q6z17zk

Fie P multimea punctelor unui plan.

DEFINITIE. O functie f :P®P sau o restrictie a unei asemenea functii se numeste transformarea geometrica.

Asadar, transformarea f este denumirea geometrica a functiei. Daca F este o figura geometrica (o submultime de pumcte ale planului P), atunci
F(F)=Af(F)| F I FS

Se numeste Imaginea multimii F prin transformarea f (f(F) se mai numeste transformarea figurii F prin f; f(F)= F” este transformatul punctului F prin f sau imaginea punctului F prin f)
Atunci cand utilizam transformarile geometrice in rezolvarrea unor probleme de geometrie (aici discutam translatia si omoteria) trebuie sa stim :
1) sa precizam elementele care definesc transformarile geometrice.
2) sa construim imaginea unui punct printr-o transformare geometrica.
3) sa construim imaginea unei figuri printr-o transformare geometrica.
4) sa determinam punctele care corespund printr-o transformare geometrica.

1) Translatia in plan

DEFINITIE: Fie v un vector dat. Se numeste transltie de vector v , functia care asociaza fiecarui punct M din planul P astfel incat :
MM’= v .

Deci T v (M) = M’. MM’= v ; M’ este imaginea lui M prin T v .

V M’

M

Este interesant de vazut comportamentul unor figuri geometrice simple in urma unei translatii.Mai precis de stabilit care sunt elementele acestor figuri care se conserva (care nu se schimba-lungimea segmentului, masura unghiului, etc.)
Vom considera v un vector nenul (acesta fiind cazul interesant)

PROPRIETATI:

T1: Translatia de vector v conserva lungimea unui segment.

Demonstratie. Fie segmentul aABi. B B’
Demonstrati ( prin dubla incluziune) ca
T v (aABi)=a A’B’i, unde
A’= T v (A), B’=T v (B) (figura 1.)
Cum patrulaterul AA’B’B este paralelogram, v deducem ca AB= A’B’. A A’ v
Figura 1.

T2: Translatia de vector v duce o dreapta intr-o dreapta oaralela cu cea data.

T v (d)= d’ , d || d’. d d’

Demonstratie: Fie d o dreapta in planul P.
Aratati prin dubla incluziune egalitatea V
T v (d)=d’ , unde d’ || d (Figura 2.)
OBS: Translatia de vector v conserva
Paralelismul a doua drepte.

V
. Figura 2.

T3: Translatia de vector v conserva coliniaritatea unor puncte si ordinea lor.

Mai precis aratati ca daca A,B,C, sunt coliniare, atunci T v(A), T v(B), T v(C) sunt de asemenea coliniare ( figura 3). ( utilizati Teorema lui Euclid ), iar daca BIaABi, atunci
T v(B) I aT v(A) T v(C)i.

d d’ d d’
C C’ C C’

B B’
V A A’
A A’

V V

Figura 3. B B’ Figura 4.

T4: Translatia conserva masura unghiurilor.

Demonstratie. Fie unghiul "ABC ( figura 4.). Atunci, T v("ABC)º"A’B’C’ si m("ABC)= m("A’B’C’). Din proprietatea T2 se deduce ca T v (aBA)=aB’A’ , AB || A’B’.
Analog T v (aBC)= aB’C’, BC || B’C’.
Unghiurile "ABC si "A’B’C’ fiind cu laturile paralele situate in acelasi semiplan fata de BB’ sunt congruente. ( figura 4.).

T5; Translatia coserva raportul lungimilor a doua segmente.

C V C’
Demonstratie. Fie punctele coliniare A,B,C,
( figura 5.) si vectorul v . Prin translatia de vector v obtinem punctele coliniare A’,B’,C’.
Tinand seama de T1 avem AB=A’B’, BC=B’C’ B B’ si deci BC/AB=B’C’/A’B’.

A A’ Figura 5.
T6: Translatia transforma un poligon intr-un pligon congruent cu cel dat.

Demonstratie. Se utilizeaza prorietatile T1 si T4, via congruenta poligoanelor.

T7: Compunerea a doua translatii de vectori V1 si V2 este tot o translatie de vector V1+V2 adica T v1· T v2= T V2+V1.

Demonstratie. Fie vectorii V 1 si V 2
(figura 6.) si MI P. Prin translatia de V1 vector v1 , M se transforma in M1
M1=T v1(M). Punctul M1 prin translatia M1 V2 de vector v2 se transforma in punctul
M2, M2= T v2(M1). V1 V2
Deci punctul M se transforma in
Punctul M2 prin translatia de vector M M2 v1+v2. Figura 6.

