Chestiuni elementare despre siruri

n9l10lv
Prezenta lucrare isi propune prezentarea unor aspecte elementare privind sirurile de numere reale.
In mod obisnuit, prin sir se intelege o infinitate de numere, distincte sau, nu, scrise unul dupa altul. Exemplu, sirul numerelor naturale:
1, 2, 3, 4, … .

Definitie. Numim sir orice functie f : N®R, f(n) = an.
Notam (an)n³0.

Exemple de siruri:
1) 1, 1, 1, 1, …, 1, …
2) 1, -1, 2, -2, …, n, -n, …
3) 10, 102, 103, 104, …, 10n, …
4) 1, , , , …, , …
5) 1, - , , - , …, , …

Definitie. Sirul (an)n³0 este marginit daca exista M > 0 astfel incat ôanô£ M, pentru orice nIN.

Exemplu: sirul an = cos n? este marginit, deoarece termenii sai sunt mai mari sau egali cu -;1 si mai mici sau egali cu 1.

Definitie. Sirul (an)n³0 este monoton crescator daca an £ an+1. Sirul (an)n³0 este monoton descrescator daca an ³ an+1.
Exemple: sirul “0, 1, 2, 3,…, n,…” este crescator; sirul “1, , , , …, , …” este descrescator.

Notiunea de convergenta
Daca observam ca termenii sirului (an)n³0 se apropie din ce in ce mai mult de numarul a (se “ingramadesc”), pe masura ce n creste, vom avea o viziune intuitiva asupra convergentei sirului. Vom spune ca an®a (an tinde, converge catre a), a fiind limita sirului. Vom nota .

Mai exact:
Definitie. Sirul (an)n³0 este convergent catre a sau are limita a daca orice vecinatate a lui a (interval deschis care-l contine pe a) contine toti termenii sirului, exceptand (eventual) un numar finit de termeni.

Sau:
Definitie. Sirul (an)n³0 este convergent catre a (are limita a) daca "e > 0, $ne > 0 (un rang depinzand de e), astfel incat "n ³ ne, sa avem ôan-aô < e.

Observatie. Limita unui sir, daca exista, este unica.

Teorema. Orice sir monoton si marginit este convergent.

Exemplu. Sirul an = se constata usor ca este descrescator: 1 > > > … > > … si marginit inferior de 1; deci = 1.

Proprietati ale sirurilor convergente:
· limita modulului este egala cu modulul limitei;
· limita sumei (diferentei, produsului, catului -; daca exista) este egala cu suma (diferenta, produsul, catul) limitelor;
· constanta iese in fata limitei;
· limita radicalului este egala cu radicalul limitei;
· limita unei puteri se distribuie bazei si exponentului, adica lim(xy) = (limx)limy;
· limita logaritmului este egala cu logaritmul limitei; etc.

Operatii cu ±¥
¥+¥ = ¥; (-¥)+(-¥) = (-¥); a±¥ = ±¥; la inmultirea (impartirea) infinitilor se aplica regula semnelor; = 0; = ¥; a¥ = ; ¥a = ; 0¥ = 0; ¥¥ = ¥; loga0 = -¥; loga¥ = ¥.
Operatii fara sens: ¥-¥; 0×¥; ; ; 1¥; 00;¥0.

Aspectele prezentate mai sus, aprofundate pe baza de exemple, vor constitui baza calculului limitelor de siruri.