TABLA DE MATERII

NOTIUNI INTRODUCTIVE APLICATII DIVIDE ET IMPERA: b“Turnurilor din Hanoi”; b Sortare rapida ; b Sortare prin interclasare; b Sortare prin insertie binara; e2s24sm
CONCLUZII
BIBLIOGRAFIE

NOTIUNI INTRODUCTIVE

Metoda de programare DIVIDE ET IMPERA consta in impartirea problemei initiale de dimensiuni ani in doua sau mai multe probleme de dimensiuni reduse .In general se executa impartirea in doua subprobleme de dimensiuni aproximativ egale si anume an/2i . Impartirea in subprobleme are loc pana cand dimensiunea acestora devine suficient de mica pentru a fi rezolvate in mod direct(cazul de baza).Dupa rezolvarea celor doua subprobleme se executa faza de combinare a rezultatelor in vederea rezolvarii intregii probleme .
Metoda DIVIDE ET IMPERA se poate aplica in rezolvarea unei probleme care indeplineste urmatoarele conditii :
4se poate descompune in ( doua sau mai multe) suprobleme ;
4aceste suprobleme sunt independente una fata de alta (o subproblema nu se rezolva pe baza alteia si nu se foloseste rezultate celeilalte);
4aceste subprobleme sunt similare cu problema initiala;
4 la randul lor subproblemele se pot descompune (daca este necesar) in alte subprobleme mai simple;
4aceste subprobleme simple se pot solutiona imediat prin algoritmul simplificat.
Deoarece putine probleme indeplinesc conditiile de mai sus ,aplicarea metodei este destul de rara.
Dupa cum sugereaza si numele "desparte si stapaneste "etapele rezolvarii unei probleme (numita problema initiala) in DIVIDE ET IMPERA sunt :
- descompunerea problemei initiale in subprobleme independente ,smilare problemei de baza ,de dimensiuni mai mici ;
4descompunerea treptata a subproblemelor in alte subprobleme din ce in ce mai simple ,pana cand se pot rezolva imediata ,prin algoritmul simplificat ;
4rezolvarea subproblemelor simple ;
4combinarea solutiilor gasite pentru construirea solutiilor subproblemelor de dimensiuni din ce in ce mai mari ;
4 combinarea ultimelor solutii determina obtinerea solutiei problemei initiale .

Metoda DIVIDE ET IMPERA admite o implementare recursiva ,deorece subproblemele sunt similare problemei initiale, dar de dimensiuni mai mici .
Principiul fundamental al recursivitatii este autoapelarea unui subprogram cand acesta este activ;ceea ce se intampla la un nivel ,se intampla la orice nivel ,avand grija sa asiguram conditia de terminare ale apelurilor repetate .Asemanator se intampla si in cazul metodei DIVITE ET IMPERA ; la un anumit nivel sunt doua posibilitati : s-a ajuns la o (sub)problema simpla ce admite o rezolvare imediata caz in care se rezolva (sub)problema si se revine din apel (la subproblema anterioara,de dimensiuni mai mari); s-a ajuns la o (sub)problema care nu admite o rezolvare imediata ,caz in care o descompunem in doua sau mai multe subprobleme si pentru fiecare din ele se continua apelurile recursive(ale procedurii sau functiei).
In etapa finala a metodei DIVIDE ET IMPERA se produce combinarea subproblemelor (rezolvate deja) prin secventele de revenire din apelurile recursive.
Etapele metodei DIVIDE ET IMPERA (prezentate anterior)se pot reprezenta prin urmatorul subprogram general (procedura sau functie )recursiv exprimat in limbaj natural:

Subprogram DIVIMP (PROB);
Daca PROBLEMA PROB este simpla
Atunci se rezolva si se obtine solutia SOL
Altfel pentru i=1,k executa DIVIMP(PROB) si se obtine SOL1;
Se combina solutiile SOL 1,... ,SOL K si se obtine SOL;
Sfarsit _subprogram;
Deci ,subprogramul DIVIMP se apeleaza pentru problema initiala PROB;aceasta admite descompunerea in K subprobleme simple ;pentru acestea se reapeleaza recursiv subprogramul ;in final se combina solutiile acestor K subprobleme.

De obicei problema initiala se descompune in doua subprobleme mai simple ; in acest caz etapele generale ale metodei DIVIDE ET IMPERA se pot reprezenta concret,in limbaj pseudocod ,printr-o procedura recursiva astfel :
Procedura DIVIMP(li,ls,sol);
Daca ((ls-li)<=eps)
Atunci REZOLVA (li,ls,sol);
Altfel
DIVIDE (li,m,ls);
DIVIMP(li,msol1);
DIVIMP(m,ls,sol2);
COMBINA(sol1,sol2,sol);
Sfarsit_ procedura;
Procedura DIVIMP se apeleaza pentru problema initiala care are dimensiunea intre limita inferioara (li) si limita inferioara(ls);daca (sub)problema este simpla (ls-li<=eps),atunci procedura REZOLVA ii afla solutia imediat si se produce intoarcerea din apelul recursiv;daca (sub)problema este (inca) complexa ,atunci procedura DIVIDE o imparte in doua subprobleme ,alegand pozitia m intre limitele li si ls ;pentru fiecare din cele doua subprobleme se reapeleaza recursiv procedura DIVIMP; in final ,la intoarcerile din apeluri se produce combinarea celor doua soluitii sol1 si sol2 prin apelul procedurii COMBINA.

