CIRCUIT CU DOUA NODURI , ALIMENTAT DE LA O SINGURA SURSA DE ENERGIE

Specialitatea : tehnician in automatizari

-Cuprins-

II Circuit ramificat de curent continuu de la o singura sursa de energie.

2-1. Circuit cu doua noduri,alimentat de la o singura sursa de energie.Calculul circuitului p6f15fh
- Enuntul problemei
- Rezolvarea problemei
- Sursa de tensiune
- Curentii din circuit
- Calculul rezistentelor echivalente ale circuitului
- Calculul ecuatilor si a tensiunilor
- Calculul puterilor
- Discutii suplimentare
- Cum se obtine relatia de repartizare a curentului total din ramurile de circuit conectate in paralel ?
- Cum se determina tensiunea intre nodurile portiunii ramificate de circuit ?
- Cum se determina tensiunea aplicand a doua teorema a lui Kirchhoff ?
- Se poate dispune sursa intr-o ramura interioara a schemei?
- Ce efect are un scurtcircuit la bornele rezistorului R3 asupra curentilor si tensiunilor din circuit?
2-2. Circuit cu doua noduri de alimentat de la o singura sursa de curent
- Enuntul problemei
- Rezolvarea problemei
- Sursa de curent
- Calculul tensiunii intre noduri si a curentilor intre ramuri
- Calculul curentului total si intern
- Calculul puterilor
- Discutii suplimentare
- Cum se poate transforma sursa de curent din figura 2-5 intr-o sursa echivalenta de tensiune?
- Care sunt parametri identici atat sursei de curent cat si sursei de tensiune.
- Cum se poate stabiliza tensiunea intre noduri sau curentul printr-o ramura de circuit?
- Cum se determina curentii din circuitul din figura 2-7?
2-3.Circuit cu mai multe noduri.Calculul circuitului.
- Planul de rezolvare al problemei.
- Calculul rezistentei echivalente
- Calculul curentilor
- Discutii suplimentare
- Cum se determina tensiunile nodurilor si tensiunile prin ramuri?
- De ce trece acelasi curent I4 atat prin BB’ cat si prin R4 din fig. 2-8?
- De ce conductorul BB’ din fig.2-8 poate fi considerat ca un singur nod?
- Cum se modifica totti curentii din fig.2-8 atunci cand t.e.m creste de doua ori?
2-4.Calculul unui circuit prin metoda transfigurarii.
- Enuntul problemei
- Rezolvarea problemei
- Particularitatiile circuitului considerat
- Calculul rezistentei echivalente
- Calculul curentilor
- Discutii suplimentare
- Ce semnificatie are valoarea nula pentru curentul I3?
- Cate conexiuni stea si cate conexiuni triunghi se pot forma pentru circuitul din figura 2-10?
- Cum se tine seama de sensul curentului din diagonala puntii?
2-5.Probleme propuse spre rezolvare.
2-6.Problema de control.

CAPITOLUL II

CIRCUIT RAMIFICAT DE CURENT CONTINUU DE LA O SINGURA SURSA DE ENERGIE

2-1. CIRCUIT CU DOUA NODURI , ALIMENTAT DE LA O SURSA DE ENERGIE.CALCULUL CIRCUITULUI

Enuntul problemei :

O sursa de t.e.m E=120v si rezistenta interna r = 2 ? este amplasata in circuitul din fig. 2-1 unde R1 = 18 ? , R2 = 100 ? si R3 = 150 ?.
Sa se calculeze curentii prin toate sectoarele circuitului, tensiunea la bornele receptoarelor si la bornele sursei precum si puterile sursei si a tuturor receptoarelor.

