Referat, comentariu, eseu, proiect, lucrare bacalaureat, liceu si facultate
Top referateAdmitereTesteUtileContact
      
    


 


Ultimele referate adaugate

Adauga referat - poti sa ne ajuti cu un referat?

Politica de confidentialitate





Ultimele referate descarcare de pe site
  CREDITUL IPOTECAR PENTRU INVESTITII IMOBILIARE (economie)
  Comertul cu amanuntul (economie)
  IDENTIFICAREA CRIMINALISTICA (drept)
  Mecanismul motor, Biela, organe mobile proiect (diverse)
  O scrisoare pierduta (romana)
  O scrisoare pierduta (romana)
  Ion DRUTA (romana)
  COMPORTAMENT PROSOCIAL-COMPORTAMENT ANTISOCIAL (psihologie)
  COMPORTAMENT PROSOCIAL-COMPORTAMENT ANTISOCIAL (psihologie)
  Starea civila (geografie)
 




Ultimele referate cautate in site
   domnisoara hus
   legume
    istoria unui galban
   metanol
   recapitulare
   profitul
   caract
   comentariu liric
   radiolocatia
   praslea cel voinic si merele da aur
 
despre:
 
INTEGRALE DEFINITE - SUME RIEMANN
Colt dreapta
Vizite: ? Nota: ? Ce reprezinta? Intrebari si raspunsuri
 

Definitie: Se da colectia de obiecte: j2e18ek
- aa,bi -; interval inchis
- ?-; diviziune a intervalului aa,bi
? = (a=x0<x1<x2<…<xn=b)
- f:aa,bi?R
- ?I -; un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul aa,bi
?I ? axi-1,xii

Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii ? si sistemului de puncte intermedi-are ?I numarul notat: n
??(f,?i) = ? f(?i)*(xi-xi-1) i=1

INTEGRALE IN SENS RIEMANN

Definitie: Se da f:aa,bi?R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca ? if ? R a.i. ? ?>0,? ??>0 cu proprietatea ca ? ? o diviziune a intervalului aa,bi si (?i) un sistem de puncte intermediare, ?i ? axi-1,xii cu ||?||<?? sa avem |??(f,?i) -; if |<?.

if -; se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul aa,bi b notez: if = ? f(x)*dx. a

b
Obs:
1) Numarul real if este unic; ? f(x)*dx este unica. a
Demonstratie:
P.p.a. ca ? i1?i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru ? ?>0 ? ?k,?>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune:
?=(x0,x1,…,xn) a lui aa,bi cu ||?|| < ?? si orice puncte intermediare xi-1 ? ?i ? xi (1 ? i ? n) sa avem:
|??(f,?)-ik|<?/2 (k=1,2).

Luand ?? = min(?1,? , ?2,?) rezulta ca pentru orice diviziune ? a lui aa,bi cu ||?||<?? si orice sistem (?i) de puncte intermediare asociat lui ?, avem:
|??(f,?)-i1| < ?/2 si |??(f,?)-i2| < ?/2, deci: |i1-; i2| < |i1-; ??(f,?)| + |??(f,?)-i2| < ?/2+?/2 = ?.

Cum ? > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1?i2 ? contradictie.
Deci if este unic.

2) f:aa,bi?R f -; integrabila in sens Riemann pe aa,bi ? f marginita pe aa,bi

Demonstratie: f -; integrabila pe aa,bi ? ? if ? R a.i. ? ? o diviziune a lui aa,bi si ? ?>0, ? ??>0 pentru care ||?||<?? ? |??(f,?i) -; if |<? ? ?i un sistem de puncte intemediare.




Arat ca f este marginita pe axk-1,xki
? x, i?k
Fie ?i=?
?xi, i=k

n n
??(f,?i) = ? f(?i)*(xi-xi-1) = ? f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) i=1 i=1 i?k
|??(f,?i) -; if | < ?
-;? < ??(f,?i) -; if < ? /+ if
-;? + if < ??(f,?i) < ? + if

n
-;? + if < ? f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) < ? + if i=1 i?k

1/(xk-xk-1)*a -; ? + if -; ? f(xi)*(xi-xi-1)i < f(x) < 1/(xk-xk-1)*a -; ? + if -; ? f(xi)*(xi-xi-1)i
a?????????????????????????????i a?????????????????????????????i
M1 M2
M1< f(x) < M2
? f -; marginita pe axk-1,xki ? k ? A1,2,…,nS ? f -; marginita pe aa,bi

3) f,g:aa,bi? R
A?aa,bi
A finita, cu proprietea: i) g integrabila pe aa,bi ii) f(x)=g(x) ?x?aa,bi\A

atunci: a) f -; integrabila pe aa,bi b b b) ? g(x)*dx = ? f(x)*dx a a

Demonstratie:
Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A=AcS.
Functia g fiind integrabila, este marginita, deci ? M1 ? 0 astfel incat:
|g(x)| ? M1 ? x?aa,bi