PROBLEMA TURNURILOR DIN HANOI

Prezentarea algoritmului rezolvarii

Fie trei tije verticale notate A,B,C .Pe tija A se gasesc asezate n discuri de diametre diferite ,in ordinea crescatoare a diametrelor,privind de sus in jos . Initial ,tijele B si C sunt goale .Sa se afiseze toate mutarile prin care discurile de pe tija A se muta pe tija B , in aceeasi ordine ,folosind ca tija de manevra C si resspectand urmatoarele reguli:
4la fiecare pas se muta un singur disc;
4un disc se poate aseza numai peste un disc cu diametrul mai mare .
Rezolvarea acestei probleme se bazeaza pe urmatoarele considerente logice :
-daca n=1 ,atunci mutarea este immediata AaB(mut discul de pe A pe B);
4daca n=2,atunci sirul mutarilor este : AaC,AaB,CaB;
4daca n>2 procedam astfel :
-mut (n-1)discuri AaC;
-mut un disc AaB ;
-mut cele (n-1)discuri CaB.

Observam ca problema initiala se descompune in trei subprobleme mai simple ,similare problemei initiale: mut (n-1)discuri AaC ,mut ultimul disc pe B ,mut cele (n-1)discuri C-->B.Dimensiunile acestor subprobleme sunt : n-1,1,n-1.

Aceste subprobleme sunt independente ,deoarece tijele initial (pe care sunt dispuse discurile ),tijele finale si tijele intermediare sunt diferite.Notam H(n,A,B,C)=sirul mutarilor a n discuri de pe A pe B, folosind C.

PENTRU n=1 AaB n>1 H(n,A,B,C)= H(n-1,A,C,B),AB, H(n-1,C,B,A)

program turnurile _hanoi; var n:byte; procedure hanoi(n:byte;a,b,c:char); begin if n=1 then writeln(a,’a’,b) else begin hanoi(n-1,a,c,b);
writeln(a,’a’,b); hanoi(n-1,c,b,a); end; end; begin
write(‘nr discuri pe tija A =’);readln(n);
writeln(‘mutarile sunt urmatoarele :’); hanoi(n,’A’,’B’,’C’); readln;readln; end.

Sortare rapida(quicksort)

Un tablou V se completeaza cu n elemente numere reale .Sa se ordoneze crescator folosind metoda de sortare rapida .
Solutia problemei se bazeaza pe urmatoarele etape implementate in programul principal:
4se apeleaza procedura “quick” cu limita inferioara li=1 si limita superioara ls=n;
4functia”poz” realizeaza mutarea elementului vaii exact pe pozitia ce o va ocupa acesta in vectorul final ordonat ; functia”poz” intoarce (in k ) pozitia ocupata de acest element;
4in acest fel ,vectorul V se imparte in doua parti : li …k-1 si k+1…ls;

4pentru fiecare din aceste parti se reapeleaza procedura“quick”,cu limitele modificate corespunzator ;
4in acest fel ,primul element din fiecare parte va fi pozitionat exact pe pozitia finala ce o va ocupa in vectorul final ordonat (functia“poz”);

4fiecare din cele doua parti va fi ,astfel ,inpartita in alte doua parti ;procesul continua pana cand limitele partilor ajung sa se suprapuna ,ceea ce indica ca toate elementele vectorului au fost mutate exact pe pozitiile ce le vor ocupa in vectorul final ;deci vectorul este ordonat ;
4in acest moment se produc intoarcerile din apelurile recursive si programul isi termina executia .

program quicksort; type vector= array a1..50i of real ; var v:vector; i,n,k:integer; function poz(li,ls:integer):integer; var i,j,modi,modj,m:integer; man:real; begin i:=li; j:=ls; modi:=0; modj:=-1;
while i<j do begin if vaii>vaji then begin man:=vaii; vaii:=vaji; vaji:=man; m:=modi ; modi:=-modj; modj:=-m; end; i:=i+modi; j:=j+modj; end; poz:=i; end;

procedure quick(li,ls:integer); begin if li<ls then begin k::=poz(li,ls); quick(li,k-1); quick(k+1,ls); end; end; begin
write(‘cate elemente are vectorul ?=’);readln(n); for i:=1 to n do begin
write(‘tastati elementul ‘,i,’=’); readln(vaii); end; quick(1,n);
writeln(‘vectorul ordonat este :’); for i:=1 to n do writeln(vaii); readln; end.
OBSERVATIE
4daca elementul se afla in stanga ,atunci se compara cu elementele din dreapta lui si se sar (j:=j-1)elementele mai mari decat el ;
4daca elementul se afla in dreapta ,atunci se compara cu elemente din stanga lui si se sar (i:=i+1)elementele mai mici decat el.

