I.Triunghiul- poligon cu trei laturi.
Clasificare: z9t13te
1. dupa laturi:
- ? oarecare;
- ? isoscel (doua laturi egale);
- ? echilateral (toate laturile egale).
2. dupa unghiuri:
- ? ascutitunghic (toate unghiurile < 900);
- ? dreptunghic ( un unghi = 900);
- ? optuzunghic ( un unghi >900).
Linii importante in triunghi:
- mediatoarea -perpendiculara pe mijlocul laturii, orice punct de pe mediatoare
este egal departat de capetele segmentului, punctul de intersectie al mediatoarelor
unui triunghi este centrul cercului circumscris triunghiului, se noteaza cu
O
- bisectoarea -dreapta care imparte unghiul in doua parti congruente,
orice punct de pe bisectoare este egal departat de laturile unghiului, punctul
de intersectie al bisectoarelor unui triunghi este centrul cercului inscris
triunghiului, se noteaza cu I. Teorema bisectoarei: intr-un triunghi oarecare
bisectoarea imparte latura pe care cade intr-un raport egal cu raportul
laturilor.
- mediana -segmentul care uneste varful triunghiului cu mijlocul laturii
opuse, punctul de intersectie al medianelor se afla la o treime de baza si doua
treimi de varf, se numeste centru de greutate al triunghiului si se noteaza
cu G.
- inaltimea -perpendiculara din varf pe latura opusa, punctul de
intersectie al inaltimilorlor intr-un triunghi se numeste ortocentru
sau centrul drept al triunghiului, se noteaza cu H.
- linia mijlocie -;segmentul care uneste mijloacele a doua laturi ale
triunghiului. Linia mijlocie a unui triunghi este paralela cu cea de a treia
latura a triunghiului si jumatate din ea.
Cazuri de congruenta ale triunghiurilor oarecare:
- cazul I- L.U.L. (doua triunghiuri oarecare care au cate doua laturi
si unghiurile cuprinse intre ele respectiv congruente, sunt congruente);
- cazul II- U.L.U. (doua triunghiuri oarecare care au cate o latura si
unghiurile alaturate ei respectiv congruente sunt congruente);
- cazul III- L.L.L. (doua triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente
sunt congruente)
Cazurile de asemanare ale triunghiurilor oarecare:
- cazul I - U.U (doua triunghiuri sunt asemenea daca au doua unghiuri respectiv
congruente);
- cazul II- L.U.L. (doua triunghiuri sunt asemenea daca au doua laturi respectiv
proportionale si unghiurile dintre laturile proportionale sunt congruente);
- cazul III- L.L.L. (doua triunghiuri sunt asemenea daca au laturile respectiv
proportionale).
Congruenta Asemanare
Triunghiul oarecare: ?ABC
Teoreme:
- teorema lui Thales: o paralela dusa la una din laturile unui triunghi, imparte celelalte doua laturi in parti proportionale;
- teorema fundamentala a asemanarii: o paralela dusa la o latura a unui triunghi formeaza cu celelalte doua, un triunghi asemenea cu primul.
?ABC I?AMN
Aria:
Triunghiul isoscel: ?ABC; AB= AC
Proprietati:
- unghiurile de la baza triunghiului isoscel sunt congruente;
- intr-un triunghi isoscel inaltimea din varf este mediana, bisectoare, mediatoare si axa de simetrie.
Aria:
Triunghiul echilateral: ?ABC; AB= AC= BC
Proprietati:
- toate unghiurile sunt congruente si au 600;
- orice inaltime este mediana, bisectoare, mediatoare si axa de simetrie.
Aria:
Triunghiul dreptunghic: ?DEF; un unghi = 900
Cazurile de congruenta:
- cazul I- C.C. (daca doua triunghiuri drepunghice au catetele respectiv congruente,
atunci ele sunt congruente);
- cazul II- C.U. (daca doua triunghiuri dreptunghice au o cateta si un unghi
ascutit la fel asezat fata de cateta, respectiv congruente, atunci ele sunt
congruente);
- cazul III- I.U.( daca doua triunghiuri dreptunghice au ipotenuza si un unghi,
diferit de unghiul drept, respectiv congruente, atunci sunt congruente);
- cazul IV- I.C. (daca doua triunghiuri dreptunghice au ipotenuza si o cateta
respectiv congruente, atunci ele sunt congruente).
Teoreme:
- intr-un triunghi drepunghic cateta care se opune unghiului de 300 este
jumatate din ipotenuza;
- intr-un triunghi drepunghic mediana din varful unghiului drept
este jumatate din ipotenuza;
- teorema inaltimii- intr-un triunghi drepunghic inaltimea
este media proportionala intre segmentele determinate de ea pe ipotenuza;
- teorema catetei- intr-un triunghi drepunghic o cateta este medie proportionala
intre proiectia sa pe ipotenuza si ipotenuza;
- teorema lui Pitagora- intr-un triunghi drepunghic patratul ipotenuzei
este egal cu suma patratelor catetelor.
Aria:
Functii trigonometrice:
300 450 600 sin a cos a tg a ctg a
II.Patrulatere- poligoane cu patru laturi.
Clasificare:
- convex;
- concav;
- incrucisat;
particulare: paralelogram, romb, dreptunghi, patrat.
Paralelogramul: patrulaterul cu laturile opuse paralele doua cate doua.
Proprietati:
- intr-un paralelogram unghiurile opuse sunt congruente, iar cele alaturate
sunt suplimentare;
- intr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente doua cate
doua;
- intr-un paralelogram diagonalele se impart in parti congruente.
Reciproca:
- daca intr-un patrulater unghiurile opuse sunt congruente, iar cele alaturate
suplimentare, atunci patrulaterul este un paralelogram;
- daca intr-un patrulater laturile opuse sunt congruente doua cate
doua, atunci patrulaterul este un paralelogram;
- daca intr-un patrulater doua laturi opuse sunt paralele si congruente,
atunci patrulaterul este un paralelogram;
- daca intr-un patrulater diagonalele se impart in parti congruente,
atunci patrulaterul este un paralelogram.
Aria: AB· DQ= baza x h
Dreptunghiul: paralelogramul cu un unghi drept.
Proprietati:
- toate proprietatiile paralelogramului sunt adevarate;
- intr-un dreptunghi diagonalele sunt congruente;
- dreptunghiul are doua axe de simetrie.
Aria: AB·AD= baza x inaltimea=lungimea x latimea
Rombul : paralelogramul cu doua laturi alaturate congruente.
Proprietati:
- toate proprietatiile paralelogramului sunt adevarate;
- intr-un romb diagonalele sunt perpendiculare si sunt bisectoarele unghiurilor
rombului;
- diagonalele rombului sunt axe de simetrie.
Aria:
Patratul: este derptunghiul cu doua laturi alaturate congruente sau rombul
cu un unghi drept.
Proprietati:
- toate proprietatiile paralelogramului, rombului si dreptunghiului;
- patratul are patru axe de simetrie.
Aria:
Trapezul: patrulaterul cu doua laturi opuse paralele si doua neparalele
Clasificare:
- oarecare;
- dreptunghic (are un unghi de 900);
- isoscel (laturile neparalele congruente).
Proprietati:
- linia mijlocie- segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele ale
trapezului. Linia mijlocie a trapezului este paralela cu bazele si este egala
cu semisuma bazelor.
unde PQ este segmentul care uneste mijloacele diagonalelor unui trapez.
Aria:
Trapezul isoscel:
Proprietati:
- intr-un trapez isoscel unghiurile de la baza sunt congruente;
- intr-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.