1. METODA INDUCTIEI MATEMATICE COMPLETE s3x5xo
Este o metoda de rationament prin care stabilim ca:
O proprietate P(n) care depinde de un numar natural n este verificata pentru orice numar natural n³k atunci sunt satisfacute simultan conditiile: a) Proprietatea P(n) este adevarata pentru n=k; kIN b) (P(k), k£n) Þ P(n+1), (") n³k, adica presupunem P(k) adevarata pentru orice k£n rezulta p(n+1) adevarata, pentru orice n³k.

2. PERMUTARI

Fie E=A1, 2, …,nS o multime finita cu n elemente. Se numeste permutare a multimii E orice functie bijectiva f : E ® E.
Notam permutarea in felul urmator
Notam numarul de permutari Pn: Pn= n!=1.2.3…n conditie de existenta: nIN conventie: 0!=1 ; 1!=1
Pn=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!
3. ARANJAMENTE

Notam cu Ank
Sistemele ordonate cu k elemente, care se pot forma cu elementele unei multimi cu n elemente (n³k), se numesc aranjamente de n elemente luate cate k.

Ank=n!/(n-k)!=n(n-1)(n-2)…(n-k+1)=(n-k+1)Ank-1 c.e. n³k conventie: n=k Þ Ann=Pn
4. COMBINARI Cnk conventie: Cn0=Cnn=1 c.e. n³k

Formule pentru combinari complementare: Cnk=Cnn-k
Cnk=Cn-1k+Cn-1k-1
5. BINOMUL LUI NEWTON
Daca a, bIR, nIN, atunci:
(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cn2an-2b2+…+Cnkan-kbk+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn sau
Tk+1=termen general k=se numeste rangul termenului al dezvoltarii

(a-b)n= Cn0an-Cn1an-1b+Cn2an-2b2-…+(-1)n-kCnkan-kbk+…+(-1)n-1Cnn-1abn-1+(-1)nCnnbn sau
Obs: 1) in dezvoltarea (a+b)n, dupa formula lui Newton, sunt n+1 termeni.
2) Cn0, Cn1, Cn2,…,Cnn se numesc coeficienti binomiali
3) Sa se faca distinctie intre coeficientul unui termen al dezvoltarii si coeficientul binomial al aceluiasi termen.

4) Pentru a determina rangul celui mai mare termen folosim relatia:
5) In dezvoltarea (a+b)n si (a-b)n, daca a=b atunci:
Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n
Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+Cn5+…=2n-1
6) Identitatile utile: a) Cnk=Cn-1k-1+Cn-2k-1+…+Ck-1k-1 b) Cn+kk=Cn0Cmk+Cn1Cmk-1+…+CnkCm0

7) Suma puterilor asemenea ale primelor n numere naturale

Fie k³1 un numar natural si Sk=1k+2k+3k+…+nk
Folosim dezvoltarea (a+1)2=a2+2a+1 pentru demonstratie unde a=1,2,…n.

Folosim dezvoltarea (a+1)3=a3+3a2+3a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,…n.
Folosim dezvoltarea (a+1)4=a4+4a3+6a2+4a+1, pentru demonstratie, unde a=1,2,…n

Caz particular

6. PROGRESII ARITMETICE SI GEOMETRICE

Teorema : Fie numerele an-1, an, an+1 in progresie aritmetica. Atunci:
2an=an-1+an+1

Def: Fie numerele a1, a2, a3,…,an in progresie aritmetica, daca an=a1+(n-1)r sau an=an-1+1, unde: an= ultimul termen a1=primul termen an-1=penultimul termen n=numarul de termeni r=ratia progresiei aritmetice

Obs: Pentru verificare r=a2-a1=a3-a2=a4-a3=…=an-an-1
Teorema: Fie numerele bn-1, bn, bn+1 in progresie geometrica. Atunci bn2=bn-1.bn+1
Def: Fie numerele b1, b2,…bn in progresie geometrica, daca bn=b1.qn sau bn=bn-1.q unde: bn=ultimul termen b1=primul termen bn-1=penultimul termen n=numarul de termeni q=ratia progresiei geometrice

Obs: pentru verificare q=a2/a1=a3/a2=…=an/an-1