u6m9mq

Pentru a si b >0 notam ma = , mg = , mh = , mp = ;
? Ma se numeºte media aritmetica a numerelor a si b;
? Mg se numeºte media geometrica a numerelor a si b;
? Mh se numeºte media armonica a numerelor a si b;
? Mp se numeºte media patratica a numerelor a si b;
Printr-un calcul simplu se arata ca : min(a,b) mh mg ma mp max(a,b) cu egalitate daca ºi numai daca a = b;
In continuare vom demonstra geometric unele dintre acestea:
1 . Consideram un triunghi dreptunghic avad ipotenuza BC ºi CD=a, DB=b iar

AD BC. Evident mediana AM = iar
inaltimea AD = .Avem AM AD cu egalitate cand M=D adica a=b. Deci ma mg ;

2. In triunghiul dreptunghic ABC , se considera un punct P pe ipotenuza (BC). Demonstraþi ca AP2=
Fie AD inalþime,deci AD mediana ºi AD =BC/2=(BP+PC)/2.Presupunem
CP PD deci PD =CP -; CD =CP -; BC /2= CP -; (CP+BP) /2=(CP -; BP ) /2;

In triunghiul dreptunghic ADP avem AP2 =AD2 +DP2 adica:

AP2=
Comentariu
Evident AD= cu egalitate pentru PB=PC.
Rezulta inegalitatea ma mp;
Aceasta este o justificare geometrica a inegalitaþii dintre media aritmetica ºi cea patratica a doua numere pozitive. Construcþia este urmatoarea:Se construiesc segmentele CP=a si PB=b . Se construieºte cercul de diametru BC (BC=a+b),se construieºte mediatoarea segmentului aBCi. Intersecþia dintre cerc ºi mediatoare este punctul A. Lungimea segmentului aAPi va reprezenta media patratica a lui a si b.
3. Se considera un trapez dreptunghic avand bazele a si b iar inalþimea AB=2 .Cercul de diametru AB este tangent laturii CD in punctul T.
Fie M mijlocul lui CD, CN | | AB atunci MO= , OT= ,PT= .

Evident PT < TO < MO adica mh mg ma

Elev : Ursu Bogdan -; Radu
Clasa: a IX -;a B