Fibonacci a fost unul dintre cei mai mari matematicieni ai Evului Mediu. El s-a nascut in anul 1175, in Italia =i a fost educat in Nordul Africii, unde tatal sau de\inea un post diplomatic. b3f15fr
Marele matematician a ramas in memoria noastra prin binecunoscutul +ir Fibonacci: 0 ,1 , 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
Sn anul 1202 fost introdus acest =ir de catre Fibonacci, atunci matematicianul fiind sub numele de Leonardo Pisano (Leonard din Pisa).
Sn acela=i an Fibonacci publica un tratat de aritmetica =i algebra numit „Liber abaci”. Sn acest tratat, el introduce pentru prima data in Europa sistemul de numera\ie pozi\ional arab. De asemenea, in anul 1220 el publica „Practica geometriae”, un compendiu de rezultate din geometrie =i trigonometrie, iar in 1225 „Liber quadratorum”, in care studia calculul radicalilor cubici.
Mai t`rziu, matematicianul insu=i =i-a spus Leonardus filius Bonacci Pisanus (Leonard fiul lui Bonacci Pisanul).
Sn secolul XIV =irul prezentat mai sus a fost denumit +irul lui Fibonacci prin contrac\ia cuvintelor filius Bonacci. Acest =ir apare in cartea „Liber abaci” =i este utilizat in rezolvarea unei probleme de matematica.
O problema pe care a investigat-o Fibonacci in anul 1202, in cadrul unui concurs de matematica condus de imparatul Frederick al II-lea, suna astfel:
Presupunem ca o pereche de iepuri nou-nascuta, un mascul =i o femela, este pusa pe un c`mp. Iepurii sunt capabili sa se imperecheze de la v`rsta de o luna astfel inc`t la sf`r=itul celei de-a doua luni din via\a femelei, ea na=te o alta pereche de iepuri. Presupun`nd ca iepurii nu mor niciodata =i ca femela na=te intotdeauna o perche noua (o femela, un mascul) in fiecare luna incep`nd cu cea de-a doua luna, calcula\i c`te perechi de iepuri vor fi intr-un an.

Sn continuare va fi prezentata solu\ia problemei in care vestitul =ir al lui Fibonacci poate fi utilizat in rezolvare.

Solu\ie:
1. La sf`r=itul primei luni, iepurii se imperecheaza, dar inca mai exista doar o singura pereche.
2. La sf`r=itul celei de-a doua luni, femela produce o noua pereche, astfel inc`t pe c`mp se afla doua perechi de iepuri.
3. La sf`r=itul celei de-a treia luni, femela ini\iala na=te a doua pereche, rezult`nd acum trei perechi de iepuri in c`mp.
4. La sf`r=itul celei de-a patra luni, femela ini\iala a produs deja o alta pereche, iar femela nascuta acum doua luni produce prima ei pereche, rezult`nd cinci perechi de iepuri.

Numarul de perechi de iepuri din c`mp la inceputul fiecarei luni este: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ........
Se poate observa de ce acesta este raspunsul la aceasta problema? Iata de ce:

Daca consideram f(n) = numarul de perechi de iepuri din c`mp la inceputul lunii n, vom arata ca f(1)=1, f(2)=1 =i f(n)=f(n-1)+f(n-2), care este exact defini\ia +irului lui Fibonacci (care are de asemenea f(0)=0).

Sn primul r`nd incepem cu luna 1 cu o pereche de iepuri nou-nascuta, deci: f(1)=1

Exista de asemenea o pereche doar in timpul lunii a 2-a pentru ca nu sunt suficient de maturi sa aiba urma=i, astfel inc`t: f(2)=1

Deoarece presupunem ca ei se imperecheaza la v`rsta de 2 luni, atunci o noua pereche este nascuta la inceputul lunii a treia.
Deci, c`\i iepuri vor fi dupa cea de-a doua luna? Ce este f(n)?
To\i iepurii din luna precedenta (vor fi f(n-1) din ei) au supravie\uit, a=a ca vor fi cel pu\in f(n-1) din ei. C`\i iepuri noi s-au nascut? Fiecare pereche de iepuri care s-au nascut acum doua luni este capabila sa produca o noua pereche =i presupunem ca intotdeauna vor produce =i fiecare va putea sa produca o singura pereche noua pe luna. Astfel, numarul de perechi de nou-nascu\i este acela=i cu numarul de perechi 2 care traiesc de doua luni: f(n-2). De vreme ce to\i iepurii s-au nascut luna trecuta sau sunt nascu\i luna aceasta, vom avea: f(n) = f(n-1) + f(n-2) daca n>2 care este defini\ia +irului lui Fibonacci (incep`nd cu 0 =i 1).

Sec\iunea de aur

Problema inmul\irii iepurilor este departe de a fi realista, chiar daca a dus la o descoperire at`t de importanta cum este acest
=ir. Dar cunoscutul +ir al lui Fibonacci, generat de aceasta problema, are numeroase aplica\ii deosebit de interesante. Unul dintre cele mai importante aspecte este legatura dintre numerele Fibonacci =i sec\iunea de aur.
Sec\iunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole o fascina\ie pentru matematicieni =i arti=ti. Ca =i numerele ira\ionale p sau e , pare a face parte din „constitu\ia” Universului, sec\iunea de aur regasindu-se sistematic in lumea vie. De exemplu, o regasim in modul de dispunere al frunzelor, petalelor sau semin\elor de plante, in raportul dintre diferite par\i ale corpului omenesc, etc...
Acest numar a fost cunoscut =i studiat inca din antichitate, sculptura =i arhitectura Greciei Antice din secolul 5 i.H. respect`nd cu rigurozitate sec\iunea de aur, ea fiind considerata o masura a armoniei =i echilibrului.

Dupa anul 1228, nu se mai aude nimic despre via\a lui Fibonacci. Totu=i, se =tie ca la sentin\a Republica din Pisa l-a premiat cu un salariu anual in plus fa\a de obi=nuitele incuviin\ari. Aceasta leafa l-a rasplatit pe Fibonacci pentru sfaturile lui catre Republica in probleme legate de contabilitate =i de matematica.
Marele matematician a murit c`ndva dupa anul 1240, probabil in Pisa.

CIORTEA CLAUDIU
- clasa 9-a J Colegiul Na\ional „Mihai Viteazul”
Profesor: Mioara Gheorghe