I. Multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi

I.1.Definirea polinoamelor

Fie CaXi multimea sirurilor(infinite) de numere(complexe) , care au numai un numar finit de termeni ai,nenuli, adica exista un numar natural m, astfel incat ai=0, pentru orice i>m. r3p7pf
De exemplu, sirurile ; ; sunt siruri infinite care au un numar finit de termeni nenuli. Sirul g are 3 termeni nenuli, iar h are 4 termeni nenuli. Deci aceste siruri sunt elemente din multimea CaXi.

I.2. Adunarea si inmultirea polinoamelor

Definim pe multimea CaXi doua operatii algebrice: adunarea si inmultirea.

· Adunarea polinoamelor:

Fie , doua elemente din multimea CaXi; atunci definim: ,

· Proprietatile adunarii polinoamelor:
(CaXi,+) se numeste grup abelian

1. Asociativitatea

, CaXi
Intr-adevar, daca , si atunci avem si deci .
Analog, obtinem ca . Cum adunarea numerelor este asociativa, avem , pentru orice .

2. Comutativitatea

, CaXi
Intr-adevar, daca si , avem ,
Cum adunarea numerelor complexe este comutativa, avem pentru orice . Deci .

3. Element neutru

Polinomul constant 0=(0,0,0,…) este element neutru pentru adunarea polinoamelor, in sensul ca oricare ar fi CaXi,avem:


4. Elemente inversabile

Orice polinom are un opus, adica oricare ar fi CaXi, exista un polinom, notat , astfel incat:

De exemplu, daca este un polinom, atunci opusul sau este

· Inmultirea polinoamelor:

Fie ,
Atunci definim: ck

· Proprietatile inmultirii:

1. Asociativitatea

Oricare ar fi CaXi, avem:


2. Comutativitatea

Oricare ar fi CaXi,avem:

Intr-adevar, daca , , atunci notand si , avem si . Cum adunarea si inmultirea numerelor complexe sunt comutative si asociative, avem cr=dr, pentru orice . Deci .

3. Element neutru

Polinomul 1=(1,0,0,…) este element neutru pentru inmultirea polinoamelor, adica oricare ar fi CaXi,avem:


4. Elemente inversabile

CaXi este inversabil daca exista ,a.i.:

Singurele polinoame inversabile sunt cele constante nenule: , a¹0.

5. Distributivitatea

Oricare ar fi polinoamele CaXi,are loc relatia:

1.3. Forma algebrica a polinoamelor

Notatia introdusa pentru polinoame nu este prea comoda in operatiile cu polinoame. De aceea vom folosi alta scriere.

Daca consideram , atunci se va scrie sub forma: . Au loc notatiile:

Exemplu:

Atunci:

I.4. Gradul unui polinom

Fie . Se numeste gradul lui , notat prin , cel mai mare numar natural n astfel incat .
Exemple: 1. Polinomul are gradul 1;
2. Polinomul are gradul 5;
3. Polinomul constant , unde ,are gradul 0.
Referitor la gradul sumei si produsului a doua polinoame si , au loc urmatoarele relatii: i) ; ii) .

I.5. Valoarea unui polinom intr-un punct

Fie , atunci functia polinomiala asociata polinomului f este: , .

I.6. Impartirea polinoamelor

* Teorema de impartire cu rest: , , cu
Polinomul se numeste deimpartit, impartitor, cat,iar r rest.
Vom efectua impartirea polinomului la polinomul .

…………………………………………………………………………………

Acest tabel ne reda regula(algoritmul) de impartire a polinoamelor, pe care o vom aplica in practica pentru obtinerea catului si restului impartirii.

Exemplu: Fie polinoamele si . Sa determinam catul si restul impartirii lui f la g.

q

r
Deci catul este , iar restul . Formula impartirii cu rest se scrie,in acest caz astfel:

· Impartirea prin X-a. Schema lui Horner.

Fie . In cele ce urmeaza ne vom folosi de schema lui Horner pentru a imparti polinomul f la polinomul .

………
………
………

In randul de sus al tabelului se scriu coeficientii polinomului f, iar in randul de jos coeficientii ai catului si restul r.

Exemplu: Utilizand schema lui Horner, sa se determine catul si restul impartirii polinomului si binomul .

Deci catul si restul impartirii sunt si .

I.7. Divizibilitatea polinoamelor

Def. , asa incat , cu .
Spunem ca f se divide la g sau g divide pe f , daca .

· Proprietati

1. Reflexivitatea

2. Simetria si , a.i.
In acest caz spunem ca f este asociat cu g
3. Tranzitivitatea
Daca si

4. Daca si

· Cel mai mare divizor comun

Def. = C.m.m.d.c
1. si
2. si
Algoritmul lui Euclid:

Cel mai mare divizor comun a doua polinoame este unic pana la inmultirea cu o constanta(asociere).
Daca , atunci f si g sunt prime intre ele.

Exemplu: Sa se gaseasca cel mai mare divizor comun al polinoamelor: si .
Vom aplica algoritmul lui Euclid. Impartim pe f la g.



Pentru a evita coeficientii fractionari, vom inmulti in prealabil pe g cu 3 si restul impartirii cu -;1. impartim acum impartitorul la rest:

Acum, pentru a evita din nou coeficientii fractionari, vom inmulti pe cu 2 si continuam operatia.

3

Am obtinut restul . Pentru a evita din nou coeficientii fractionari, vom imparti restul cu -;19 si impartim impartitorul la rest.

-- -- Ultimul rest nenul este polinomul si deci .

· Cel mai mic multiplu comun

Def. Fie f si g doua polinoame. Un polinom m se numeste cel mai mic multiplu comun al polinoamelor f si g daca verifica urmatoarele conditii:
1. si
2. , si
Daca d este c.m.m.d.c al lui f si g, atunci .

I.8. Radacinile polinoamelor.

· Teorema lui Bezout:

Fie un polinom. Atunci numarul este radacina a polinomului f daca si numai daca divide f.

· Teorema fundamentala a algebrei

Orice ecuatie algebrica de grad mai mare sau egal cu 1 si cu coeficienti complecsi are cel putin o radacina complexa.

· Radacini simple si multiple

Def. Fie . este radacina de ordin de multiplicitate m, daca si nu divide pe f.
Exemple: nu divide f este radacina de ordin de multiplicitate 1(rad. simpla).

. Descompunand in factori ireductibili vom obtine: , unde:
1= radacina de ordin de multiplicitate 3 i,-i,-1= radacini de ordin de multiplicitate 1

· Teorema de descompunere in factori ireductibili(primi)

Fie si radacinile sale in C, nu neaparat distincte. Atunci: (in CaXi)


Singurii factori ireductibili(primi) in CaXi sunt polinoamele de gradul I.

· Relatiile lui Francois Viete

Fie , un polinom de grad n. Daca sunt radacinile lui f, atunci: