Criteriul de divizibilitate cu 10 p3u12un
Exemplu: a) Se pot aseza 630 kg de mere in lazi de 10 kg, toate pline?
Dar 500 kg?
Da, pentru ca:
630:10=63 adica 630=63*10
500:10=50 adica 500=50*10 b) Se pot aseza 588 kg de castraveti in cutii de 10 kg?
Dar 66 kg?
Nu, pentru ca:
588=58*10+8
66=6*10+6
1. Numerele 630 si 500 se divid cu 10.
2. Numerele 588 si 66 nu se divid cu 10.
Generalizam: Daca ultima cifra a unui numar natural este 0, atunci numarul se divide cu 10.
? Daca ultima cifra a unui numar nu este 0, atunci numarul nu se divide cu 10.
Exemple: a) 56950 se divide cu 10 pentru ca are ultima cifra 10. b) 45684 nu se divide cu 10 pentru ca nu are ultima cifra 10. c) Numerele de forma 28z sint divizibile cu 10 daca z=0.
Nota: Daca numarul natural f se divide cu 10, atunci f se divide cu 2*5, deci cu 2 si cu 5.
Exercitii:
1) Aflati numarul natural x care este multiplu a lui 10 si verifica relatia: a) 55<x<80 deci X=A60,70S b) 8x+9x<171 deci X=A10S c) 95>x deci X=A10,20,30,40,50,60,70,80,90S
2) Aflati multimile A,B pentru care se verifica relatiile:
A=Axx € N*, 101> x, x se divide cu 10S
B=Axx € N, 54<x<60, x se divide cu 10S
C=A xx € N*, 25>x, x nu se divide cu 10S
D=A xx € N, 15<x<20, x nu se divide cu 10S
Rezolvare:
A=A10,20,30,40,50,60,70,80,90,100S
B=O
C=A1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,12,13,14,15,16,17,18,19,21,22,23,24S
D=A16,17,18,19S
Fie numarul ab . Deoarece ab=10a+b, rezulta ca 10 ab daca si numai daca b=0 Criteriul de divizibilitate cu 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
Priviti numerele de mai sus.Numerele de culoarea mai intunecata sunt multipli ai lui 5, celelalte-nu. Hai sa verificam citeva numere:
5 se divide cu 5, pentru ca 5=5*1
20 se divide cu 5, pentru ca 20=5*4
39 nu se divide cu 5, pentru ca 39=5*7+4
12 nu se divide cu 5, pentru ca 12=5*2+2
Observam: 15,60,95,110 si alti multipli ai lui 5 au ultima cifra 0 sau 5. Niciodata nu pot fi alte cifre!!!
***Daca ultima cifra a unui numar natural 0 sau 5, atunci numarul se divide cu 5!!!
***Daca ultima cifra a unui numar nu este 0 si nici 5, atunci numarul nu este un multiplu a lui 5!!!
Vreti sa stiti mai mult???
Dintre numerele de o cifra se divid cu 5 numai 0 si 5.
Fie numerele ab .
Atunci ab=10a+b. 10a se divide cu 5, oricare ar fi a € N. Numarul ab se divide cu 5 daca si numai daca b € A0,5S
Fie numarul abc.
Atunci abc=10ab+c. Deoarece 510ab, rezulta ca 5abc daca si numai daca 5 c, adica c € A0,5S
Exemple: a) numarul 560 este divizibil cu 5, deoarece are ultima cifra 0. b) numarul 1595 este divizibil cu 5, deoarece are ultima cifra 5. c) numarul 4586 nu este divizibil cu 5, deoarece nu are ultima cifra 0 sau 5. d) numerele de forma 53h sint divizibile cu 5 daca h € A0,5S
Exercitii:
1) Doi iepurasi urca o scara salturi. Cel mai mare sare treptele din cinci in cinci, iar cel mai mic din trei in trei. a) Scrieti numerele treptelor pe care le va atinge iepurasul cel mai mare. b) Scrieti numerele treptelor pe care le va atinge iepurasul cel mai mic. c) Scrieti numerele treptelor pe care le vor sari impreuna.
Rezolvare: a) I.m.=A0,5,10,15,20,25,30,35,40S b) I.mic=A0,3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39S c) I.marenI.mic=A0,15,30S