Rezolvarea problemei :

1.Sursa de tensiune .In aceasta problema ca si in precedentele se foloseste o sursa de energie care este caracterizata prin t.e.m. si rezistenta sa interna.O astfel de masa de energie se numeste sursa de t.e.m.
Dupa cum s-a aratat si mai inainte (paragrafele 1-1,1-2) t.e.m a unei surse asigura trecerea curentului prin circuit si furnizeaza energie receptoarelor in timp ce rezistenta sa interna determina pierderile de energie din interiorul sursei.
Pentru ca pierderile de energie din sursa sa fie cat mai mici,in mod obisnuit se alege o rezistenta interna mai mica decat rezistenta echivalenta portiunii exterioare a circuitului.Se reaminteste ca toate sursele de energie luate in considerare in problemele precedente satisfac aceasta conditie. In practica ,adeseori,este posibil sa se regleze rezistenta relativ mica a sursei.Aceste surse,fara rezistenta interna,constituie surse de t.e.m ideale,in practica numidu-se surse de tensiune asociata.
Astfel se poate combina o sursa de t.e.m cu o sursa de tensiune asociata.

2.Curentii din circuit.In toate portiunile neramificate ale circuitului format de sursa de t.e.m , rezistentele R1 si r conectate in serie intensitatea curentului este aceeasi I1 (fig. 2-1).
In nodul A acest curent se imparte in doi curentii: I2 si I3.Acesti curensi se recunosc apoi in nodul B si formeaza din nou curentul I1.Astfel in conformitate cu prima teorema a lui Kirchhoff I1 = I2 + I3 ,relatie valabila atat pentru nodul A cat si pentru nodul B.

3.Calculul rezistentelor echivalente a circuitului.Schema simplificata.
Inlocuind anumite portiuni de circuit,avand conectate rezistoarele in serie si paralel prin rezistenta registrului echivalent corespunzator.
Care este scopul urmarit prin simplificarea schemei? Scopul simplificarii schemei este obtinerea unui circuit simplu,neramificat al carui calcul se cunoaste.Astfel inlocuind registrele R2 si R3 prin rezistorul echivalent R23 pe rezistenta.

Dupa aceasta inlocuire se obtine un circuit simplu fara derivatii in fig. 2-2

Fig.2-2. Schema simplificata a circuitului

4.Calculul ecuatilor si a tensiunilor. In ce ordine trebuie sa se calculeze curentii? Prima data se calculeaza curentul din circuitul simplificat I1(fig2-2).

Apoi se trece la schema initiala (fig 2-1) pentru care este valabila relatia obtinuta din aplicarea primei teoreme a lui Kircohhoff.

I2 + I3 = I1 (2-1)
Sau
I2 + I3 = 1,5 A (2-2)
Pe de alta parte, prin ramurile conectate in paralel curentii sunt inversii proportionali cu rezistentele acestor ramuri, adica :

(2-3)

In adevar, UAB = R2 * I2 = R3 * I3 de unde rezulta ca :
I2 = 1,5I3 (2-4)
Inlocuind curentul I2 din ecuatia (2-2) cu valoare din ecuatia (2-4) se obtine :
1,5 * I3 + I3 = 1,5 de unde rezulta I3: si revenind la ecuatia (2-4)
I2 = 1.5 * I3 = 1.5 * 0.6 A = 0.9 A

Determinarea caderilor de tensiune pe toate rezistoarele:
U1 = R1 * I1 = 18 * 1,5 = 27 V
U0 = r * I1 = 2 = 1,5 = 3 V
UAB = R2 * I2 = 100 * 0,9 = 90V
Tensiunea la bornele CD ale sursei este:
U = E - U0 = 120 - 3 = 117 V
Astfel calculul curentilor si al tensiunilor se efectueaza trecand progresiv de la circuitul simplificat la circuitul dat.
Cum se poate verifica determinarea corecta a tensiunilor si a curentilor?
Pentru corectitudinea calculelor se pot folosi teoremele lui Kirchhoff.Astfel curentii obtinuti trebuie sa satisfaca teorema lui Kirchhoff in adevar
I2 + I3 = 0.9 + 0.6 = 1.5 A = I1
Verificarea se poate face si cu ajutorul celei dea doua teorema a lui Kirchhoff conform careia pentru un ochi de circuit inchis suma algebrica a t.e.m trebuie sa fie egala cu suma algebrica a caderilor de tensiune pe toate rezistentele ochiului,iar calculele sunt mai laborioase.

