Fie o dreapta orientata d si un numar real nenul u. Daca fixam un punct W I
d, atunci transformarea ce asociaza fiecarui punct O I d punctul M definit
de relatia i3t13tz
WM = u WO (H) se numeste omotetie de centru W si raport u pe d. Daca u > 0, omotetia este
directa, iar daca u < 0, se numeste indirecta. Omotetia inversa omotetiei
(H) asociaza fiecarui punct M I d punctul O definit de relatia
WO = WM (H’)
Daca presupunem definit un sistem de coordonate S : d ® R cu originea W
si notam coordonatele punctelor O si M cu t = S(O), s = S(M), atunci omotetiile
(H) si (H’) au reprezentarea analitica s = u t si respectiv t = s
Omotetia poate fi privita ca o miscare. De exemplu, sa consideram punctul O’
definit de relatia
OO’ = a OM (H1) a fiind un numar pozitiv subunitar. Daca fixam punctul A dat de egalitatea
OA = OM si definim sistemul de coordonate SA : d ® R cu proprietatea SA(O) = 0,
SA(A) = 1, atunci punctelor O’ si M li se asociaza coordonatele s1 = SA(O’),
s = SA(M) intre care exista relatia s1 = a s (*) aceasta fiind expresia analitica a omotetiei (H1) de centru O si raport a in
sistemul de coordonate SA. Pe de alta parte, daca in (*) efectuam schimbarea
de coordonate s = u t (**) si notam v = a u, atunci (*) devine s1 = v t (***)
Prin ultimele doua relatii, omotetia (H1) de centru O si raport a = depinde
de coordonata t = S(O). Daca t parcurge multimea R+ a numerelor reale pozitive,
atunci punctele O, O’ si M parcurg semidreapta pozitiva cu originea W
in sistemul de coordonate S, iar punctele O’ si M parcurg semidreapta
pozitiva cu originea O in sistemul de coordonate SA. Deci putem vorbi
de o miscare (deplasare) duala a punctelor O, O’, M -; sau a omotetiei
(H1) - pe dreapta d. Deplasarea “externa” a omotetiei (H1) in
sistemul de referinta S o numim “absoluta”, iar deplasarea “interna”
a omotetiei (H1) in sistemul de coordonate SA o numim “relativa”.
Asa cum rezulta din relatiile (**) si (***), in sistemul de coordonate
SA miscarea se exprima prin doua tipuri de coordonate, unele variabile, dependente
de punctul caruia i se asociaza si altele fixe, independente de aceste puncte.
Este vorba despre coordonatele s = SA(M), s1 = SA(O’) si respectiv t =
S(O). Pe de alta parte, in primul caz unitatile de masura au valori fixe,
independente de punctele considerate, iar in al doilea caz acestea au
valori variabile, care depind de punctele considerate. Este vorba despre unitatea
de masura cu valoare unitara definita in sistemul de coordonate SA si
respectiv de unitatile de masura de marime v si u care au rezultat in
urma schimbarilor de coordonate. Mai precis, daca pe multimea S a segmentelor
definim o masura Sm : S ® R+ÈA0S cu proprietatea Sm(OO) = 0, Sm(OA)
= 1, atunci in cazul unitatii de masura m = OA definita de punctul unitate
A avem Sm(m) = 1, iar in cazul unitatilor de masura definite de relatiile h = OM, h1 = OO’ din (**), (***) si relatiile
OM = s m = t h, OO’ = s1 m = t h1 rezulta h = u m, h1 = v m, deci Sm(h) = u, Sm(h1) = v.
Daca unitatile de masura si coordonatele fixe le numim “absolute”,
iar pe cele care depind de punctul considerat le numim “relative”,
atunci putem afirma ca miscarea in sistemul de coordonate SA se exprima
atit printr-un numar relativ de unitati absolute, cit si printr-un
numar absolut de unitati relative. Aceasta reprezentare duala a miscarii relative
a omotetiei (H1) definita de punctele O, O’, M in sistemul de coordonate
SA este datorata faptului ca omotetia (H) include (subordoneaza) omotetia (H1).
Daca nu tinem cont de aceasta subordonare, atunci utilizam relatiile (*) pentru
a exprima analitic omotetia (H1).
Putem relua observatiile de mai sus, daca ne referim la omotetia inversa (H’).