Criteriul de divizibilitate cu 2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
Priviti numerele de mai sus. Acest sir de numere este o parte din sirul numerilor naturale. Numerele de culoarea neagra sunt divizibile cu 2, iar celelalte numere nu sint divizibile cu 2. Haideti sa analizam citeva numere:
12 se divide cu 2, deoarece 12=2*6
34 se divide cu 2, deoarece 34=2*17
85 nu se divide cu 2, deoarece 85=2*42+1
53 nu se divide cu 2, deoarece 53=2*26+1
Observam:
? 20,52,564,3596,268 si alte numere care sint multipli ai lui 2 au ultima cifra 0 sau 2, sau 4, sau 6, sau 8 (cifrele 0,2,4,6,8 sint numere pare)
? 11,23,2265,20007,3169 si alte numere care nu sint multipli ai lui 2 nu au ultima cifra nici 0, nici 2, nici 4, nici 6, nici 8.
? Sint divizibile cu 2 numai numerele care au ultima cifra para!!!
Generalizan:
***Daca ultima cifra a unui numar natural este para, atunci numarul de divide cu 2.
***Daca ultima cifra a unui numar natural nu este para, atunci numarul nu se divide cu 2.
Observam:
? Numerele divizibile cu 2 sint numere pare si sint de forma 2*n, unde n € N. De exemplu, 18=2*9, 124=2*62.
? Numerele care nu sint divizibile cu 2 sint numere impare si sint de forma 2*n+1, unde n € N. De exemplu, 23=11*2+1, 2001=2*1000+1.
Exercitii:
1) Impartind un numar natural la 2, se obtine restul 1. Care poate fi ultima cifra a acestui numar?
Rezolvare:
Ne reamintim de forma numerelor impare nedevizibile cu 2. Ea este 2*n+1. Aceste cifre pot fi mau multe: 1,3,5,7,9.
Raspuns:
Ultimile cifre la acest numar pot fi mai multe. Ele sint: 1,3,5,7,9.

Criteriul de divizibilitae cu 3
La o competitie sportiva participa 468 de fete si 625 de baieti. Pot fi repartizate fetele in mod egal pe 3 coloane? Dar baietii?
Rezolvare:
468:3=156; 3468 625:3=208 (rest 1); 3 625
Fetele, da! Baietii, nu!
Dar de ce?
Observam:
12 1+2=3
720 7+2+0=9
891 8+9+1=18
Numerele 12,720,891 precum si alti multipli ai lui 3, au suma cifrelor divizibila cu 3.
26 2+6=8
2681 2+6+8+1=17
15788 1+5+7+8+8=29
Numerele 26,2681,15788 precum si alte numere care nu sint multipli ai lui 3, nu au suma cifrelor divizibile cu 3.
Generalizam:
***Daca suma cifrelor unui numar natural de divide cu 3, atunci numarul se divide cu 3.
***Daca suma cifrelor unui numar natural nu se divide cu 3, atunci numarul nu se divide cu 3.
Vreti sa stiti mai mult?
Fie numarul ab. Tinem cont ca ab=10a+b=9a+(a+b) si, deoarece 3 9a, rezulta ca 3 ab daca si numai daca 3 (a+b)
Exemple:
Numarul 66351 este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, 6+6+3+5+1=21, este multiplu al lui 3.
Numarul 5165218 nu este divizibil cu 3, deoarece suma cifrelor sale, 5+1+6+5+2+1+8=28, nu este un multiplu al lui 3.
Exercitii:
1) Aflati x, astfel incit numarul: a) 87x4 b) 569x c)x588 sa fie divizibil cu 3.
Rezolvare: a) 87x4 deci X=A2,5,8S b) 569x deci X=A1,4,7S c) x588 deci X=A3,6,9S A0 nu poate fi deoarece nu exista nici un numar care sa se inceapa cu 0!S