Definitie: Translatia in planul p este o transformare a planului p prin care toate punctele planului se deplaseaza in aceeasi directie si sens, cu aceeasi distanta intre orice punct si transformatul sau.

Notand cu t:p®p o translatie a planului reyulti ci :At(A)ºA’t(A’)ºA’’t(A’’)º…..ºa.
Prin uramre, orice translatie determina o clasa de vectori echipolenti si reciproc, orice clasa de vectori echipolenti determina o translatie.(figura 7.)

Terorema 1: Orice translatie a planului p A t(A) este o izometrie de genul unu. A’ t(A’)

A’’ t(A’’)
A
Figura 7.

Teorema 2: multimea translatiilor planului p este grup comutativ in raport cu operatia de compunere.

Produsul translatiilor este asociativ deoarece translatiile sunt izometrii, iar aplicatia identica a planului este translatia de vector 0 : 1p = t 0 .
Produsul translatiilor este comutativ: ta · t b = t a + b = t b + a = t b · t a pentru orice translatii t a si t b .

Teorema 3: O izometrie a planului p este o translatie daca si numai daca transorma orice semideapta intr-o semidreapta avand aceeasi orientare.

Simetria centrala in plan

Definitie: Punctele A si A’ din planul p se numesc simetrice in raport cu punctul O din planul p daca O este mijlocul segmentului | A A’ |. Punctul A’ se numeste simetricul punctului A in raport cu punctul O.(figura 8.)

Definitie: Simetria centrala de centru O in planul p este o transformare a planului p prin care punctul O se transforma in el insusi si orice alt punct A se transforma in simetricul sau A’ in raport cu punctul O.

A’=S0(A)

Prin definitie rezulta ca simetria centrala este o
Involutie.

A Figura 8.

Simetria axiala in plan

Definitie: Punctele A si A’ din planul p se numesc simetrice in raport cu dreapta d din planul p daca segmentul ½A A’½ este perpendiculr pe dreapta d si o intersecteaza intr-un punct O, astfel incat ½AO½º½OA’½.Punctul A’ se numeste simetricul punctului A in raport cu dreapta d.

Definitie: Simetria axiala de aza d in planul p este o transformare a planului p prin care punctele dreptei d se transforma in ele insele si orice alt punct A se transforma in simetricul sau A’ in raport cu dreapta d.

Prin definitie rezulta ca simetria axiala este o involutie.
Simetria axiala de axa d se noteaza cu Sd. A
Prin urmare Sd: p® p astfel incat Sd(A)=A pentru orice AId si orice Sd(A)=A’ pentru d 90° orice A I p-d, unde ½AA’½^d, AOS=
=½AA’½Çd ;I ||AO||=||OA’||.(figura 9.)

A’=Sd(A)

Figura 9.

Aplicatii:

* In ce loc trebuie construit podul MN peste un rau care separa satele A si B astfel incat drumul AMNB de la satul A la satul B sa fie cel mai scurt ( Malurile raului se considera drepte paralele, iar podul este perpendicular pe maluri).

REZOLVARE:
Se considera translatia de vector MN prin care M
T MN (A)=A’.(figura 10.). N B
Deci A’N=AM, iar drumul AMNB este egal cu
A’N+NB+MN.Cum lungimea segmentului MN A este constanta trebuie sa gasim pozitia lui N M N pentru care A’N+NB este minima.Se constata usor A’ ca punctul cautat N se afla pe segmentul aABi. Figura 10.

Probleme:

1) Sa se construiasca un triunghi echilateral de latura l data avand doua dintre varfuri pe doua drepte paralele iar al treilea varf pe o dreapta secanta celor doua drepte paralele.

2) Patratul A’B’C’D’ se obtine din patratul ABCD printr-o translatie.Ce se poate spune despre directia translatiei daca intersectia patratelor ABCD si A’B’C’D’ este tot un patrat?

3) Construiti un trapez cunoscand lungimile laturilor lui.

4) O dreapta trece prin centrul paralelogramului ABCD si intersecteaza laturile acestuia
in punctele P si Q.Aratati ca punctele de intersectie ale segmentelor ½AP½, ½BP½, ½CQ½ si ½DQ½ cu diagonalele paralelogramului sunt varfurile unui nou paralelogram.

5) Aratati ca punctele simetrice cu punctul M in raport cu mijloacele laturilor unui patrulater sunt varfurile unui paralelogram.

