CUPRINS

Pag. l9k17kb
Capitolul 1. Notiuni generale despre functii

Notiunea de functie ……………………………………………… 2
Graficul unei functii ………………………………………………5
Paritatea functiilor ……………………………………………….. 5
Monotonia functiilor ……………………………….…………….. 6
Valori extreme ale unei functii. Functie marginita ……………….7
Bijectivitate ………………………………………………………. 9
Inversabilitate ……………………………………………………..9
Operatii cu functii ………………………………………………. 10
Compunerea functiilor …………………………………………... 11

Capitolul 2. Functii particulare

Functia de gradul I ……………………………………………… 13
Functia de gradul al doilea ……………………………………… 14
Alte functii numerice …………………………………………… 15
Functia exponentiala ……………………………………………. 17
Functia logaritmica ……………………………………………... 18
Functia trigonometrica directa ………………………………….. 19
Functia trigonometrica inversa ………………………………….. 21

FUNCTII

DEFINITIE. NOTATIE.

Multimea A se numeste domeniul de definitie a functiei ¦.
B se numeste multimea in care functia ia valori sau codomeniul functiei ¦.
Daca ¦ este o functie de la A la B, atunci se mai spune ca ¦ este o aplicatie de la A la B.
De obicei functiile se noteaza cu litere mici ¦, g, h, …
Multimea functiilor de la A la B se noteaza cu F (A, B).

MODURI DE A DEFINI O FUNCTIE.

Indiferent de modul in care este definita o functie trebuie precizate cele trei elemente care o caracterizeaza: domeniul de definitie, codomeniul si legea de corespondenta.

1. FUNCTII DEFINITE SINTETIC corespund acelor functii f : A® B pentru care se indica fiecarui element x din A elementul y = f (x) din B.
Acest lucru se poate face fie cu ajutorul diagramei cu sageti, fie cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou.
Acest mod de a defini o functie se utilizeaza cand A este o multime finita.

EXEMPLE. 1) Fie f : A1, 2, 3S ® Aa,bS definita prin f (1) = f (2) = a, f (3) = b.
In diagrama cu sageti sunt reprezentate multimile prin diagrame, iar legea de corespondenta prin sageti.
A B Faptul ca fiecarui element x din A ii corespunde un unic
Element y = f (x) din B inseamna pentru diagrama cu sageti ca din fiecare element din A pleaca o singura sageata.
Cum pentru elementele codomeniului nu avem nici o exigenta inseamna ca intr-un astfel de element pot ajunge una, mai multe sageti sau niciuna.

Aceeasi functie o putem defini utilizand tabelul de valori.
Acesta este format din doua linii. In prima linie se trec elemetele multimii pe care este definita functia, iar in a doua linie valorile functiei in aceste elemente.
Pentru cazul analizat tabelul arata astfel: x 1 2 3 y = f (x) a a b
2) Functia ¦ : A1, 2, 3, 4S ® A1, 2, 3, 4S definita prin ¦(1) = 3, ¦(2) = 1, ¦(3) = 4, ¦(4) = 2 poate fi reprezentata sub forma unui tablou unde in rpima linie avem domeniul de definitie,

1 2 3 4
¦ =
3 1 4 2

iar in linia a doua sunt valorile functiei in punctele domeniului (3 este valoarea lui ¦ in x = 1, 1 este valoarea lui ¦ in x = 2, etc.). O astfel de functie se numeste permutare de gradul patru.
OBSERVATIE. Nu putem defini sintetic o functie al carui domeniu de definitie are o infinitate de elemente.

2. FUNCTII DEFINITE ANALITIC. Functiile ¦ : A® B definite cu ajutorul unei (unor) formule sau a unor proprietati sunt functii definite analitic. Corespondenta ¦ leaga intre ele elementul arbitrar x din A de imaginea sa ¦(x).

