1)Ecuatiile logaritmice sunt ecuatii in care expresiile ce contin necunoscute apar ca baza sau ca argument al unor logaritmi. f5e1en
De exemplu:logx+1(x+2)=1;lg(x2+x-2)=3;logx(5x2+3)=lg(2x+3)-1.
Folosind injectivitatea functiei exponentiale,avem ca rezolvarea unei ecuatii de tipul logg(x)f(x)=b este echivalenta cu rezolvarea ecuatiei f(x)=g(x)b.Vom avea insa grija ca solutiile obtinute sa satisfaca f(x)>0,g(x)>0,g(x) pentru care expresia logg(x)f(x) are sens.
La fel ca la ecuatiile exponentiale,in practica atunci cand avem de rezolvat o ecuatie logaritmica,vom proceda astfel:folosind diverse substitutii precum si proprietatile logaritmice,vom cauta s-o reducem la rezolvarea unor ecuatii simple,de regula de gradul intai sau de gradul al doilea.

Exemplu

Sa se rezolve ecuatia:logx(x2-3x+9)=2.
Obtinem x2-3x+9=x2 si deci 3x=9,x=3.Deoarece pentru x=3>0,expresia x2-3x+9 este pozitiva,rezulta ca x=3 este solutie a ecuatiei.

Rezolvarea altor ecuatii se bazeaza pe injectivitatea functiei logaritmice,si anume din logaf(x)=logag(x),deducem f(x)=g(x),impunand conditiile:f(x)>0,g(x)>0

Exemple

1) Sa se rezolve ecuatia:lg(x2-15)=lg(x-3).Deducem ca x2-15x=x-3,deci x2-x-12=0 adica x1=4,x2=-3.Deoarece pentru x2=-3 obtinem x-3=-3-3=-6<0,rezulta ca x2=-3 nu este solutie a ecuatiei.Deci numai 4 este solutie.

2)Sa se resolve ecuatia:2lg(x-1)= lgx5-lg .In aceasta ecuatie punem de la inceput conditiile x-1>0,x>0,pentru a avea sens expresiile lg(x-1),lg x5, lg .
Ecutia se mai scrie 2lg(x-1)= lgx- lgx si deci 2lg(x-1)=2lgx.Prin urmare,lg(x-1)=lgx,de unde obtinem x-1=x,-1=0,contradictie;rezulta deci ca ecuatia data nu are solutii.

3) Sa se rezolve ecuatia:lg(x+7)+lg(3x+1)=2.Punem conditiile de existenta a logaritmilor:x+7>0,3x+1>0,deci x>- .Obtinem lg(x+7)(3x+1)=2 si deci (x+7)(3x+1)=102=100.Rezulta ecuatia de gradul al doilea 3x2+22x-93=0,de unde rezulta x1=3,x2=- .Deoarece - <- ,obtinem ca 3 este singura solutie a ecuatiei date.

Observatie

Ecuatia precedenta nu este echivalenta cu ecuatia lg(x+7)(3x+1)=2,care are doua solutii x1=3,x2=- ,deoarece pentru amandoua aceste valori ale lui x,lg(x+7)(3x+1) are sens.

4) Sa se rezolve ecuatia:log23x-3log3x-4=0.Avem conditia x>0 si facand substitutia log3x=y,obtinem y2-3y-4=0.Deci y1=4,y2=-1.Din log3x=4.obtinem x=34,x=81,iar din log3x=-1,obtinem x=3-1,x= .
In continuare vom rezolva cateva ecuatii care nu se pot incadra intr-un anumit tip.Astfel,pot aparea ecuatii cu logaritmi scrisi in diferite baze,ecuatii in care apar expresii continand necunoscute si la exponenti si la logaritmi etc.
5)Sa se rezolve ecuatia:log2x+log3x=1.Deducem,aplicand formula de schimbare a bazei, sau lgx= Deci x=10 .
6)Sa se rezolve ecuatia:log3x+logx3=2.Deoarece logx3= ,rezulta log3x+ =2.Notand log3x=y,obtinem y+ ,adica y2-2y+1=0;deci y=1,adica log3x=1.Prin urmare,x=3.
7)Sa se rezolve ecuatia:xlgx+2=1000.Punem conditia de existenta a expresiilor:x>0.Logaritmand,obtinem o ecuatie echivalenta lg(xlgx+2)=lg1000 care devine (lgx+2)lgx=3.Notand lgx=y,avem y2+2y-3=0 si deci y1=-3,y2=1.Din lgx=-3, obtinem x=10-3,x=0,001,iar din lgx=1,rezulta x=10.