Criteriul de divizibilitate cu 4
Intr-un cos sint 24 mere si in al 31 mere. Maria, Sandu, Ion si Vicu vor sa imparte merele din primul si al doilea cos in patru parti egale.E posibil?
Rezolvare:
1) 24:4=6;4 24
Merele din primul cos se pot imparti in 4 parti egale.
2) 31:4=7 (3 rest) 4| 31
Merele din al doilea cos nu se pot imparti in 4 parti egale.
Observam:
1524 24:4=6
25488 88:4=22
Numerele 1524, 25488 precum si alti multipli ai lui 4, se impart la 4 deoarece ultimele 2 cifre se impart la 4.
1542 42:4=10 (2 rest)
523 23:4=5 (3 rest)
Numerele 1542, 523 precum si alte numere care nu sint multipli ai lui 4, nu se impart la 4 deoarece ultimele 2 cifre nu se impart la 4.
Generalizam:
***Daca numarul format din ultimele 2 cifre se imparte la 4, atunci tot numarul se imparte la 4.
***Daca numarul format din ultimele 2 cifre care nu se impart la 4, atunci tot numarul nu se imparte la 4.
Exemple:
Numarul 524 se imparte la 4 deoarece ultimele 2 cifre se impart la 4:
24:4=6
524:4=131
Numarul 125 nu se imparte la 4 deoarece ultimele 2 cifre nu se impart la 4:
25:4=6 (1 rest)
125:4=31 (1 rest)
Exercitiu:
Aflati x, astfel incit numarul: a) 52x4, b) x2x2 sa fie divizibil cu 4.
Rezolvare: a) 52x4, deci X=A0,2,4,6,8S b) x2x2, deci X=A1,3,5,7,9S

Criteriul de divizibilitate cu 25
Gicu are 100 timbre si 120 de creioane. El vrea sa imparta timbrele si creioanele in 25 parti egale. E posibil?
Rezolvare:
1) 100:25=4, 25|100
Timbrele se pot imparti in 25 parti egale.
2) 120:25=4 (20 rest), 25|120
Creioanele nu se pot imparti in 25 parti egale.
Observam:
1200:25=48
1250:25=50
Numerele 1200, 1250 precum si alti multipli ai lui 25, se impart la 25, daca si numai daca nr. se termina cu: 00, 25, 50, 75.
1251:25=50 (1 rest)
1378:25=55 (3 rest)
Numerele 1251, 1378 precum si alte numere care nu sint multiple ai lui 25, nu se impart la 25, daca si numai daca nr. nu se termina cu: 00, 25, 50, 75.
Generalizam:
***Daca numarul se termina cu 00, 25, 50, 75, atunci tot numarul se imparte la 25.
***Daca numarul nu se termina cu 00, 25, 50, 75, atunci numarul nu se imparte la 25.
Exemple:
Numarul 525 se imparte la 25 deoarece ultimele 2 cifre sint 25:
525:25=21
Numarul 215 nu se imparte la 25 deoarece nu se termina cu 00, 25, 50, 75:
215:25=8 (15 rest)
Exercitiu:
Aflati x,astfel incit numarul: a)25xx, b)1xx5
Rezolvare: a) 25xx, deci X=A0S b) 1xx5, deci X=A2,7S

Criteriul de divizibilitate cu 6
Intr-o magazie sint 1500 caiete si 1453 stilouri. Aceasta magazie vrea sa repartizeze la 6 magazine un numar egal de caiete si stilouri.E posibil?
Rezolvare:
1) 1500:6=250, 5|1500
Caietele se pot repartiza in mod egal 6 magazine.
2) 1453:6=242 (1 rest)
Stilourile nu se pot repartiza in mod egal la 6 magazine.
Observam:
1500:6=250
120:6=20
Numerele 1500, 120 precum si alti multipli ai lui 6, se impart la 6, daca si numai daca aceste numere se mai impart la 2 si la 3, adica, nr. trebuie sa se termine cu o cifra para si ca suma cifrelor numerelor sa se imparte la 3.
105:6=17 (3 rest)
32:6=5 (2 rest)
Numerele 105, 32 precum si alte numere care nu sint multipli ai lui 6, nu se impart la 6, daca si numai daca aceste numere nu se impart la 2 si la 3, chiar daca suma cifrelor nr. se impart la 3 si nr. nu se imparte la 2, atunci nr. nu este divizibil cu 6 si invers.
Generalizam:
***Daca nr. este divizibil si cu 2 si cu 3, atunci nr. este divizibil cu 6.
***Daca nr. nu este divizibil cu 2 si cu 3, atunci nr. nu este divizibil cu 6.
Exemple:
Nr. 216 se imparte la 6 deoarece:
216:2=108
216=2+1+6=9:3=3
216:3=72
Nr. 152 nu se imparte la 6 deoarece:
152:2=76 6| 152
152=1+5+2=8:3=2 (2 rest)
3| 152
Nr. 105 nu se imparte la 6 deoarece:
105=1+0+5=6:3=3 6| 105
105:3=35
105:2=52 (1 rest)
2| 105
Nr. 125 nu se imparte la 6 deoarece:
125=1+2+5=8:3=2 (2 rest) 6| 125
3| 125
125:2=64 (1 rest)
2| 125