Am sa incep povestea mea cu un citat al lui Emerson, in eseul : “ Despre
prietenie” unde acesta spune ca : " …singura cale ca sa ai
un prieten este ca tu insuti sa fii unul " . z5z1zs
Este foarte greu sa-ti gasesti un prieten dar este si mai greu de crezut ca
nu numai oamenii isi pot gasi prieteni, ci si numerele. De aceea am sa va spun
o poveste despre numerele prietene :
Ca sa-si asigure protectia unui senior ce-l dusmanea, un cavaler a trimis acestuia
un dar foarte curios fiindca l-a potrivit in asa fel ca sa cuprinda exact 220
de bucati. Anume: saci de grau, de poame uscate, vase de vin, de ulei, oi, porci
si la acestea a adaugat o punga de bani, atatia la numar cat mai era nevoie
ca impreuna cu numarul celorlalte bunuri sa ajunga la 220.
Separat, intr-o punga de piele, cavalarelul i-a trimis seniorului un medalion
pe care era incrustat numarul 284.
Seniorul nestiind ce semnificatie sa dea neobisnuitului cadou, s-a dus sa se
lamureasca la cel mai mare matematician de atunci, Pitagora.
Pitagora si-a dat seama imediat ca aceasta problema poate fi rezolvata cu ajutorul
numerelor prime si a incercat sa-i explice seniorului de unde ar trebui sa inceapa
cu rezolvarea problemei. El a inceput sa explice astfel :
Numim numar prim orice numar natural mai mare decat 1,care are numai divizori
improprii.Numerele prime sunt:2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31...
Obs.:Singurul nr.prim si par este 2.
Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in factori primi,adica
il impartim la toate numerele prime cu care este divizibil.Daca este divizibil
doar cu 1 si cu el insusi,atunci numarul este prim.
Dupa aceste mici explicatii, Pitagora il ruga pe senior sa imparta cele doua
numere in factori primi.
Atunci seniorul nota pe hartie :
220 = 2 x 2 x 5 x 11
284 = 2 x 2 x 71
Dar exista o deosebire intre factorii primi ai unui numar si divizorii lui,
divizorii unui numar nu sunt numai factorii lui primi ci si produsele formate
de acestia.
Daca reluam calculul adaugand si pe 1 (unu) printre factorii primi se poate
constata ca prin adunarea partilor lui 220 se obtine 284.
2 x 2 = 4
2 x 5 = 10
2 x 11 = 22
5 x 11 = 55
2 x 2 x 5 = 20
2 x 2 x 11 = 44
2 x 5 x 11 = 110
Deci : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284
Daca il luam pe 284 descompus in factori primi obtinem 2 x 2 x 71
2 x 2 = 4
2 x 71 = 142
Deci : 1 + 2 + 71 + 142 = 220
Seniorul pleca multumit de explicatia data de mare Pitagora si astfel reusi
sa inteleaga mesajul cavalerului.
Raspandindu-se vorba prin tinut despre intelepciunea lui Pitagora, intr-o
dimineata acesta se trezi cu un nou musafir care incerca sa il puna in incurcatura
pe marele invatat. Astfel Pitagora trebui sa rezolve o noua problema care se
pezenta astfel :
- Un copil este de doua ori mai varstnic decat sora lui. Ea are de trei ori
mai multe cirese decat are el alune. Daca inmultim numarul ce reprezinta varsta
copilului cu numarul cireselor obtinem 510. Ce varsta are sora copilului si
cate alune are el ?.
Pitagora se gandi un pic si isi dadu seama ca are de a face din nou cu numerele
prime. Astfel daca descompunem in factori primi numarul 510, obtinem : 2 x 3
x 5 x 17. Varsta frateleui trebuie sa fie compusa din doi dintre acesti factori.
Cum este dublul varstei sorei, unul din numere neaparat este 2.
Numarul cireselor trebuie sa fie un multiplu de 3. Raman doi factori primi :
5 si 17. Dar varsta fratelui nu poate fi 2 x 17 = 34, pentru ca este inca un
copil. Atunci putem spune ca are 2 x 5 = 10 ani, iar surioara lui are 10 -;
5 = 5 ani.
Numarul cireselor va fi de 3 x 17 = 51, iar cel al alunelor este 17.
Dar Pitagora il provoca pe musafirul sau sa rezolve si el o problema destul
de simpla, iar acesta accepta. Problema spunea cam asa ceva:
Care sunt nr. prime de 2 cifre,avand produsul cifrelor 6?
Rezolvare: ab=?,a este numar natural nenul si axb=6
=>a;b sunt divizori ai lui 6
D6=A1;2;3;6S a=1,b=6=>ab=16 si nu este nr. prim a=2,b=3=>ab=23 si este prim a=3,b=2=>ab=32 si nu este prim a=6,b=1=>ab=61 si este prim ab=A23;61S
Pitagora fu multumit de raspunsul musafirului sau si ii mai puse acestuia o
intrebare tot din domeniul matematicii. Dar numaidecat isi dadu seama ca nu
ia spus acestuia cate ceva despre divizibilitate pentru a putea rezolva si aceasta
problema. Asa ca incepu sa ii spuna urmatoarele definitii :
· Definitia divizibilitatii:
Spunem ca numarul natural a se divide cu d,daca exista un nr.c, astfel incat
a=dxc
Ex:30 se divide cu nr.5,pentru ca exista un nr.6,astfel incat
30=5x6. d/a se citeste d divide a d/a <=> exista c,astfel incat a=dxc,d si a sunt nr.nat. a:d se citeste a este divizibil cu d
· Proprietati ale divizibilitatii
1) 1/a, a este nr. nat.