EXEMPLE. 1) Fie functia ¦ : R ® R, ¦(x) = x2. Aceasta functie asociaza fiecarui numar real x patratul lui, x2.
2) Functia ¦ : Z ® Z, ¦(x) = x - 1, daca x este par x + 1, daca x este impar, este exemplu de functie definita prin doua formule.
Functiile definite prin mai multe formule se numesc functii multiforme.
OBSERVATIE. In cazul functiilor multiforme, fiecare formula este valabila pe o anumita submultime a lui A si deci doua formule nu pot fi folosite pentru determinarea imaginea unuia si aceluias element.

Cea mai frecventa reprezentare a unei functii in matematica este printr-o formula. In acest caz, elementele domeniului de definitie si ale domeniului valorilor nu pot fi decat numere sau “obiecte matematice” pentru care s-au introdus reeguli de calcul corespunzatoare.
De exemplu: y = 3x -; 2.
Cand asupra domeniului de definitie nu s-au facut ipoteze speciale, se considera ca facand parte din acesta toate numerele reale, carora din formula respectiva li se pune in corespondenta o anumita valoare.
In cazul functiei y = 3x -; 2, domeniul de definitie este alcatuit din multimea numerelor reale.

IMAGINEA UNEI FUNCTII. PREIMAGINEA UNEI FUNCTII.

Fie ¦ : A ® B. Din definitia functiei, fiecarui element x I A I se asociaza prin functia ¦ un unic element ¦(x) I B, numit imaginea lui x prin ¦ sau valoarea functiei ¦ in x.

EXEMPLE. Consideram functia ¦ : A1, 2, 3, 4S ® Aa,b,c,dS data prin diagrama cu sageti.

Fie A’ = A1, 2, 3S.
Atunci ¦(A’) = A¦(1), ¦(2), ¦(3)S = Aa,cS

A B

EXEMPLE. In functia ¦ : A-1, 0, 1, 2S ® Aa, b, c, d, eS definita cu ajutorul diagramei cu sageti.
Atunci Im¦ = A¦(-1), ¦(0), ¦(1), ¦(2)S = Aa, b, cS I B.

A B
EXEMPLE. Se considera functia ¦ : A-1, 0, 1, 2S ® A1, 2, 3S definita prin diagrama cu sageti.

In acest caz, ¦-1(A1S) = A0S, deoarece ¦(0) = 1;
¦-1(A2S) = A-1, 1S pentru ca ¦(-1) = ¦(1) = 2;
¦-1(A1,2S) = A-1, 0, 1S, deoarece ¦(-1) = 2, ¦(0) = 1,
¦(1) = 2.

A B

GRAFICUL UNEI FUNCTII.

Se observa ca G¦ I A x B.

EXEMPLE. 1) Fie functia ¦ : A ® B, definita prin diagrama alaturata.

Graficul functiei ¦ este multimea
G¦ = A(1, a), (2, a), (3, b)S.

A ® B
1) Fie functia numerica ¦ : A ® B definita prin tabelul de valori.

x -1 0 1 2 In acest caz, graficul lui ¦ este multimea
G¦ = A(-1, 2), (0, 3), (1, -2), (2, 0)S.
¦(x) 2 3 -2 0

REPREZENTAREA GRAFICA A UNEI FUNCTII NUMERICE.
Daca functia ¦ : A ® B este o functie numerica, atunci la produsul cartezian A x B I R x R, unui cuplu (x, y) din A x B i se poate asocia in planul in care se considera un reper cartezian (planul cartezian) un punct M(x, y) (punctul M avand coordonatele x, y, componentele cuplului). Cum multimea R x R se reprezinta geometric prin planul cartezian, se poate deduce ca: graficul functiei numerice se reprezinta geometric printr-o anumita submultime a planului. Aceasta submultime a planului se numeste reprezentarea geometrica a graficului functiei. Reprezentarea grafica a unei functii ¦ : A ® B este,
in general, o curba, numita curba reprezentativa a functiei ¦ si notata C¦ = AM (x, y) çx I A, y = ¦(x)S. Prin abuz de limbaj, in loc de reprezentarea geometrica a unei functii vom spune simplu graficul functiei ¦.