6) Fie d o dreapta si A, B doua puncte situate de aceeasi parte a ei.Determinati pozitia punctului M pe dreapta d astfel incat suma ||AM|| + ||MB|| sa fie minima.

7) Care este numarul maxim de axe de simetrie pe care le poate avea figura formata din trei segmente congruente in plan?

8) In ce caz punctele simetrice unui punct M in raport cu laturile triunghiului ABC sunt trei puncte coliniare?

9) Aratati folosind simetria axiala, ca inaltimile intr-un triunghi sunt congruente.

OMOTETIA IN PLAN

Consideram P multimea punctelor unui plan si O un punct fix din plan, iar k un numar real nenul.

Definitie: Se numeste omotetie de centru O si raport k aplicatia hk: P®P, hk(A)=A’, A, A’IP astfel incat OA’ = k OA.

Punctul O se numeste centru de omotetie, iar k raportul de omotetie. Punctul A’(transformatul lui A prin omotetie) se numeste omoteticul punctului A.

Din definitie se deduce ca punctele O, A, A’ sunt coliniare.
Pentru k>0 se spune ca avem o omotetie directa (sau pozitiva). Vectorii OA si OA’ au acelsi sens si deci segmentele aOAi si aOA’i sunt de aceeasi parte a lui O (figura 1.) si in plus OA’/OA=k. Se mai spune ca O este centru de omotetie exterior.

O A A’ A’ A O
Figura 1.

Pentru k<0 spunem ca avem o omotetie indirecta( sau negativa ).Vectorii OA si OA’ au sensuri diferite, adica segmentele aOAi ;I aOA’i sunt situate de o parte si de alta a lui O(fig. 2.)

A O A’
Figura 2.

PROPRIETATI

O1: Omotetica unei drepte d care nu trece prin O este o dreapta d’ paralela cu d.

d d’
Observatii: M’
1) Daca A, B, M sunt puncte coliniare, atunci M din A’B’|| AB si A’M’||Am se deduce coliniaritatea O punctelor A’, B’, M’.(figura 3.). A A’
2) Daca dreapta d trece prin prin punctul O, atunci hk(d)=d. B

B’
O2: Omotetia de centru O si raport k: Figura 3.
1) multiplica de ½K½ ori lungimea unui segment ;
2) conserva raportul lungimilor segm. A A’ O

Observatie: Din OA’= OA, OB’=k· OB rezulta C B
A’B’= OB’ -; OA’= k( OB -; OA )= k AB. De aici D B’
A’B’ = |k| · AB.( figura 4.).
C’

D’ Figura 4.
O3: Omotetia conserva masurile unghiurilor.
Omotetia transforma un triunghi intr-un triunghi asemenea cu cel dat. A’
A
Observatie: Prin omotetie (k¹±1) un poligon
Convex se transforma intr-un poligon convex O B B’ asemenea cu cel dat ( raportul de asemanare fiind |k|).

C
O4: Aria unui poligon convex se multiplica C’ de K2 ori printr-o omotetie de raport k.
Figura 5.
O5: Compunerea a doua omotetii de acelasi centru este tot o omotetie.
Mai precis hk1 · hk2= hk1 k2.

Observatie: Pentru hk exista h1/k pentru care hk· h1/k= h1= 1p.

Aplicatie:

· Pe un cerc s-au fixat punctele A si B, C iar punctul C este mobil pe acest cerc.
Sa se determine locul geometric al centrului de greutate a triunghiului ABC.
Rezolvare: Fie C’ mijlocul segmentului
aABi, iar G centrul de greutate a D ABC.(fig.6).
Atunci C’G=1/3C’C. Deci G descrie un cerc obtinut din cercul initial printr-o omotetie de centru C’ si coeficient 1/3. A
C’ B
Figura 6.
Probleme :

1) Doua cercuri sunt tangente in punctul T. O dreapta care trece prin punctul T intersecteaza cercurile in punctele A si B. Sa se arate ca tangentele in A si B la cele doua cercuri sunt paralele.

2) Sa se arate ca simetricele unui punct fata de mijloacele laturilor unui patrat sunt varfurile unui patrat.

3) In plan se considera doua puncte A si B si o dreapta d. Sa se determine locul geometric al centrului de greutate al triunghiului ABC cand C este mobil pe dreapta d.

4) Sa se determine raportul omotetiei de centru O care duce punctul A in puncul B in cazurile:

a) B A O b) A O B

· BIBLIOGRAFIE: * MANUAL MATEMATICA CLS. A 9-A
MIRCEA GANGA
* TRANSFORMARI GEOMETRICE
DUMITRU SMARANDA NICOLAE SOARE.