2) a/a,a este nr.nat.
3)d/a => d/ab, a,b si d sunt nr.nat. d/a =>exista nr.nat.c,a.stfel incat a=dc ab=dcxb si cb este nr. nat.=> ab:d
4)d/a si d/b=>d/a+b
Demonstratie: d/a<=> exista a' nr.nat.,a.i. a=dxa' d/b<=> exista b' nr.nat.,a.i. b=dxb' a+b=dxa'+dxb'=d(a'+b') a'+b'=c=> a+b=dxc <=> d/a+b
Obs:la fel si pentru d/a si d/b =>d/a-b
· Criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 2
Un nr. este divizibil cu 2 daca ultima sa cifra este para.
Ex:nr.2345678 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 8 si este cifra
para: nr.2000 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 0 si este cifra para.
Nr. care sunt divizibile cu 2 se numesc nr.pare.
Criteriul de divizibilitate cu 5
Un nr. este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este 0 sau 5.
Criteriul de divizibilitate cu 4
Un nr.este divizibil cu 4,daca nr.format de ultimele sale 2 cifre este divizibil
cu 4.
Criteriul de divizibilitate cu 8
Un nr.este divizibil cu 8,atunci cand nr.format de ultimele sale 3 cifre este
divizibil cu 8.
Criteriul de divizibilitate cu 25
Un nr.este divizibil cu 25,daca nr. format de ultimele sale 2 cifre este divizibil
cu 25,adica daca ultimele sale 2 cifre sunt:00;25;50; 75.
Criteriul de divizibilitate cu 125
Un nr. este divizibil vu 125,daca nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil
cu 125.
Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10
Un nr. este divizibil cu o putere a lui 10,daca ultimele sale n cifre sunt zerouri.
Criteriul de divizibilitate cu 3
Un nr.este divizibil cu 3,daca suma cifrelor sale este un nr.divizibil cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 9
Un nr.este divizibil cu 9,daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9.
Criteriul de divizibilitate cu 6
Un nr. este divizibil cu 6,daca este divizibil cu 2 si cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 15
Un nr. este divizibil cu 15,daca este divizibil cu 5 si cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 11
Un nr. este divizibil cu 11,daca diferenta dintre suma cifrelor situate pe locurile
impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un nr. divizibil cu 11.
Ex.:1925
9+5=14
1+2=3
14-3=11
11:11=>1925:11
Dar sa aflam problema :
Sa se afle cel mai mic numar natural de doua cifre,care impartit la 10, 15 si
18 sa dea restul 2.
Rezolvare: x:10=c1 (r2) x:15=c2 (r2) x:18=c3 (r2)
<=>x=10c1+2 x=15c2+2 x=18c3+2
=>x-2=a10;15;18i
<=>x-2=90
<=>x=90+2=92
Nici nu observara cand trecu timpul asa ca urmatoarea problema rezolvata de
musafirul lui Pitagora arata cam asa :
Determina cel mai mic a,astfel incat nr. 3579a sa fie divizibil cu 11.
Rezolvare: a+7+3=a+10.
5+9=14
a14-(10+a)i:11
14-(10+a)=0
<=>10+a=14
<=>a=14-10
<=>a=4
(3+7+4)-(5+9)=14-14=0=>0:11=>35794:11
Pitagora spuse o alta problema crezand ca isi va pune musafirul in mare incurcatura,
dar acesta o rezolva pe loc astfel:
Care este numarul divizorilor naturali ai numarului: p=2x3x5
Rezolvare:
Nr. divizorilor este:
(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24
In timp ce Pitagora cu musafirul sau se delectau rezolvand probleme, la usa
lui Pitagora aparu un tanar care avea o problema cu mostenirea lasata de tatal
sau. La inceput Pitagora nu a vrut sa il ajute, dar mai tarziu ascultandu-i
problema mai pe indelete se invoi sa ii dea o mana de ajutor. Iata cum se prezenta
problema :
Un negustor grec avea trei fii. Dupa moartea sa, el lasa mostenire celor trei
copii ai lui 19 camile.Dar el le-a spus copiilor sa le imparta in felul urmator
: fiul cel mare sa ia jumatate din numarul camilelor, cel mijlociu 1/4 din toate
camilele, iar cel mai mic 1/5 din numarul lor.
Dupa moartea tatalui lor, cei trei feciori au incercat sa imparta intre ei camilele
asa cum lasase cu limba de moarte parintele lor. Dar neizbutind sa faca imparteala,
au cerut sfatul invatatului Pitagora. Astfel ca Pitagora se duse impreuna cu
tanarul in grajd si ii dadu acestuia o camila, spunandu-i ca acum daca va merge
acasa va putea rezolva problema mostenirii fara nici o dificultate. Tanarul
se duse acasa putin nedumerit, dar cand ajunse acasa isi dadu seama ca acum
avea 20 de camile si totul se putea rezolva mai usor.
Feciorii facura urmatoarele impartiri :
20 : 2 = 10
20 : 4 = 5
20 : 5 = 4
10 + 5 + 4 = 19 camile
Dupa impartirea facuta, cei trei feciori au observat ca au o camila in plus.
Bineanteles ca aceasta era camila marelui invatat Pitagora asa ca se duse toti
trei si o duse acestuia inapoi, multumindu-i pentru ajutorul dat.