EXEMPLE. Functia ¦ : A-1, 0, 1S ® R, ¦(x) = 2x are graficul G¦ = A(-1, -2), (0, 0), (1, 2)S, iar reprezentarea grafica este formata din trei puncte:
A(-1, -2), O(0, 0), B(1, 2).

FUNCTII PARE. FUNCTII IMPARE.

OBSERVATII. ¦ para Û Gf simetric fata de Oy
¦ impara Û Gf simetric fata de O (originea axelor).
MONOTONIA FUNCTIILOR.

Fie ¦ : A ® R, o functie de variabila reala si I I A.

O functie ¦ strict crescatoare pe I sau strict descrescatoare pe I se numeste strict monotona pe I.

O functie ¦ crescatoare pe I sau descrescatoare pe I se numeste monotona pe I.
Daca ¦ este strict monotona (sau monotona) pe A (pe tot domeniul de definitie ) spunem simplu ca functia ¦ este strict mnotona (sau monotona) fara a mai indica multimea.
A studia monotonia unei functii ¦ : A ® R revine la a preciza submultimile lui A pe care ¦ este strict crescatoare (crescatoare) si submultimile lui A pe care ¦ este strict descrescatoare (descrescatoare).
Pentru studiul monotoniei unei functii numerice ¦ : A ® R, se utilizeaza raportul:
¦(x2) - ¦(x1) cu x1, x2 I A, x1¹ x2, numit raportul de variatie asociat x2 - x1 functiei ¦ si numerelor x1, x2.
Diferenta x2 -; x1 se numeste variatia argumentului, iar diferenta ¦(x2) - ¦(x1) se numeste varitia functiei. Prin urmare raportul de variatie asociat lui ¦ si numerelor x1, x2 este raportul dintre variatia functiei si variatia argumentului.

Are loc urmatoarea:

VALORI EXTREME ALE UNEI FUNCTII. FUNCTIE MARGINITA.

Fie functia numerica ¦ : A ® R, I I A.

Fig. 1 Fig. 2
Valoarea maxima sau minima a lui ¦ pe I se numeste valoarea extrema a functiei pe I.
Punctul x0 de maxim sau x1 de minim se numeste punct de extrem pentru functia ¦ pe I.

EXEMPLE. Functia ¦ definita prin tabelul de valori are valoarea maxima egala cu 8 si se atinge pentru x = -6. Deci max ¦ = ¦(-6)= x -6 -4 -1 0 1 2 = 8. Punctul x = -6 este punct de maxim
¦(x) 8 3 -1 -5 0 1 pentru functie. Valoarea minima a lui ¦ este egala cu -;5 si se obtine pentru x = 0. Deci min ¦ = ¦(0) = -5. Punctul x= 0 este punctul de minim al functiei. In final, valorile extreme ale functiei sunt -;5 si 8, iar punctele de extrem sunt 0 si respectiv -;6.

Semnificatia geometrica a unei functii margintite este aceea ca graficul functiei este cuprins intre dreptele orizontale y = m, y = M. (fig. 3)

Fig. 3
BIJECTIVITATE
FUNCTIA INJECTIVA


Aceasta ultima echivalenta va fi utilizata pentru a proba ca o functie este injective.
Pe diagrama cu sageti o functie este injective daca in fiecare element al codomeniului ajunge cel mult o sageata.
Utilizand graficul unei functii, se poate stabili daca functia este injective ducand prin fiecare punct al codomeniului o paralela la axa Ox. Daca aceasta taie graficul in cel mult un punct, functia este injective.
Pentru a arata ca o functie ¦: A ? B nu este injective este sufficient sa aratam ca exista doua elemente x1, x2 I A, x1 ? x2 pntru care ¦(x1) = ¦(x2).

OBSERVATIE. ¦ este injectiva Û ¦(X -; Y) = ¦(X) - ¦(Y), "X,YI A

EXEMPLU. Sa se arate ca functia ¦ : R ® R, ¦(x) = 3x este injectiva. Fie x1, x2 IR pentru care ¦ (x1)= ¦ (x2). Avem achivalenta 3x1=3x2, deci x1=x2, de unde rezulta ca ¦ este injectiva.

