Definitie: Se da colectia de obiecte: j2e18ek
- aa,bi -; interval inchis
- ?-; diviziune a intervalului aa,bi
? = (a=x0<x1<x2<…<xn=b)
- f:aa,bi?R
- ?I -; un sistem de puncte intermediare cuprins in intervalul aa,bi
?I ? axi-1,xii

Numim suma Riemann atasata functiei f, diviziunii ? si sistemului de puncte intermedi-are ?I numarul notat: n
??(f,?i) = ? f(?i)*(xi-xi-1) i=1

INTEGRALE IN SENS RIEMANN

Definitie: Se da f:aa,bi?R. Spunem ca functia f este integrabila in sens Riemann daca ? if ? R a.i. ? ?>0,? ??>0 cu proprietatea ca ? ? o diviziune a intervalului aa,bi si (?i) un sistem de puncte intermediare, ?i ? axi-1,xii cu ||?||<?? sa avem |??(f,?i) -; if |<?.

if -; se numeste integrala definita a functiei f pe intervalul aa,bi b notez: if = ? f(x)*dx. a

b
Obs:
1) Numarul real if este unic; ? f(x)*dx este unica. a
Demonstratie:
P.p.a. ca ? i1?i2 care verifica conditiile din definitie, atunci pentru ? ?>0 ? ?k,?>0 (k=1,2) astfel incat pentru orice diviziune:
?=(x0,x1,…,xn) a lui aa,bi cu ||?|| < ?? si orice puncte intermediare xi-1 ? ?i ? xi (1 ? i ? n) sa avem:
|??(f,?)-ik|<?/2 (k=1,2).

Luand ?? = min(?1,? , ?2,?) rezulta ca pentru orice diviziune ? a lui aa,bi cu ||?||<?? si orice sistem (?i) de puncte intermediare asociat lui ?, avem:
|??(f,?)-i1| < ?/2 si |??(f,?)-i2| < ?/2, deci: |i1-; i2| < |i1-; ??(f,?)| + |??(f,?)-i2| < ?/2+?/2 = ?.

Cum ? > 0 a fost luat arbitrar, rezulta i1=i2; dar din ipoteza i1?i2 ? contradictie.
Deci if este unic.

2) f:aa,bi?R f -; integrabila in sens Riemann pe aa,bi ? f marginita pe aa,bi

Demonstratie: f -; integrabila pe aa,bi ? ? if ? R a.i. ? ? o diviziune a lui aa,bi si ? ?>0, ? ??>0 pentru care ||?||<?? ? |??(f,?i) -; if |<? ? ?i un sistem de puncte intemediare.

Arat ca f este marginita pe axk-1,xki
? x, i?k
Fie ?i=?
?xi, i=k

n n
??(f,?i) = ? f(?i)*(xi-xi-1) = ? f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) i=1 i=1 i?k
|??(f,?i) -; if | < ?
-;? < ??(f,?i) -; if < ? /+ if
-;? + if < ??(f,?i) < ? + if

n
-;? + if < ? f(xi)*(xi-xi-1) + f(x)*(xk-xk-1) < ? + if i=1 i?k

1/(xk-xk-1)*a -; ? + if -; ? f(xi)*(xi-xi-1)i < f(x) < 1/(xk-xk-1)*a -; ? + if -; ? f(xi)*(xi-xi-1)i
a?????????????????????????????i a?????????????????????????????i
M1 M2
M1< f(x) < M2
? f -; marginita pe axk-1,xki ? k ? A1,2,…,nS ? f -; marginita pe aa,bi

3) f,g:aa,bi? R
A?aa,bi
A finita, cu proprietea: i) g integrabila pe aa,bi ii) f(x)=g(x) ?x?aa,bi\A

atunci: a) f -; integrabila pe aa,bi b b b) ? g(x)*dx = ? f(x)*dx a a

Demonstratie:
Este suficient ca demonstratia sa fie facuta pentru cazul cand multimea finita A este for-mata dintr-un singur punct c, deoarece cazul general se poate obtine din acesta prin inductie. Presupunem deci A=AcS.
Functia g fiind integrabila, este marginita, deci ? M1 ? 0 astfel incat:
|g(x)| ? M1 ? x?aa,bi

Luand M = max( M1, |f(c)| ) ? f(x) ? M si g(x) ? M ? x?aa,bi. g -; integrabila ? ? ? > 0, ? ?’? > 0 a.i.: b
1) | ??(g,?i) -; ? g(x)*dx | < ?/2 a
? ? = (x0, x1,…,xn), cu ||?|| < ?’? si ? sistemul de puncte intermediare ?i.
Luand ?? = min (?’?, ?/(8*M) ), avem ?? ? ?? si 4*M*?? ? ?/2.
Daca c este un punct al diviziunii ?, atunci ? 0 ? i ? n astfel incat c = xj. In acest caz singurele puncte intermediare care ar putea coincide cu c sunt punctele ?j sau ?j+1. Deci tinand seama de faptul ca f(x) = g(x) ? x ? c, obtinem:

| ??(g,?i) -; ??(f,?i) | = | ? ( g(?i) -; f(?i) )*( xi -; xi-1 )| ? | g(?j) -; f(?j)|*(xj -; xj-1) + | g(?j+1) -; -; f(?j+1)|*(xj+1 -; xj) ? 4*M*||?|| < 4*M*?? < ?/2