5.Calculul puterilor.Puterea furnizata de sursa Ps este:

Ps = E * I1 = 120 * 1.5 = 180 W
Pierderea pentru pe rezistenta interna Po este:
Po = ro (I1)2 = 2 * 1.5² = 4.5 W
In consecinta sursa cedeaza circuitului exterior o putere P:
P= Ps - Po = 180 - 4.5 = 175.5 W
Aceasta putere poate fi calculata si in alt mod:
P = U * I1 = 117 * 1.5 = 175.5 W
Pe de alta parte:
P = R1I1² + R23I12 = (R1 + R23)I12 = (18 + 60)1.52 = 175.5 W
Cum sa verificam daca sa efectuat corect calculul circuitului?
Verificarea se face cu ajutorul bilantului puterii.Astfel puterea furnizata de sursa in circuitul exterior Ps - Po = 175.5 W trebuie sa fie egala cu puterea tuturor receptoarelor de energie P = 175.5 W,adica cu balanta puterilor.

Discuti suplimentare

1.Cum se obtine relatia de repartizare a curentului total prin ramurile de circuit conectate in paralel?
Exprimand curentul I3 in functie de I2, din ecuatia (2-3)
I3 = I2
Si inlocuind valoarea lui in ecuatia (2-1) se obtine :
I2 + I2 = I1 de unde I2 sau I2 =I1 (2-5)
In consecinta curentul printr-una din ramurile conectate in paralel I2, este egal cu curentul total I1 , impartit la suma rezistentelor ramurilor si inmultit cu rezistenta celeilalte ramuri.

2.Cum se determina tensiunea intre nodurile portiunii ramificate de circuit?
Aceasta discutie se poarta pe baza tensiuni de nod UAB pentru schema simplificata (2-2).
UAB =R23 * I1 = 60 * 1.5 = 90 V
Si pentru sechema data (fig.2-1)
UAB = R2 * I2 = 100 * 0.9 = 90 V
In consecinta tensiunea intre nodurile portiuni ramificate se determina fie inmultind curentul printr-o ramura cu rezistenta acelei ramuri , fie inmultind curentul total al circuitului cu rezistenta echivalenta a portiuni ramificate.

3.Cum se determina tensiunea aplicand a doua teorema a lui Kirchhoff?
Mai intai se reamintesc regulile semnelor marimilor care intervin in a doua teorema a lui Kirchhoff. T.e.m se ia cu semnul „+”daca sensul ei coincide cu sensul de parcurgere al ochiului si cu „-;” in caz contrar.
Dupa aceste reguli ochiul CABDC (fig. 2-1) strabatut in sens se obtine:
E = (r0 + R1 + R2,3 )I1 = U0 + U1 + UAB
Parcurgand acest ochi in sens contrar se obtine :
-E = - U0 - U1 - UAB
Aceste 2 ecuatii fiind echivalente
Ecuatia obtinuta da mai departe :
UAB = E - U0 - U1 =120 -; 3 -; 27 = 90 V rezultat deja obtinut
In consecinta ,cu ajutorul celei de-a doua teorema a lui Kirchhoff se poate determina tensiunea pe orice portiune a circuitului daca se cunoaste tensiunea pe celelalte portiuni ale circuitului .

4.Se poate dispune sursa intr-o ramura interioara a schemei?
Circuitul examinat in problema poate fi reprezentat si in fig. 2-3

Aceasta schema difera de schema initiala (Fig.2-1) decat prin amplasarea in mijlocul schemei a portiuni de circuit ce contine sursa.De fapt nu este decat o reprezentare diferita a schemei aceluiasi circuit,calculul efectuat ramanand valabil pentru ambele scheme.
Cateodata calculul circuitului din fig.2-3 prezinta dificultati,pentru ca nu se tine seama de rezistentele R2 si R3 care sunt conectate la aceleasi noduri, A si B,adica fiind conectate in paralel pot fi inlocuite prin registrul echivalent R23,dupa care schema ia forma simplificata din figura 2-3.