FUNCTIA SURJECTIVA

Din ultima echivalenta se deduce ca:

Pe diagrama cu sageti o funtie este surjectiva daca la fiecare element din B ajunge cel putin o sageata.
Graficul unei functii poate preciza daca functia este surjectiva. Daca orice paralela la Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in cel putin un punct.
O functie ¦: A ? B nu este surjectiva daca exista y I B astfel incat " x I A, ¦ (x) ? y.
EXEMPLU. Functia ¦ : R ®R, ¦(x) = 3x este surjectiva, deoarece " y IR, $ x IR a.i. ¦(x) = y Û 3x= y Û x= y/3.
FUNCTIA BIJECTIVA

Pe diagrama cu sageti o functi este bijectiva daca in fiecare element al codomeniului ajunge exact o sageata. Se mai spune despre functia bijectiva ca este o corespondenta “one to one” (“unu la unu”).
O functie numerica data prin graficul sau este bijectiva daca orice paralela la ax Ox dusa printr-un punct al codomeniului taie graficul in exact un punct.
EXEMPLU. Functia ¦: R® R , ¦(x) = 3x este bijectiva.

INVERSABILITATE
FUNCTIA INVERSA
Daca ¦: A ? B este bijectiva, atunci pentru orice element y I B exista exact un element x din A astfel incat ¦(x) = y, ceea ce inseamna ca x = ¦-1 (y) (adica preimaginea elementului y este elementul x).

OBSERVATII. 1) Sa remarcam ca functia ¦-1: B ? A exista daca ¦: A ? B este bijectiva.
2) Functia ¦-1 are ca domeniu de definitie codomeniul functiei directe, iar drept codomeniu, domeniul de definitie al functiei directe.
3) Daca ¦ este bijectiva, atunci ¦-1 este bijectiva si avem (¦-1 ) -1 = ¦.
4) Pentru a construi diagrama cu sageti a lui ¦-1 , schimbam sensul sagetilor de pe diagrama cu sageti a lui ¦. (Se spune ca ¦-1 actioneaza “invers” decat ¦ .) Schema de “functionare” a lui ¦ si ¦-1 este redata mai jos.

x I A B ' y

5) Nu conteaza cum se noteaza argumentul lui ¦-1 . De aceea, vom prefera pe x in locul lui y.

OPERATII CU FUNCTII

EXEMPLU. ¦ : Z ® R, ¦(x) = 3x+1

OBSERVATII. 1) Se defineste produdul dintre un numar real a si o functie ¦ : A ® R, ca fiind functia a¦ : A ® R, (a¦ ) (x) = a¦ (x), " x I A.
2) Daca ¦ , g : A ® R,atunci definim diferenta dintre functia ¦ si functia g ca fiind functia ¦ - g: A ® R, (¦ - g ) (x) = ¦(x) -; g (x), " x I A. De fapt , diferenta ¦ - g este suma ¦ + (-g), unde -;g = (-1) g.

EXEMPLU. Fie ¦, g : R ® R, ¦(x) = 3x+1, g(x) = -x +3. Atunci ¦ + g, ¦ - g, ¦g : R ® R prin (¦ + g )(x) = ¦ (x) + g(x) = 3x + 1 -; x +3 = 2x + 4. (¦ - g)(x) = ¦(x) -; g(x) = 3x+1 -;x -; 3 = 4x -; 2. (¦g)(x) = ¦(x)g(x) = (3x + 1)(-3 + 1) = -3x2+8x+3.

PROPRIETATI ALE ADUNARII FUNCTIILOR
Fie A (A, R) multimea functiilor definite pe A cu valori in R. Atunci are loc urmatoarea:

PROPRIETATI ALE INMULTIRII FUNCTIILOR

COMPUNEREA FUNCTIILOR.

O alta operatie care se poate efectua asupra a doua functii este cea de compunere. Die ¦ : A ® B, g : B ® C, doua functi cu urmatoarea particularitate: codomeniul lui ¦ este egal cu domeniul lui g. Cu ajutorul acestor functii se poate construi o alta functie h : A ® C. Functia h astfel definita se noteaza go¦ (citim “g compus cu ¦”) si reprezinta compunerea functiei g cu ¦ (in aceasta ordine). Functia go¦ are domeniul lui ¦ (prima functie care actioneaza in aceasta compunere) si codomeniul lui g (ultima care actioneaza in compunere).