Daca c nu este punct al diviziunii ?, atunci c este continut intr-un interval deschis
(xk-1,xk). Deci singurul punct intermediar care ar putea coincide cu c este punctul ?k, prin urmare:

| ??(g,?i) -; ??(f,?i) | = | ? ( g(?i) -; f(?i) )*( xi -; xi-1 )| ? | g(?k) -; f(?k)|*(xk -; xk-1) ? 2*M*||?|| ? ? 2*M*?? < ?/2

Din analiza facuta pana acum rezulta ca:
2) | ??(g,?i) -; ??(f,?i) | < ?/2

Din 1) si 2) obtinem: b
| ??(f,?i) -; ? g(x)*dx | < ? a b b adica f este integrabila si: ? f(x)*dx = ? g(x)*dx. a a

EXEMPLE:

1) f:aa,bi? R f(x) = k a
? f -; integrabila si ? k*dx = k*(b-a) b

? if = k*(b-a) a.i. ? ? > 0 ? ?? > 0 cu proprietatea ca ? ?= (x0=a<x1<…<xn=b) si
? ?i ?axi-1,xii, ||?||<?? ? |??(f,?i) -; if |<?

??(f,?i) = ? f(?i)*(xi-;xi-1) = ? k(xi-;xi-1) = k*? (xi-;xi-1) = k(x1-;x0+x2-;x1+…+xn-;xn-1) =
= k*(xn -; x0) = k*(b-a)

|??(f,?i) -; if | = |k*(b-a) -; k*(b-a)| = 0 < ? ? ?>0.

2) f,g:aa,bi? R
? 1, pentru x?Q ?-1, pentru x?Q f(x) = ? g(x) = ?
?-1, pentru x?R\Q ? 1, pentru x?R\Q

f,g -; nu sunt integrabile

Demonstratie pentru f(x) :
Fie ?= (a=x0<x1<…<xn=b), avem:
?? 1*(xi -; xi-1) = b-a, pentru ?i ? Q
??(f,?) = ?
?? (-1)*(xi -; xi-1) = a-b, pentru ?i ? R\Q

Cum limita sumelor integrale depinde de alegerea punctelor ?i, functia nu este integrabila.
Demonstratia se face analog pentru g(x).

Desi f,g nu sunt integrabile functiile:
(f+g)(x) = 0 ?x?aa,bi
(f*g)(x) = -1 ?x?aa,bi
(fog)(x) = 1 ?x?aa,bi sunt integrabile ca fiind functii constante.

3) Sa se cerceteze integrabilitatea functiei:
? 0, daca x este irational sau x = 0
G(x) = ?
? 1/q, daca x = p/q, p/q fractie ireductibila

Rezolvare: Functia este integrabila pe segmentul a0,1i. Intr-adevar fie N un numar ales arbi-trar. Sa consideram multimea tuturor punctelor rationale din intervalul a0,1i avand numitorul mai mic decat N. Exista un numar finit de astfel de puncte, fie acesta k. Fie ? o diviziune arbi-trara a segmentului a0,1i. Exista cel mult 2k intervale partiale (pe care le notam d1’,d2’,…,d2k’) care sa contina cele k puncte considerate anterior. Fiind dat ?>0, vom alege di-viziunea in asa fel incat suma lungimilor celor 2k intervale sa fie inferioara numarului ?/2. Aceasta se poate realiza alegand norma diviziunii suficeint de mica. Notam d1”, d2”,… d2m” celelalte intervale partiale ale diviziunii. Intervalele di” (i = 1, 2, …, m) contin, in afara de puncte irationale in care valoarea functiei este 0, puncte rationale de forma x = p/q, q>N, si astfel ca G(p/q) = =1/q<1/N. Deci :
2k m
Sd(G) -; sd(G) = ? (Mi’ -; mi’)?i’ + ? (Mi” -; mi”)?i” i=1 i=1
Am notat cu Mi’, respectiv mi’ marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di’ si cu Mi”, respectiv mi” marginea supearioara, respectiv marginea inferiaora a functiei in intervalul di”, ?i’ este lungimea lui di’, iar ?i” este lungimea lui di”.
Deoarece Mi’ -; mi’<1, mi” = 0, Mi”<1/N, ? i, avem
2k m
Sd(G) -; sd(G) < ? ?i’ + (1/N)*? ?i” < ?/2 + 1/N. i=1 i=1
Daca N > 2/?, atunci 1/N < ?/2 si Sd(G) -; sd(G) < ?.
Putem calcula efectiv valoarea integralei. Deoarece in orice interval valoarea minima a
1 functiei este 0, avem sd(G) = 0, ? ?; rezulta I = ? G(x)dx = 0. Datorita integrabilitatii functiei
0
G, avem :
1
?G(x)dx = 0.
0
Integrabilitatea functiei se mai putea stabili tinand seama de faptul ca multimea puncte-lor ei de discontinuitate este multimea numerelor rationale care este numarabila, deci neglija-bila.