j3i23im
Fie x si b doua numere naturale, cu b ³ 2. Notam prin aai partea intreaga a unui numar real a, adica cel mai mare intreg mai mic sau egal cu a.
Propozitia 1: Restul impartirii lui x la b este x - bax/bi.
Demonstratie: Vom folosi proprietatea cunoscuta a partii intregi a unui numar real, si anume:
" aI R, a-1 < aai £ a.
Conform acestei proprietati avem, pentru a = x/b, x/b-1 < ax/bi £ x/b si, inmultind aceasta dubla inegalitate cu b, gasim x-b < bax/bi £ x de unde rezulta imediat ca
0 £ x - bax/bi < b.
Conform teoremei impartirii cu rest, exista in mod unic doua numere c (cat) si r (rest), luand in cazul nostru: c = ax/bi si r = x-bax/bi
Catul si restul astfel alese verifica conditia de existenta.
Consideram un numar xI N, cu 0 £ x £ bn-1.
Definitie: Expresia fk = ax/bn-ki-bax/bn-k+1i se numeste restul de ordin k al impartirii succesive a lui x prin puteri ale lui b, k = 1, 2, ..., n.
Propozitia 2: 0 £ fk £ b-1, " k, k = 1, 2, ..., n.
Demonstratie: Fie un k fixat, k = 1, 2, ..., n. Notam cu yk = ax/bn-ki. Atunci fk = yk - bayk/bi este un rest de ordin k conform definitiei si conform propozitiei 1 avem 0 £ fk £ b-1.

Propozitia 3: Pentru orice x natural cu 0 £ x £ bn-1 si b³ 2 avem
Demonstratie: Suma din dreapta se mai poate scrie: f1bn-1 + f2bn-2 +...+ fn-1b1 + fnb0 =
= (ax/bn-1i-bax/bni)bn-1 + (ax/bn-2i-bax/bn-1i)bn-2 +...+ (ax/bi-bax/b2i)b + (ax/b0i-bax/bi)b0 =
= axi - bnax/bni = x - bnax/bni.
Dar x £ bn-1 < bn, deci ax/bni = 0, ceea ce demonstreaza formula data.
Aplicatii:
1. Din scrierea lui x de mai sus se poate deduce ca fk reprezinta simbolurile numerice de reprezentare a numarului x in baza de numeratie b, in ordinea data. Asadar, daca f1, f2, ..., fn sunt aceste simboluri numerice, numarul x se mai poate scrie:


Se poate spune deci ca fk este a k-a cifra(simbol) de reprezentare in baza de numeratie b a numarului x, unde x,bI N, 0 £ x £ bn-1, b³ 2 iar fk = ax/bn-ki-bax/bn-k+1i, k = 1, 2, ..., n.
2. Functia fk este o cale mai scurta de a determina prin calcul simbolurile de reprezentare a unui numar intr-o baza de numeratie oarecare b.
· Ca amuzament matematic se poate concepe un algoritm simplu pentru a "ghici" un numar ales de cineva, urmand pasii urmatori:


P1: Fixati un numar natural b ³ 2 si un numar natural n.
P2: Cereti unei persoane sa-si aleaga un numar natural x, care sa fie cuprins intre 0 si bn-1. Desi numarul ales nu va va fi comunicat, instiintati persoana ca puteti sa-i ghiciti exact numarul ales daca este dispusa sa va comunice primele n rezultate ale unor calcule folosind o fomula"magica" pe care i-o veti da.
P3: Dati-i functia fk = ax/bn-ki-bax/bn-k+1i si cereti-i sa va furnizeze valorile ei pentru k = 1, 2, ..., n. Nu uitati sa-i explicati cum sa efectueze calculele necesare.
P4. Daca f1, f2, ..., fn sunt cele n rezultate, atunci veti face propriul dvs. calcul pe baza formulei

· Algoritmul de mai sus poate fi inlocuit cu un altul echivalent, bazat pe formula: "Dati, pe rand, restul impartirilor succesive ale numarului yk la b, unde yk = ax/bn-ki, k luand valorile 1, 2, ..., n".
· O forma echivalenta cu cea de la punctul 4 se poate rezuma la n intrebari succesive de forma: "Imparte fara rest numarul ales la bn-k si spune restul impartirii acestuia la b", unde k ia, pe rand, valorile 1, 2, ..., n. Totusi, in practica este indicat sa se apeleze la formule mai atractive. Pentru diversitate, de exemplu in cazul in care baza b = 3, se poate cere doar suma cifrelor impartirii fara rest, urmand ca restul sa-l aflati chiar dvs. din acest numar. Mult mai simplu poate fi tratat cazul b = 2 in care se poate intreba daca rezultatul impartirii fara rest este un numar par sau impar.