De exemplu, daca fixam punctul B dat de egalitatea
OB = OM si definim sistemul de coordonate TB : d ® R cu proprietatea TB(O) = 0,
TB(B) = 1, atunci punctelor O’ si M li se asociaza coordonatele t1 = TB(O’),
t = TB(M) intre care exista relatia t1 = a t (*’) aceasta fiind expresia analitica a omotetiei (H1) de centru O si raport a in
sistemul de coordonate TB. Pe de alta parte, daca in (*’) efectuam
schimbarea de coordonate t = s si avem in vedere ca a = , atunci (*’) devine t1 = s
Prin ultimele doua relatii, omotetia (H1) de centru O si raport a = depinde
de coordonata s = S(M). Daca s parcurge multimea R+ a numerelor reale pozitive,
atunci punctele O’ si M parcurg semidreapta pozitiva cu originea O in
sistemul de coordonate TB, iar omotetia (H1) parcurge semidreapta pozitiva cu
originea W in sistemul de coordonate S. Deci putem vorbi de o miscare
absoluta a omotetiei (H1) pe dreapta d, exprimata prin coordonata absoluta s
= S(M), cit si de o miscare relativa a omotetiei (H1) pe dreapta d, exprimata
prin coordonatele relative t1 = s si t = s.
Reluam observatiile de mai sus, pornind de la un segment oarecare OM I
d. Fie o dreapta orientata d si fie puctele O < A < B I d. Daca
pe dreapta d definim un sistem carezian de coordonate SA : d ® R cu proprietatea
SA(O) = 0, SA(A) = 1, cit si un sistem cartezian de coordonate TB : d
® R cu proprietatea TB(O) = 0, TB(B) = 0, iar pe multimea S a segmentelor
definim o masura Sm : S ® R+ÈA0S cu proprietatea Sm(OO) = 0, Sm(OA)
= 1, cit si o masura Th : S ® R+ÈA0S cu proprietatea Th(OO)
= 0, Th(OB) = 1, atunci spunem ca pe dreapta d am definit un sistem de referinta
cu originea O, sau ca punctului O i-am asociat un sistem de referinta. Notam
cu S acest sistem de referinta si cu m = OA, h = OB unitatile de masura definite
de punctele unitate A si B.
Intr-un sistem de referinta exista urmatoarea relatie de echivalenta intre
unitatile de masura definite in sistemul de referinta respectiv si coordonatele
care se asociaza unui punct: fixarea in mod arbitrar a unitatilor de masura
si determinarea in mod canonic a coordonatelor este echivalent cu fixarea
in mod arbitrar a coordonatelor si determinarea in mod canonic a
unitatilor de masura.
Intr-adevar, daca notam cu s = SA(M), t = TB(M) coordonatele care se asociaza
unui punct M de pe semidreapta pozitiva cu originea O, atunci segmentului OM
i se asociaza masurile s = Sm(OM), t = Th(OM) si putem scrie
OM = s m = t h (a)
intre unitatile de masura m, h exista relatiile h = u m, m = h (b) unde u = Sm(h), = Th(m), iar conform (a) si (b) rezulta ca intre coordonatele
s, t exista relatiile s = u t, t = s (1)
Invers, din (a) si (1) rezulta (b), deci schimbarile de unitati de masura (b)
sint echivalente cu schimbarile de coordonate (1).
Unitatile de masura fixate in mod arbitrar sint definite de punctele
unitate A si B din sistemele de coordonate SA si respectiv TB, iar coordonatele
determinate in mod canonic sint coordonatele s = SA(M), t = TA(M).
Coordonatele “importate” fixate pe axele de coordonate ale sistemelor
carteziene SA si TB, t si respectiv s, cit si unitatile de masura h si
respectiv m definite de acestea (h este un segment de marime u determinat de
coordonata t pe axa sistemului cartezian SA, iar m este un segment de marime
determinat de coordonata s pe axa coordonatelor sistemului cartezian TB), reprezinta
cordonatele fixate in mod arbitrar si respectiv unitatile de masura determinate
in mod canonic.
Prin “schimbarea” unitatilor de masura sau a coordonatelor se inlocuieste,
in dublu sens, un anumit tip de unitati de msura sau coordonate cu un
alt tip de unitati de masura si respectiv coordonate. Daca utilizam termenii
de “relativ” si “absolut” in loc de “determinat
in mod canonic” si respectiv de “fixat in mod arbitrar”,
atunci putem afirma ca intr-un sistem de referinta, un segment se reprezinta
atit printr-un numar relativ de unitati absolute, cit si printr-un
numar absolut de unitati relative. Un exemplu, in acest sens, este segmentul
OM descris de relatiile (a). Un alt exemplu este dat in continuare.
