1.1. Despre matrici

Acest concept l-am intalnit inca din primul an de liceu, atunci cand s-a pus problema rexolvarii unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute x, y, de forma . q9u19uf
Acestui sistem i-am asociat un teblou patratic, care contine coeficientii necunoscutelor (in prima linie sunt coeficientii lui x, y din prima ecuatie, iar in a doua linie figureaza coeficientii lui x, y din ecuatia a doua): .
Am numit acest tablou matrice patratica (sau matricea sistemului). Pe cele doua coloane ale matricei figureaza coeficientii lui x (pe prima coloana a, ) si respectiv coeficientii lui y (pe a doua coloana b, ).

Definitie. Se numeste matrice cu m linii si n coloane (sau de tip ) un tablou cu m linii si n coloane ale carui elemente sunt numere complexe.

Uneori aceasta matrice se noteaza si unde si . Pentru elementul , indicele i arata linia pe care se afla elementul, iar al doilea indice j indica pe ce coloana este situat.
Multimea matricilor de tip cu elemente numere reale se noteaza prin . Aceleasi semnificatii au si multimile , , .

Cazuri particulare
1) O matrice de tipul (deci cu o linie si n coloane) se numeste matrice linie si are forma
.
2) O matrice de tipul (cu m linii si o coloana) se numeste matrice coloana si are forma
.
3) O matrice de tip se numeste nula (zero) daca toate elementele ei sunt zero. Se noteaza cu O
.
4) Daca numarul de linii este egal cu numarul de coloane, atunci matricea se numeste patratica.
.
Sistemul de elemente reprezinta diagonala principala a matricii A, iar suma acestor elemente se numeste urma matricii A notata Tr(A) . Sistemul de elemente reprezinta diagonala secundara a matricii A.
Multimea acestor matrici se noteaza . Printre aceste matrici una este foarte importanta aceasta fiind si se numeste matricea unitate (pe diagonala principala are toate elementele egale cu 1, iar in rest sunt egale cu 0).

1.2. Operatii cu matrici

1.2.1. Egalitatea a doua matrici

Definitie. Fie , . Spunem ca matricile A, B sunt egale si scriem A = B daca = , , .

Exemplu: Sa se determine numerele reale x, y astfel incat sa avem egalitatea de matrici
.
R. Matricile sunt egale daca elementele corespunzatoare sunt egale, adica:
Rezolvand acest sistem gasim solutia x = 1, y = -3.

1.2.2. Adunarea matricilor

Definitie. Fie , , . Matricea C se numeste suma matricilor A, B daca: = + , , .

Observatii
1) Doua matrici se pot aduna daca sunt de acelasi tip, adica daca au acelasi numar de linii si acelasi numar de coloane, deci A, B .
2) Explicit adunarea matricilor A, B inseamna:
+ = .

Exemplu: Sa se calculeze A + B pentru:
1. ;
2.
R. 1. Avem

2. Avem
.

Proprietati ale adunarii matricilor
(Asociativitatea adunarii). Adunarea matricilor este asociativa, adica: , A, B, C .
(Comutativitatea adunarii). Adunarea matricilor este comutativa, adica: , A, B .
(Element neutru). Adunarea matricilor admite matricea nula ca element neutru, adica astfel incat A + = A, A .
(Elemente opuse). Orice matrice A are un opus, notat , astfel incat
.

1.2.3. Inmultirea cu scalari a matricilor

Definitie.Fie C si A = . Se numeste produsul dintre scalarul C si matricea A, matricea notata definita prin = .
Obs.: A inmulti o matrice cu un scalar revine la a inmulti toate elementele matricii cu acest scalar.

Deci = .
Exemplu Fie . Atunci 6A = .

Proprietati ale inmultirii matricilor cu scalari , C, A ; , C, A, B ; , C, A ; ,1 C, A ;

1.2.4. Inmultirea matricilor

Definitie. Fie A = , B = . Produsul dintre matricile A si B (in aceasta ordine), notat AB este matricea C = definita prin , , .

Observatii
1) Produsul AB a doua matrici nu se poate efectua intotdeauna decat daca A , B , adica numarul de coloane ale lui A este egal cu numarul de linii ale lui B, cand se obtine o matrice C = AB .
2) Daca matricile sunt patratice A, B atunci are sens intotdeauna atat AB cat si BA, iar, in general, AB BA adica inmultirea matricilor nu este comutativa.

Proprietati ale inmultirii matricilor
(Asociativitatea inmultirii). Inmultirea matricilor este asociativa, adica , A , B , C .
(Distributivitatea inmultirii in raport cu adunarea). Inmultirea matricilor este distributiva in raport cu adunarea matricilor, adica
A, B, C matrici pentru care au sens operatiile de adunare si inmultire.
Daca este matricea unitate, atunci
A .
Se spune ca este element neutru in raport cu operatia de inmultire a matricilor.

1.2.5. Puterile unei matrici

Definitie. Fie A . Atunci , , , …, , n . (Convenim ).

TEOREMA Cayley -; Hamilton. Orice matrice A isi verifica polinomul caracteristic .
Pentru n = 2.

.
polinom caracteristic

Generalizat.