATRICE ');

writeln(' 3. TRANSPUSA UNEI MATRICE');

writeln(' 4. DETERMINANT DE ORDIN DOI');

writeln(' 5. DETERMINANT DE ORDIN TREI');

writeln(' 6. TERMINARE PROGRAM');

writeln;

writeln('ALEGETI INTRE 1 SI 6');

end;


begin

repeat

repeat

meniu;

readln(W);

until (W>=1) and (W<=6);

case W of

1:SUMA;

2:PRODUS;

3:TRANSPUSA;

4:DETERMINANT2;

5:DETERMINANT3;

end;

until w=6;

end.







BIBLIOGRAFIE



1. C. Nastasescu, I. Stanescu, C. Nita - MATEMATICA, elemente de algebra superioara, manual pentru clasa a IX-a, E.D.P. - Bucuresti, 1999

2. T. Sorin, INFORMATICA, manual pentru clasa a IX-a, Ed. Infomat, -

Bucuresti, 1999

3. T. Sorin, INFORMATICA, manual pentru clasa a X-a, Ed. Infomat, -

Bucuresti, 1999