i1j21ji

Puteri cu exponent natural:

Ø an unde aI|R, nI|N;
Ø a0=1;
Ø a1=a;
Ø an = ;
Ø a -; baza puterii;
Ø n -; exponentul puterii;
Ø (ab)n=anbn, "a,bI|R, nI|N*;
Ø (am)n=amn, "aI|R, m,nI|N*;
Ø am×an=am+n, "aI|R, m,nI|N*;
Ø , b¹0, "a,bI|R, nI|N*;
Ø , "aI|R*, m,nI|N*, m>n.

Puteri cu exponent intreg negativ:

Ø a-n= unde aI|R*, nI|N;
Ø restul proprietatilor se pastreaza.

Puteri cu exponent rational pozitiv:

Ø , a=0, IQ+;
Ø , a=0, , IQ+;
Ø , a,b=0, IQ+;
Ø , a=0, b>0, IQ+;
Ø , a=0, , IQ+;
Ø , a>0, , IQ+, > .

Puteri cu exponent rational negativ:

Ø , a>0, IQ+;
Ø restul proprietatilor se pastreaza.

Functia putere cu exponent natural nenul:
Ø f(x)=xn, f:|R®|R, nI|N*;

Ø monotonia: ;
Ø paritate: ;
Ø semn: .

Functia putere cu exponent intreg negativ:
Ø f(x)=x-n, f:|R-A0S®|R, nI|N*;
Ø monotonia: ;
Ø paritate: ;
Ø semn: .

Functia putere cu exponent rational:

Ø f(x)= = , f:(0, ¥) ?(0, ¥), IQ*;
Ø daca >0 ? f strict crescatoare;
Ø daca <0 ? f strict descrescatoare.

Radicalul unui numar pozitiv:

Ø ecuatia xn-a=0 (nI|N, n³2, aI|R, a>0) are o singura radacina reala pozitiva;
Ø daca a>0, nI|N, n³2 se numeste radical de ordin n din a, numarul pozitiv a carui putere a n-a este a;
Ø notatie x= ;
Ø notatie = ;
Ø =0;
Ø ;

Radicalul de ordin impar al unui numar negativ:
Ø ecuatia xn-a=0 (nI|N, n³2, n impar, aI|R, a<0) are o singura radacina reala negativa;
Ø daca a<0, nI|N, n³2, n impar, se numeste radical de ordin n din a, numarul negativ a carui putere a n-a este a;

Ø notatie x= = ;

Proprietatile radicalilor: " m, n, kIN*, m, n, k=2

Ø P1) , "a,b=0;
Ø P2) , " a=0, b>0;
Ø P3) , " a=0;
Ø P4) ( )m = ," a=0;
Ø P5) = ," a=0;
Ø P6) ," a=0.

Operatii cu radicali:
1. scoaterea unui factor de sub semnul radical: se descompune numarul de sub radical in factori, se aplica proprietatile 1, 3 si 5;
2. introducerea unui factor sub semnul radical: se utilizeaza proprietatile 1, 3 si 5;
3. inmultirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatea 1 si 5;

Ø , a1, a2, …, ak=0;
Ø , a, b=0;

4. impartirea radicalilor de acelasi ordin sau ordine diferite: se utilizeaza proprietatile 2 si 5;

Ø , " a=0, b>0;
Ø , " a=0, b>0;

5. rationalizarea numitorilor:
Ø operatia de eliminare a radicalilor de la numitorul fractiilor;
Ø expresii conjugate: - expresii cu radicali care prin inmultire dau o expresie fara radicali;

- , a, b=0;
- , a, b=0;
- , a, b=0;
- , a, b=0, n impar;

Functia radical:

Ø f(x)= , f:a0, ¥)®a0, ¥), nI|N, n³2;
Ø monotonia: f strict crescatoare pe a0, ¥);
Ø f(x)³0 "xIa0, ¥);
Ø functia este bijectiva;
Ø inversa ei este functia putere.
Ø f(x)= , f:|R®|R, nI|N, n³2, n impar;

Ecuatii irationale:
Ø ecuatii care contin necunoscuta sub semnul radical;
Ø rezolvarea consta in eliminarea radicalilor prin diferite transformari (ridicari la putere = cu ordinul radicalului, inmultire cu expresia conjugata), reducandu-le la ecuatii studiate;
Ø conditii de existenta numai pentru radicali de ordin par : f(x)=0 unde f(x) este o expresie in functie de x;