5.Ce efect are un scurtcircuit la bornele rezistorului R3 asupra curentilor si tensiunilor din circuit (fig.2-1)?
In fig.2-4 se reprezinta acest scurt circuit realizat cu un conductor suplimentar de rezistenta foarte mica,conectat la bornele rezistorului R3.In realitate,un astfel de regim de scurtcircuit poate sa apara ca urmare a unei erori de montaj,deteriorarea rezistorului etc.

In regim de scurtcircuit rezistenta unei ramuri racordata la punctele A si B (fig.2-4) poate fi considerata egala cu zero.Conductanta echivalenta intre punctele A si B devine atunci egala cu :

De unde rezulta ca rezistenta echivalenta a acestei portiuni RAB = 0.Astfel rezistenta totala a intregului circuit Rtot = R1 + r + RAB = R1 + r se micsoreaza ca urmare a curentului total I1 creste si tensiunea la bornele sursei U = E - rI1 se micsoreaza.
Curentii prin ramurile dispuse in paralel,I2 si I3 vor fi nuli din cauza ca in rezistoarele conectate in paralel curentul total se repartizeaza invers proportional cu rezistentele rezistorului,adica curentul I1 va trece practic prin ramura a carei rezistente este nula,in cazul de aici prin conductorul de racordare ca in fig.2-4.

2-2.CIRCUIT CU DOUA NODURI DE ALIMENTAT DE LA O SURSA DE CURENT

Enuntul problemei:

Circuitul din fig.2-5 alimentat de la o sursa de curent IG = 880 µA si avand conductanta proprie(interna) 9 = 2 * 10-6 ?-1 ,este format din trei receptoare montate in paralel avand conductantele G1 = G2 = 5 * 10-6 S si G3 = 10 * 10-6 S.
Sa se calculeze toti curentii din circuit (fig.2-5),tensiunea la bornele sursei de curent,puterea mesei si a tuturor receptoarelor.

Rezolvarea problemei:

1.Sursa de curent.In multe domenii altehnicii(electrotehnica, radiotehnica, constructia aparatelor,etc) se folosesc surse de energie avand o foarte mare rezistenta r0.Circuitele cu astfel de surse functioneaza,de regula intr-un regim pentru care rezistenta sarcinii este mult mai mica decat rezistenta interna a sursei,adica R5<<r0.Pentru o astfel de conditie si atunci cand t.e.m este cunoscuta,curentul sursei:

si nu depinde practic de rezistenta portiuni exterioare Rs.In teoria circuitelor o astfel de sursa de energie se numeste sursa de curent.

Intr-un circuit continand o sursa de t.e.m curentul este egal cu raportul dintre t.e.m si rezistenta echivalenta totala a circuitului,tensiunea la bornele unei surse de curent este egala cu produsul dintre curentul sursei si rezistenta echivalenta totala a circuitului.
Pentru o sursa de curent ideala,adica acea sursa de curent care furnizeaza un curent strict constant oricare ar fi sarcina (in plus,regimul de mers in gol este imposibil de realizat),rezistenta interna se considera infinita.
Astfel o sursa de energie idealizata,a carei rezistenta interna este infinita asigura un curent identic pentru orice sarcina constituie o sursa de curent ideala.
O sursa de curent ideala se reprezinta schematic printr-un cerc in care sunt doua sageti, a caror sens arata sensul curentului.Aceasta sageata dubla indica faptul ca rezistenta interna este infinita.Orice sursa reala de curent se caracterizeaza prin pierderi intrerne de enrgie,pierderi datorate rezistentei interne.In cazul sursei de t.e.m ,dupa cum s-a aratat mai inainte,rezistenta este conectata in serie cu t.e.m corespunzatoare o conectare identica de curent ar insemna cuplarea in serie a rezistentei infinite a sursei ideale cu rezistenta interna care determina pierderi finite ceea ce nu are sens.Din aceasta cauza o sursa reala de curent se reprezinta printr-o sursa de curent ideala la bornele careaia se conecteaza in paralel o ramura avand rezistenta interna ro sau conductanta interna g=
Conductanta interna g0 (fig.2-5) tine seama de toti factori de variatie a curentului exterior I in timpul functionarii in sarcina a sursei de curent.In consecinta o sursa de enrgie determinata de un curent Ig prin sursa si prin conductanta sa interna go se numeste sursa de curent.

