2.1. Definitia determinantului de ordin n 4
Fie A= o matrice patratica. Vom asocia acestei matrici un numar notat det(A)
numit determinantul matricii A.
Definitie. Daca A= este o matrice patratica de ordinul intai,
atunci det(A) = . t7q16qu
Definitie. Determinantul matricii este numarul si se numeste determinant de ordin 2. Termenii , se numesc termenii dezvoltarii
determinantului de ordin 2.
Definitie. Determinantul matricii este numarul si se numeste determinant de ordin 3. Termenii care apar in formula se
numesc termenii dezvoltarii determinantului.
Pentru calculul determinantului de ordin trei se utilizeaza trei tehnici simple:
Regula lui Sarrus
Fie determinantul de ordin 3, Pentru a calcula un astfel de determinant se utilizeaza
tabelul de mai jos.
(am scris sub determinant primele doua linii)
Se face produsul elementelor de pe diagonale. Produsul elementelor de pe o
diagonala descendenta este cu semnul plus. Avem trei astfel de produse: .
Produsul elementelor de pe o diagonala ascendenta este cu semnul minus. Avem
trei astfel de produse: .
Suma celor sase produse da valoarea determinantului d de ordin 3. Acest procedeu
de calcul se numeste „regula lui Sarrus”.
Regula triunghiului
Am vazut ca determinantul de ordin trei are in dezvoltarea sa sase termeni,
trei cu semnul plus si alti trei cu semnul minus.
Primul termen cu plus se gaseste inmultind elementele de pe diagonala
principala, iar ceilalti doi, inmultind elementele situate in varfurile
celor doua triunghiuri care au o latura paralela cu cu diagonala principala.
Dupa aceeasi regula, referitoare la diagonala secundara, se obtin termenii cu
minus.
Obs.: Atat „regula lui Sarrus” cat si „regula
triunghiului” se aplica numai determinantilor de ordin 3.
Exemplu. Sa se calculeze prin cele doua metode de mai sus determinantul
R. Regula lui Sarrus.
Regula triunghiului
Recurent (sau dezvoltare dupa o linie sau o coloana)
Determinantul de ordin 3 are 6 ( = 3!) termeni dintre care trei sunt cu semnul
plus, iar ceilalti cu semnul minus.
Are loc urmatoarea proprietate: , (1)
= . (2)
Observatii
1) Egalitatea (1) se mai numeste dezvoltarea determinantului dupa elementele
liniei intai, iar egalitatea (2) se numeste dezvoltarea determinantului
dupa elementele coloanei intai.
2) Formulele (1) si (2) sunt relatii de recurenta, deoarece determinantul de
ordin 3 se exprima cu ajutorul unor deteminanti de ordin inferior (2).
2.2. Definitia determinantului de ordin n
Voi defini in continuare determinantul de ordin n prin recurenta cu
ajutorul determinantilor de ordin n -; 1. Pentru aceasta sunt necesare
unele precizari.
Fie A= .
Definitie1. Se numeste minor asociat elementului determinantul matricii patratice
de ordin n -; 1 obtinut prin suprimarea liniei i si coloanei j din matricea
A. Se noteaza acest minor prin sau .
Definitie2. Se numeste complement algebric al elementului numarul . Exponentul
al lui (-;1) este suma dintre numarul liniei i si coloanei j pe care se
afla .
Definitie. Determinantul matricii A= de ordin n este suma produselor elementelor
din prima linie cu complementii lor algebrici adica
.
Observatii
1) Elementelor, liniilor si coloanelor matricii A le vom spune de asemenea elementele,
liniile si coloanele determinantului
.
2) Formula din definitie spunem ca reprezinta dezvoltarea determinantului de
ordin n dupa elementele primei linii.
3) Definitia determinantului de mai sus este inca putin eficienta (o voi
ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietati
ale determinantilor care sa fie comode atat din punct de vedere al teoriei
si din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietati le prezint in
paragraful urmator.
4) Continuand cu explicitarea determinantilor de ordin n -; 1 din
definitie se obtine pentru o suma de produse de elemente din determinant, fiecare
produs continand elemente situate pe linii si coloane diferite.
5) Determinantul este o functie .
Exemplu Sa se calculeze determinantul de ordin 4:
.
R. Aplicam definitia data mai sus pentru n = 4 si dezvoltam determinantul dupa
elementele liniei intai. Avem:
=
= , unde determinantii de ordin 3 i-am calculat prin una din metodele prezentate
la determinantii de ordin 3.