Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adica daca A , atunci . e7q21qo
Demonstratie. Fie si .
Atunci , iar . Prin urmare .

Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.
Demonstratie. Avem si .

Daca intr-o matrice schimbam doua linii (sau doua coloane) intre ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii initiale.
Demonstratie. Prin schimbarea liniilor sa arat ca avem egalitatea . Avem evident .

Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice, atunci determinantul sau este nul.
Demonstratie. Verific pentru linii (si tot odata pentru coloane). Avem:
.

Daca toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt inmultite cu un numar , obtinem o matrice al carei determinant este egal cu inmultit cu determinantul matricii initiale.
Demonstratie. Verificam pentru linii proprietatea.
.

Daca elementele a doua linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proportionale, atunci determinantul este nul.
Demonstratie. Verificam pentru linii.
.

Daca linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinanti corespunzatori matricelor care au aceleasi linii ca A, cu exceptia liniei i unde au cate unul din cei doi vectori.
.
Demonstratie. Am de aratat ca:
.
Intr-adevar membrul stang este egal cu . Membrul drept este si egalitatea se verifica.

Obs.: O proprietate analoga are loc si pentru coloane.

Daca o linie (o coloana) a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.

Daca la o linie (o coloana) a matricii A adunam elementele altei linii (coloane) inmultite cu acelasi numar, atunci aceasta matrice are acelasi determinant ca si matricea A.
Demonstratie. Voi aduna la linia intai linia a doua inmultita cu . Vom nota acest fapt prin . Avem:
.

A .

Daca A= este o matrice triunghiulara (sau diagonala), atunci . (Valoarea determinantului este egala cu produsul elementelor de pe diagonala principala).

Daca A, B , atunci (Determinantul produsului a doua matrici patratice este egal cu produsul determinantilor acelor matrici).
In particular n .

Teorema. Determinantul unei matrici A este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii si complementii lor algebrici, adica
.
(Formula lui da dezvoltarea determinantului dupa elementele liniei i).

Aceasta teorema permite sa calculam determinantul unei matrici dupa oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (cat mai usor) mai multe zerouri.
Observatie: Tinand seama de proprietatea teorema precedenta are loc si pentru coloane sub forma:
.