In studiul variatiei unei functii si trasarea graficului se parcurg urmatoarele etape de determinare succesiva a unor elemente caracteristice ale functiei: j9i24iv
I. Domeniul de definitie: a) Determinarea domeniului de definitie (in cazul expresiilor rationale numitorul trebuie sa fie diferit de zero; in cazul celor irationale cantitatea de sub radical trebuie sa fie cel putin zero) b) Intersectia graficului cu axa Ox: f(x)=0 c) Intersectia graficului cu axa Oy:f(0)=… d) Calculul limitelor:
II. Semnul functiei: a) Determinarea paritatii sau imparitatii functiei(daca functia este para,f(x)=f(-x),atunci graficul este simetric fata de axa ordonatelor; daca functia este impara,-f(x)=f(-x), atunci graficul este simetric fata de originea axelor). b) Determinarea periodicitatii functiei si, in cazul functiilor periodice, a perioadei T. c) Continuitatea functiei.
III. Asimptote: a) orizontale; b) oblice; c) verticale.
IV. Studiul primei derivate: a) Se determina multimea E` inclusa in domeniul de definitie, pe care functia f este derivabila si apoi se calculeaza f `(x). b) Se rezolva ecuatia f `(x)=0, ale carei radacini sunt, eventual, puncte critice ale functiei. c) Se calculeaza valoarile functiei pe radacinile derivatei I. d) Determinarea semnului derivatei I, care da monotonia functiei.
V. Studiul derivatei a doua: a) Se determina multimea E`` inclusa in E`, pe care functia f ` este derivabila si apoi se calculeaza f ``(x). b) Se rezolva ecuatia f ``(x)=0, iar radacinile pot fi puncte de inflexiune. c) Se calculeaza valoarile functiei pe radacinile derivatei II. d) Determinarea semnului derivateiei II, care ne da convexitatea sau concavitatea functiei.
VI. Formarea tabloului de variatie a functiei f -; tablou in care se trec pentru sistematizare, rezultateleobtinute la punctele precedente:

x f `(x) f ``(x) f(x)

VII. Trasarea graficului functiei:- conform rezultatelorsistematizate in tabloul de variatie -; intr-un sistem de axe carteziene.

APLICATII:

1. Sa se studieze variatia functiilor si sa se reprezinte grafic:

x -¥ -1 0 1 +¥ f `(x) - - - -¥½+¥ + 0 - - - - - - -¥½+¥ + + f (x) +¥ 1 1 0 -1 0

è in -;1 si 1 avem puncte de intoarcere.

VI.Tabloul de variatie:

x 0 3 +¥ f `(x) + + + + + + + + + + f``(x) - - - - - - - - - f(x) -3 0 1

2. Se considera functia:

unde D este domeniul maxim de definitie iar k partine lui R. Sa se traseze graficul functiei f stiind ca trce prin punctul (1,1).

Demonstratie:

V. x -¥ -2 -1/2 0 1 ¥ f `(x) + + + ½+ + + 0 - - - ½ - - - - 0 + + + f(x) 2 +¥½-¥ -2 -¥½+¥ 1

3. Sa se reprezinte grafic functia:

V. Tabloul de variatie: x -¥ -1 -0,854 -3/4 -0,125 0 1 ¥ f `(x) - - - 0 + + + + 0 - - - - - - 0 + + f ``(x) + + + + 0 - - - - - 0 + + + + + f(x) +¥ 4,619 4,625 4,630 2,805 2 0 +¥

4. Sa se reprezinte grafic “Serpentina lui Newton” data prin functia:

x -¥ - 3/a - 1/ a 0 1/ a 3/a +¥ f `(x) - - - - 0 + + + 0 - - - - f ``(x) - - 0 + + + 0 - - - 0 + + f(x) 0 - 3a /4 - a /2 0 a /2 3a /4 0

5. Sa se reprezinte grafic functia:

VI. Tabloul de variatie al functiei se face separat pentru cele doua ramuri:

x -½a½ x`2 0 x`1 ½a½ f `1(x) + + + 0 - - ½ + + 0 - - - f ``1(x) - - - - - - - - - - - - f 1(x) a ½a½ a

x -½a½ x``2 0 x``1 ½a½ f `2(x) - - - - ½ + + + + f ``2(x) + + 0 - - ½ - - 0 + + f2(x) a -½a½ a