Sa consideram segmentul OO’ I OM definit de relatia
OO’ = a OM (H1) unde a este un numar pozitiv subunitar. Daca amplificam relatiile (a), (b) si
(1) cu factorul a si efectuam notatiile m1 = a m, h1 = a h, s1 = a s, t1 = a
t, v = a u, atunci segmentul OO’ se reprezinta printr-un numar relativ
de unitati absolute si printr-un numar absolut de unitati relative conform relatiilor
OO’ = s1 m = t h1, OO’ = t1 h = s m1 (a1) unde unitatile de masura relative se exprima in functie de cele absolute
conform relatiilor h1 = v m , m1 = h (b1) iar coordonatele relative se exprima in functie de cele absolute conform
relatiilor s1 = v t, t1 = s (2)
Sa mai remarcam ca daca schimbam originea sistemului de referinta S din punctul
O in punctul O’, atunci coordonatele s2, t2 care se asociaza punctului
M in raport cu noua origine a sistemului de referinta S sint date
de relatiile s2 = s - v t, t2 = t - s (3)
Desigur ca exista un punct W < O si un sistem de coordonate S : d ® R
cu originea in punctul W astfel ca punctele W, O si M definesc omotetiile
de centru W exprimate de relatile
WM = u WO, WO = WM (H) avind reprezentarea analitica (1) in sistemul de coordonate S. Daca
notam cu m unitatea de masura in cazul sistemului de coordonate S, aceasta
poate fi determinata pe baza relatiei s m = (s -; t) m sau, echivalent, pe baza relatiei t h = (s -; t) m acestea rezultind pe baza egalitatii
OM = WM - WO
in care am tinut cont de (a) si de faptul ca WO = t m, WM = s m.
Se constata ca daca pornim de la un segment arbitrar OM I d, prin intermediul
sistemului de referinta S asociat puctului O putem determina omotetiile din
care face parte acest segment -; in acest caz am pus in evidenta
omotetiile de centru W si raport u si respectiv , definite de relatiile (H)
in sistemul de coordonate S, cit si omotetiile de centru O si raport
a = definite de relatia (H1) in sistemele de coordonate SA, TB.
Vom spune ca in sistemul de referinta S fixat prin coordonatele absolute
t = S(O), s = S(M), schimbarile de coordonate (1), (2) si (3) definesc miscarea
relativa a punctelor O’, M in in raport cu punctul O, respectiv
miscarea relativa a punctului M in raport cu punctul O’ in
sistemele de cordonate SA si TB cu originea O.
Relatiile (3) au fost deduse in ipoteza ca O < O’ si deci O’M
= OM -; OO’. Daca am fi pornit de la ipoteza ca O’ < O (in
cazul omotetiei (H1) indirecte, a < 0), atunci ar fi trebuit sa luam in
considerare egalitatea
O’M = O’O + OM (I) si am fi obtinut relatiile s2 = s + v t, t2 = t + s (31)
in locul relatiilor (3). Putem sa exprimam acest caz, daca schimbam punctele
O si O’ intre ele, adica punctul O il notam cu O’, iar
punctul O’ il notam cu O. Ca urmare, relatia (I) devine
OM = OO’ + O’M iar relatia (H1) se scrie
OO’ = a O’M (H2)
In acest caz, sistemul de referinta asociat punctului O’ il notam
cu S’, acesta fiind definit de sistemele de coordonate S’A, T’B
cu originea O’, iar coordonatele s, t, s1, t1, s2 si t2 le notam cu s’,
t’, s’1, t’1, s’2 si respectiv t’2 (unitatile
de masura m, h nu sint afectate de aceste notatii). Va rezulta ca in
sistemul de referinta S’ asociat punctului O’, fixat prin coordonatele
absolute t’ = S(O’), s’ = S(M) in sistemul de coordoate
S cu originea W, schimbarile de coordonate s' = u t', t' = s' (1') si respectiv s'1 = v t', t'1 = s' (2') definesc miscarea relativa a punctelor O, M in raport cu punctul O’
in sistemele de cordonate S’A si T’B cu originea O’,
iar schimbarile de coordonate s'2 = s' + v t', t'2 = t' + s' (3') definesc miscarea relativa a punctului M in raport cu punctul O in
aceste sisteme de coordonate. Acum putem compara coordonatele asociate punctului
M in raport cu punctul O in sistemele de referinta S si S’,
asadar coordonatele s, t date de (1) cu coordonatele s’2, t’2 date
de (3’) (in cazul relatiilor (3) si (31), aceasta comparare ar fi
fost mai dificila). Va rezulta sistemul de ecuatii s = k (s' + v t'), t = k (t' + s') (4) care, rezolvat in raport cu s', t', conduce la solutiile s' = k (s - v t), t' = k (t - s) (4') daca factorul k are valoarea k = (5)
Constatam ca daca factorul k are valoarea data de (5), atunci ecuatiile (4)
sint solutiile sistemului de ecuatii (4’). Pe de alta parte, constatam
ca (4’) sint relatiile dintre coordonatele s’, t’ si
s2, t2 asociate punctului M in raport cu punctul O’ in sistemele
de de coordonate S’ si respectiv S. In concluzie, transformarle omotetice
(4) si (4’) exprima legatura dintre omotetiile distincte (H1) si (H2),
diferenta dintre acestea constind in faptul ca una este reala si
cealalta virtuala, deci una dintre aceste omotetii exita in realitate,
iar cealalta exista doar ca posibilitate.
