T1:Restul impartirii unui polinom f <> 0 prin polinomul X-a este egal cu valoarea f(a) a polinomului f in a.

Demonstratie: y2b23bh
-aplicam teorema impartirii cu rest

? f= ( X -; a ) q + r ,unde grad de r < grad ( X -; a ) =1 (1)

? grad r <= 0 (nr. Complex)

in 1 facem X=a ? f ( a ) = ( a -; a ) q ( a )+r ( a )
? f ( a ) = r( a )

dar r( a )=polinom constant r ( a )=r ?r = f ( a )

Aceasta teorema ne ajuta sa gasim restul impartirii unui polinom oarecare prin polinomul X-a fara a mai face impartirea.

Ex: Sa se gaseasca restul impartirii polinomului f = X 3 - 2 X 2 + X + 1 prin binomul X-2.

R= f(2)=2 3 -; 2*2 2 +2 +1=3.

Teorema are dezavantajul ca nu ne spune nimic asupra citului impartirii polinomului f prin X-a.
Procedeu de aflare a catului :

f = an X n +a n-1 X n-1 +…..+ a 0

f = ( X -; a ) q + r (2)

grad f = n ? grad q = n -; 1

? q = bn-1 X n-1 +bn-2 X n-2 +…..+b0

(2) an X n +a n-1 X n-1+...+ a 0 = (X-a)( bn-1 X n-1 +bn-2 X n-2+...+b0 )+ r

n-1 n-2 n-1 n-2 n-1
(X - a) ( bn-1 X +bn-2 X +…..+b0 ) =bn-1 X +bn-2 X +….+ b0 X- abn-1 X -

n-2
-abn-2 X -…- ab 0

n n-1 n-2

=bn-1 X +(bn-2 - abn-1 ) X +(bn-3 -; abn-2 )X +…+ ( b0 - ab1 )X -;ab0

n n-1 n n-1 n-2
(2) anX +a n-1 X +…..+ a 0==bn-1 X +(bn-2 - abn-1 ) X +(bn-3 -; abn-2 )X +

+…+ ( b0 - ab1 )X -;ab0

a n =b n-1

a n-1 =b n-2 - ab n-1

? a n-2 =b n-3 - ab n-2 (3)

……………………………..

a 1 =b 0 -ab 1

a 0 =r -ab 0

b n-1 = a n

b n-2 = a n-1 + ab n-1

? b n-3 = a n-2 + ab n-2 (4)

……………………………..

b 0 = a 1 + ab 1

r = a 0 + ab 0

X n X n-1 X n-2 ……………….. X 1 X 0

an an-1 an-2 ………………… a1 a0

an an-1+abn-1 an-2 +abn-2 ………………… a1+ab1 a0+ab0

bn-1 bn-2 bn-3 ………………… b0 r

Observatie:schema lui Horner ne ofera doar un procedeu de obtinere al catului nu si unul de determinare a restului!