OBSERVATII. 1) Functia compusa go¦ a doua functii ¦, g nu poate fi definita decat daca codomeniul lui ¦ coincide cu domeniul de definitie a lui g.
2) Daca ¦ : A ® B, g : B ® A, atunci are sens fog si gof. In general insa gof ¹fog.

PROPRIETATI ALE COMPUNERII FUNCTIILOR.
1. Asociativitatea
" ¦, g , h I A avem fo(goh) = (fog)oh
2. Comutativitatea
$ ¦, g I A a.i. ¦og ¹ go¦
3. Element neutru
$ o functie 1A I A a.i. " ¦ I A avem ¦o1A = 1Ao¦ = ¦; 1A : A ® A; 1A(x) = x (functie identica)
4. Elemente simetrizabile
Nu toate functiile admit inverse!
Functia inversa: ¦ : A ® B, g : B ® C; g s.n inversa lui ¦ daca fog = 1B; go¦ = 1A(notatie: g = ¦-1)
Proprietati: a) g = ¦-1 Û (go¦)(x) = x (¦og)(x) = x; b) ¦-1(¦(x)) = x "x I A
¦(¦-1(x)) = x "x I B; c) ¦ inversabila Û ¦ injectie

FUNCTII PARTICULARE

FUNCTIA DE GRADUL I
¦ : R® R, ¦(x) = ax + b, a, b IR

OBSERVATIE. Functia de gradul intai este bine determinata daca se cunosc coeficientii a,bIR

MONOTONIA FUNCTIEI DE GRADUL INTAI

OBSERVATII. 1. Semnul lui a precizeaza monotonia functiei de gradul intai.
2. Ecuatia y = ax + b reprezinta o panta a ¹ 0 (o dreapa obliga -; neparalela cu axa Ox sau cu axa Oy).

SEMNUL FUNCTIEI DE GRADUL INTAI

GRAFICUL FUNCTIEI DE GRADUL INTAI
Graficul functiei de gradul intai este o dreapta oblica de ecuatie y = ax + b. Pentru trasarea unei drepte sunt necesare doua puncte care apartin graficului.

BIJECTIVITATEA SI INVERSABILITATEA FUNCTIEI DE GRADUL INTAI. COMPUNEREA FUNCTIILOR DE GRADUL INTAI.

FUNCTIA DE GRADUL AL DOILEA.
¦ : R ® R , ¦(x) = ax2 + bx + c, a, b, c I R, a ¹ 0.

ORSERVATII. 1. Functia de gradul al doilea este bine determinata daca se cunosc coeficientii a ¹ 0, b, c.
2. Conditia a ¹ 0 este esentiala in definitia functiei deoarece daca a = 0 se obtine ecuatia afina.
3. Cum domeniul si codomeniul lui ¦ coincid cu R, functia de gradul al doilea este o functie numerica. In loc de ¦(x) = ax2 + bx + c vom scrie y = ax2 + bx + c.

MONOTONIA FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA

SEMNUL FUNCTIEI DE GRADUL AL DOILEA.

ALTE FUNCTII NUMERICE.

FUNCTIA PUTERE CU EXPONENT NATURAL.

PROPRIETATI.

FUNCTIA RADICAL.

PROPRIETATI.

FUNCTIA ¦ : R ® R*, ¦(x) = 1/x .

FUNCTIA OMOGRAFICA.

PROPRIETATI.

FUNCTIA MODUL.

PROPRIETATI.

FUNCTIA PARTE INTREAGA SI PARTE FRACTIONARA.

FUNCTIA EXPONENTIALA.

OBSERVATII. !. Baza a este diferita de 1 pentru ca in caz contrar ¦(x) = 1x = 1 este considerata constanta si nu este considerata ca o functie exponentiala.
2. A nu se confunda functia exponentiala ¦(x) = ax, a>0, a ¹ 1 cu functia g(x) = xa, " xIR. Pentru prima functie a este baza puterii ax care este constanta, in timp ce pentru a doua functie a este exponentul puterii axa care este constant.