Luand M = max( M1, |f(c)| ) ? f(x) ? M si g(x) ? M ? x?aa,bi. g -; integrabila ? ? ? > 0, ? ?’? > 0 a.i.: b
1) | ??(g,?i) -; ? g(x)*dx | < ?/2 a
? ? = (x0, x1,…,xn), cu ||?|| < ?’? si ? sistemul de puncte intermediare ?i.
Luand ?? = min (?’?, ?/(8*M) ), avem ?? ? ?? si 4*M*?? ? ?/2.
Daca c este un punct al diviziunii ?, atunci ? 0 ? i ? n astfel incat c = xj. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele ?j sau ?j+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) ? x ? c, obtinem:

| ??(g,?i) -; ??(f,?i) | = | ? ( g(?i) -; f(?i) )*( xi -; xi-1 )| ? | g(?j) -; f(?j)|*(xj -; xj-1) + | g(?j+1) -; -; f(?j+1)|*(xj+1 -; xj) ? 4*M*||?|| < 4*M*?? < ?/2

Daca c nu este punct al diviziunii ?, atunci c este continut intr-un interval deschis
(xk-1,xk). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul ?k, prin urmare:

| ??(g,?i) -; ??(f,?i) | = | ? ( g(?i) -; f(?i) )*( xi -; xi-1 )| ? | g(?k) -; f(?k)|*(xk -; xk-1) ? 2*M*||?|| ? ? 2*M*?? < ?/2

Din analiza facuta pana acum rezulta ca:
2) | ??(g,?i) -; ??(f,?i) | < ?/2

Din 1) si 2) obtinem: b
| ??(f,?i) -; ? g(x)*dx | < ? a b b adica f este integrabila si: ? f(x)*dx = ? g(x)*dx. a a

EXEMPLE:

1) f:aa,bi? R f(x) = k a
? f -; integrabila si ? k*dx = k*(b-a) b

? if = k*(b-a) a.i. ? ? > 0 ? ?? > 0 cu proprietatea ca ? ?= (x0=a<x1<…<xn=b) si
? ?i ?axi-1,xii, ||?||<?? ? |??(f,?i) -; if |<?

??(f,?i) = ? f(?i)*(xi-;xi-1) = ? k(xi-;xi-1) = k*? (xi-;xi-1) = k(x1-;x0+x2-;x1+…+xn-;xn-1) =
= k*(xn -; x0) = k*(b-a)

|??(f,?i) -; if | = |k*(b-a) -; k*(b-a)| = 0 < ? ? ?>0.



2) f,g:aa,bi? R
? 1, pentru x?Q ?-1, pentru x?Q f(x) = ? g(x) = ?
?-1, pentru x?R\Q ? 1, pentru x?R\Q

f,g -; nu sunt integrabile

Demonstratie pentru f(x) :
Fie ?= (a=x0<x1<…<xn=b), avem:
?? 1*(xi -; xi-1) = b-a, pentru ?i ? Q
??(f,?) = ?
?? (-1)*(xi -; xi-1) = a-b, pentru ?i ? R\Q

Cum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor ?i, functia nu este integrabila.
Demonstratia se face analog pentru g(x).

Desi f,g nu sunt integrabile functiile:
(f+g)(x) = 0 ?x?aa,bi
(f*g)(x) = -1 ?x?aa,bi
(fog)(x) = 1 ?x?aa,bi sunt integrabile ca fiind functii constante.

3) Sa se cerceteze integrabilitatea functiei:
? 0, daca x este irational sau x = 0
G(x) = ?
? 1/q, daca x = p/q, p/q fractie ireductibila

Rezolvare: Functia este integrabila pe segmentul a0,1i. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul a0,1i avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie acesta k. Fie ? o diviziune arbi-trara a segmentului a0,1i. Exista cel mult 2k intervale partiale (pe care le notam d1’,d2’,…,d2k’) care sa contina cele k puncte considerate anterior. Fiind dat ?>0, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului ?/2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d1”, d2”,… d2m” celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele di” (i = 1, 2, …, m) contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x = p/q, q>N, si astfel ca G(p/q) = =1/q<1/N. Deci :
2k m
Sd(G) -; sd(G) = ? (Mi’ -; mi’)?i’ + ? (Mi” -; mi”)?i” i=1 i=1
Am notat cu Mi’, respectiv mi’ marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di’ si cu Mi”, respectiv mi” marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di”, ?i’ este lungimea lui di’, iar ?i” este lungimea lui di”.
Deoarece Mi’ -; mi’<1, mi” = 0, Mi”<1/N, ? i, avem
2k m
Sd(G) -; sd(G) < ? ?i’ + (1/N)*? ?i” < ?/2 + 1/N. i=1 i=1
Daca N > 2/?, atunci 1/N < ?/2 si Sd(G) -; sd(G) < ?.
Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a
1 functiei este 0, avem sd(G) = 0, ? ?; rezulta I = ? G(x)dx = 0. Datorita integrabilitatii functiei
0
G, avem :
1
?G(x)dx = 0.
0
Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila.




Colt dreapta
Creeaza cont
Comentarii:

Nu ai gasit ce cautai? Crezi ca ceva ne lipseste? Lasa-ti comentariul si incercam sa te ajutam.
Esti satisfacut de calitarea acestui referat, eseu, cometariu? Apreciem aprecierile voastre.

Nume (obligatoriu):

Email (obligatoriu, nu va fi publicat):

Site URL (optional):


Comentariile tale: (NO HTML)




Noteaza referatul:
In prezent referatul este notat cu: ? (media unui numar de ? de note primite).

2345678910



 
Copyright© 2005 - 2024 | Trimite referat | Harta site | Adauga in favorite
Colt dreapta