Sortare prin interclasare(mergesort)

Tabloul unidimensional V se completeaza cu n numere reale. Sa se ordoneze crescator folosind sortare prin interclasare.
Sortarea prin interclasare se bazeaza pe urmatoarea logica : vectorul V se imparte ,prin injumatatiri succesive ,in vectori din ce in ce mai mici ;cand se ating vectorii de maxim doua elemente ,fiecare dintre acestia se ordoneaza printr-o simpla comparare a elementelor ;cate doi astfel de mini- vectori ordonati se interclaseaza succesiv pana se ajunge iar la vectorul V.

program mergesort; type vector=arraya1..50i of real ; var v:vector ;n,i:word; procedure schimba(li,ls:word;var a:vector); var man:real; begin if aalii>aalsi then begin man:=aalii; aalii:=aalsi; aalsi:=man; end; end;

procedure interclas(li,m,ls:word;var a:vector); var b:vector:i,k,p,j:word; begin i:=li; j:=m+1; k:=0;

while (i<=m)and(j<=ls) do begin inc(k); if aaii <aaji then begin baki:=aaii; inc(i); end else begin baki:=aaji; inc(j); end; end; if i<=m then for p:=i to m do begin1 inc(k);baki:=aapi; end; if j<=ls then for p:=j to ls do begin inc(k) ;baki:=aapi;

end;

k:=0; for p:=li to ls do begin inc(k); aapi:=baki; end; end;

procedure divi(li,ls:word; var a:vector); var m:word; begin if (ls-li)<=1 then schimba(li,ls,a); else begin m:=(li+ls)div 2; divi(li,m,a); divi(m+1,ls,a); interclas(li,m,ls,a); end; end; begin
write(‘cate elemente are vectorul?=’);readln(n); for i:=1 to n do begin
write(‘tastati elementul’,i,’=’); readln(vaii); end; divi(1,n,v);
writeln(‘vectorul sortat este:’); for i:=1 to n do writeln(vaii); end.

OBSERVATII
4mecanismul general de tip Divide et Impera se gaseste implementat in procedura “divi” ;
4o astfel de abordare a problemei sortarii unii vector conduce la economie de timp de calcul ,deoarece operatia de interclasare a doi vectori deja ordonati este foarte rapida ,iar ordonarea independenta celor doua jumatati(mini- vectori) consuma in total aproximativ a doua parte din timpul care ar fi necesar ordonarii vectorului luat ca intreg .

Sortare prin insertie binara

Sa se ordoneze crescator un tablou unidimensional V de n numere reale ,folosind sortarea prin insertie binara .
Pentru fiecare element vaii se procedeaza in patru pasi:
4 se considera ordonate elementele va1i,va2i,….,vai-1i;
4se cauta pozitia k pe care urmeaza s-o ocupe vaii intre elementele va1i,va2i,…,vai-1i(procedura “poz” prin cautare binara);
4se deplaseaza spre dreapta elementele din pozitiile k,k+1,…,n(procedura “deplasare”);
4insereaza elementul vaii in pozitia k (procedura”deplasare”); se obtine o succesiune de k+1 elemente ordonate crescator.

program sortare _binara; type vector =arraya1..50i of real ; var n,k,i:integer; v:vector; function poz(li,ls,i:integer):integer; var m:integer; begin if li=ls then if vaii<vaji then poz:=li else poz:=i else if ls-li=1 then if vaii<valsi then if vaii>=valii then poz:=ls else poz:=li else poz:=i else begin m:=(li+ls)div 2;

if vaii<vami then poz:=poz(li,m,i) else poz :=poz(m,ls,i); end; end; procedure deplasare(k,i:integer); var man:real; j:integer; begin

if k<i then begin man:=vaii; for j:=I downto k+1 do vaji:=vaj-1i; vaki:=man; end; end; begin
write(‘cate elemente are vectorul?=’);readln(n); for i:=1 to n do begin
write(‘tastati elementul ‘,i,’=’);readln(vaii); end; for i:=2 to n do begin k:=poz(1,i-1,i); deplasare(k,i); end;
writeln(‘vectorul ordonat este :’); for i:=1 to n do writeln(vaii); readln; end.

CONCLUZII
(analiza a complexitatii timp pentru algoritmii Divide et Impera)

Algoritmii de tip Divide et Impera au buna comportare in timp ,daca se indeplinesc urmatoarele conditii:
4 dimensiunile subprogramelor(in care se imparte problema initiala )sunt aproximativ egale(“principiul balansarii”);
4lipsesc fazele de combinare a solutiilor subproblemelor(cautare binara).

BIBLIOGRAFIE

Livia Toca,Cristian Opincaru,AdrianSindile ,
MANUAL DE INFORMATICA PENTRU CLS.a-X a,
Editura Niculescu ;

Radu Visinescu,BAZELE PROGRAMARII ,
Editura Petrion ;

Cristian Udrea,TEORIE SI APLICATII,
Editura Arves ;