GRAFICUL FUNCTIEI EXPONENTIALE.
Graficul functiei exopnentiale se traseaza in doua cazuri:
1. Baza a I (0, 1) (spunem ca baza este subunitara). In acest caz graficul functiei este situat deasupra axei Ox si intersecteaza axa Oy in (0, 1). Graficul functiei exponentiale cu baza subunitara este din ce in ce mai apropiat de axele coordonate, cu cat baza este mai mica.
2. Baza a > 1 (spunem ca baza este supraunitara). In acest caz graficul functiei este situat deasupra axei Ox si intersecteaza axa Oy in (0, 1). Graficul functiei exponentiale cu baza subunitara este din ce in ce mai apropiat de axele coordonate, cu cat baza este mai mare.

PROPRIETATI ALE FUNCTIEI EXPONENTIALE.

OBSERVATII. ¦(x1 -; x2) = ¦(x1) / ¦(x2); ¦(cx1) = (¦(x1))c

OBSERVATIE. Pentru a > 1, ax1 < ax2 Û x1 < x2; Pentru 0 < a < 1, ax1 < ax2 Û x1 > x2.

FUNCTIA LOGARITMICA.

OBSERVATII. 1. Nu se poate defini logaritmul unui numar real negativ x, deoarece ay > 0, "y IR.
2. alogax = x (identitatea logaritmica fundamentala.)

GRAFICUL FUNCTIEI LOGARITMICE.
Graficul functiei logaritmice se traseaza in doua cazuri:
1. Baza a I (0, 1) (spunem ca baza este subunitara). In acest caz graficul functiei intersecteaza axa Ox in punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, in raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) in care graficul functiei exponentiale intersecteaza axa Oy. Graficul functiei logaritmice cu baza subunitara este din ce in ce mai apropiat de axele coordonate, cu cat baza este mai mica.
2. Baza a > 1 (spunem ca baza este supraunitara). In acest caz graficul functiei intersecteaza axa Ox in punctele de coordonate (0, 1), care este simetricul, in raport cu prima bisectoare, punctului (0, 1) in care graficul functiei exponentiale intersecteaza axa Oy.

PROPRIETATI ALE FUNCTIEI LOGARITMICE.

OBSERVATII. g(x1 / x2) = g(x1) -; g(x2), " x1, x2 > 0; ¦(x1a) = a¦(x1), "x1 > 0.

OBSERVATIE. Din faptul ca g este bijectiva avem echivalenta: logax = logay Û x = y.

OBSERVATIE. Pentru a > 1, logax1 < logax2 Û x1 < x2
Pentru 0 < a< 1, logax1 < logax2 Û x1 > x2.

FUNCTIILE TRIGONOMETRICE DIRECTE.

FUNCTIE PERIODICA

EXEMPLU. Functia ¦ : R ® R, ¦(x) = 1, x I Z este periodica, de perioada 0, x I R -; Z principala T* = 1

FUNCTIILE SINUS SI COSINUS.

PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR SINUS SI COSINUS.

FUNCTIA TANGENTA SI COTANGENTA.

PROPRIETATI ALE FUNCTIILOR TANGENTA SI COTANGENTA.

FUNCTII TRIGONOMETRICE INVERSE.

FUNCTIA ARCSIN.

PROPRIETATI.

FUNCTIA ARCCOS.

PROPRIETATI.

FUNCTIA ARCTG.

PROPRIETATI.

FUNCTIA ARCCTG.

PROPRIETATI.

Bibliografie:

1. “Matematica, manual pentru clasa a-IX-a, profil M1, M2”, autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2000.
2. “Matematica, manual pentru clasa a-X-a algebra, profil M1”, autor Mircea Ganga, Editura Mathpress 2001.
Materie predata de domnul profesor, Cristian Alexandrescu in anii scolari 2000 -; 2001 si 2001 -; 2002