x6m16mq
Rezolvarea ecuatiei complete de gradul IV are loc relativ cam in aceeasi
perioada cu aceea a ecuatiei de gradul III.
Conform scrierilor istorice,Cardano infiaza practic pe un elev al sau
,pe nume Lodovico Ferrari din Bologna ,talent ,matematic de mare forta.
Ferrari(1522-1565), a fost, in limbaj modern, asistentul lui Cardano.L-a
insotit pe acesta in calatoriile sale stiintifice, l-a ajutat in
redactarea monumentalei ,,Ars Magna” in care de fapt Cardano a si
inclus metoda lui Ferrari de rezolvare a ecuatiei de gradul IV.
Ferrari a ajuns la solutia generala a ecuatiei de gradul IV tot in urma
unei intreceri publice.
Conform cu Pietro Cossali(1748-1815), care a scris prin 1797 o istorie a algebrei,
Giovanni Colla a propus lui Tartaglia o problema ce conduce la urmatorul sistem
de ecuatii:
Prin eliminarea lui y si z, Tartaglia obtine ecuatia de gradul IV
Venind in contact cu disputa intre Colla si Tartaglia ,Cardano
il atrage pe Ferrari in rezolvarea problemei. Acesta o rezolva in
timp record, Cardano avand timpul necesar sa includa metoda in celebra
,,Ars Magna” (1545).
Practic, Ferrari a considerat o ecuatie de tipul: p, q, n R pe care, dupa o serie de artificii convenabile, o aduce la o asa-numita rezolventa
de gradul III:
Sa consideram acum ecuatia de gradul IV sub forma uzuala: x4 +px2 +qx+r=0
Pentru orice real, are loc identitatea:
Il vom determina pe astfel incat sa aiba loc relatia:
(adica discriminantul trinomului din paranteza dreapta sa fie nul).
Ecuatia respectiva este de gradul III (rezolventa 1), deci odata determinat
se poate scrie:
Asadar ecuatia de gradul IV se reduce la sau adica la doua ecuatii simple de grad II .
Consideram polinomul general de grad IV P(x)=x4 +ax3 +bx2 +cx+d si dorim sa-l
transformam astfel ca acesta sa poata fi scris ca diferenta a doua patrate perfecte: sau
Introducem o necunoscuta auxiliara z in felul urmator :
sau inca: unde evident:
Bineinteles, polinomul este un patrat perfect, daca adica:
care nu este altceva decat rezolventa in cazul general.
Facem o observatie interesanta: daca z0 este o radacina rationala a rezolvantei
de mai inainte si expresiile: sunt numere rationale, atunci polinomul P(x)= x4 +ax3 +bx2 +cx+d este reductibil
in campul numerelor rationale.
EXEMPLU: fie polinomul P(x)=6x4 -;7x3 +x2 -;2.
Consideram polinomul inrudit : si alcatuim rezolvarea acestuia: sau, prin substitutia 2z=u, obtinem rezolventa 180u3 -;18u2 +144u+25=0
Aceasta ecuatie are radacina rationala deci
Calculam pe rand expresiile:
Polinomul nostru se poate scrie in final , deci este reductibil.