Exemplu. Daca presupunem ca O, O’, M sint trei puncte materiale
aflate in miscare uniform-rectilinie pe o directie comuna, care au pornit
in acelasi moment de timp si din acelasi loc din spatiu, astfel ca punctele
O’ si M se deplaseaza in acelasi sens in sistemul de referinta
S asociat punctului O, iar punctele O si M se depaseaza in sensuri opuse
in sistemul de referinta S’ asociat punctului O’, atunci putem
utiliza relatiile de mai sus pentru descrierea acestor miscari, respectiv relatiile
(1), (2) (3) si (1’), (2’), (3’). In primul caz, intre
punctele O, O’, M exista intervalele spatiu-tip (s, t), (s1, t1), (s2,
t2) in locul-moment (s, t) in care se afla sistemul de referinta
S, iar in al doilea caz, intre acestea exista intervalele spatiu-timp
(s’, t’), (s’1, t’1), (s’2, t’2) in
locul-moment (s’, t’) in care se afla sistemul de referinta
S’. In aceste cazuri, sistemului de referinta ii atribuim dublul
rol de instrument de masura atit pentru spatiu, cit si pentru timp.
Prin urmare, pe axa coordonatelor sistemului de referinta reprezentam atit
coordonatele de spatiu, acestea fiind determinate de un segment m considerat
unitate de masura pentru spatiu, cit si coordonatele de timp, acestea
fiind determinate de un segment h considerat unitate de masura pentru timp.
Asa cum am remarcat, intr-un sistem de referinta raportul unitatilor de
masura este egal cu raportul coordonatelor asociate unui punct si poate fi orice
numar real -; deci daca fixam mai intii unitatile de masura
(caz in care se presuupun necunoscute coordonatele), determinam ulterior
coordonatele respective, iar daca fixam mai intii coordonatele (caz
in care coordonatele se presupun cunoscute), determinam ulterior unitatile
de masura. De exemplu, daca sint cunoscute coordonatele asociate punctului
M, raportul acestora fiind un numar c > u, atunci schimbarea de coordonate
s = c t implica schimbarea de unitati de masura h = c m. Ca urmare, unul dintre
segmentele m = OA sau h = OB va avea o marime diferita de cele considerate in
cazul precedent (in care s = u t).
Intr-un exemplu concret, sistemele de referinta S si S’ pot fi considerate
o sosea rectilinie si o platforma care se deplaseaza pe sosea cu viteza constanta
v, iar punctul M, un observator care se deplaseaza in acelasi sens cu
platforma, cu viteza constanta u pe sosea - caz in care acesta va avea
viteza u -; v fata de platforma, sau cu viteza u pe platforma - caz in
care acesta va avea viteza u + v fata de sosea. Alegerea variantei de deplasare
cu viteza constanta u -; pe sosea sau pe platforma -; este o decizie
a observatorului pe care acesta o poate lua atit in locul-moment
initial (in care incepe miscarea), cit si in orice alt
loc-moment. Asa cum se constata din relatiile (4), (4’), intervalul spatiu-timp
real parcurs de observator intr-un sistem de referinta poate fi cel mult
proportional cu intervalul spatiu-timp virtual parcurs de observator intr-un
alt sisem de referinta. Din acest motiv, schimbarea sistemului de referinta
- sau trecerea dintr-un sistem de referinta in altul - afecteaza (fizic)
observatorul cu factorul de inertie k dat de (5).