2.Calculul tensiunii intre noduri si a curentiilor prin ramuri.Pentru determinarea curentiilor prin doua ramuri conectate in paralel sa folosit mai inainte proprietatea dupa care curentii sunt invers proportionali cu rezistenta sarcinii respective.Pentru un numar mai mare de ramuri conectate in paralel rezultatul se obtine mai repede folosind metoda urmatoare.
Mai intai se determina rezistenta totala sau conductanta totala intre punctele A si B (fig.2-5).Astfel conductanta portiunii exterioare sursei este:
GAB = G1 + G2 + G3 = 5 * 10-6 + 5 * 10-6 + 10 * 10-6 =20 *10-6 ?-1 =2 * 10-5 S
Conductanta echivalenta a intregului circuit este:
Ge = g + GAB = 0.2 * 10-5 + 2 * 10-5 = 2.2 * 10-5 S
Tensiunea intre modulele A si B (fig.2-5) sau tensiunea la bornele sursei va fi:
UAB =

Curentii prin circuit:

I1 = I2 = G1 * UAB = 5 * 10-6 * 40 = 200 µA

I3 = G3 * UAB = 10 * 10-6 * 40 = 400 µA

Determinarea curentiilor prin mai multe ramuri de circuit conectate in paralel prin metoda tensiunii intre noduri da o solutie mai rapida a problemei si avantajele acestei metode cresc odata cu cresterea numarului de ramuri conectate in paralel.

3.Calculul curentului total si intern.Curentul total pentru portiunea exterioara sursei I este:
I = I1 + I2 + I3 = 2 * 200 + 400 = 800 µA
Curentul conductantei interne go este:
Io = Ig -; I = 880 -; 80 = 80 µA
Sau,in alt mod:
I = g * UAB = 2 * 10-6 * 40 = 80 µA

4.Calculul puterilor.Energia de la sursa de curent (fig.2-5) este furnizata prin ramura prin care trece curentul Ig.Aceasta ramura are la borne tensiunea UAB = 40 V si debiteaza o putere Psc = UAB * Ic = 40 * 880 * 10-6 = 35.2 mW
Pierderea de putere pe conductanta interna a sursei Po este:
Po = g * U2AB = 0.2 * 10-5 * 402 = 3.2 mW
Puterea furnizata circuitului exterior P este:
P = GAB * U2AB = 2 * 10-5 * 402 = 32 mW
Facand bilantul puterilor:
Psc = 35.2 mW = Po + P = 3.2 + 32 = 35.2 mW
Adica puterea cedata de elementele active (sursa) este egala cu puterea ceadata de elementele pasive.

Discutii suplimentare

1.Cum se poate transforma sursa de curent din figura 2-5,intr-o sursa echivalenta de tensiune? O sursa de curent avand parametrii Ig si go si o sursa de tensiune cu parametrii E si r0 sunt echivalente daca:
E= si g0=

Inlocuind in aceste formule parametrii echivalenti se obtin parametrii sursei de tensiune echivalente:
Ee= = r= ?

Circuitul din figura 2-5 se poate reprezenta sub forma schemei echivalente din fig.2-6,unde RAB este rezistenta portiuni exterioare sursei:

RAB= ?

Dupa verificarea calculelor se determina curentul I si tensiunea UAB din schema echivalenta (fig.2-6).

I= µA

UAB = RAB * I = 0.5 * 105 * 800 * 10-6 = 40 V
Se observa echivalenta rezultatelor.

2.Care sunt parametri identici atat sursei de curent cat si sursei de tensiune?
Dupa cum s-a aratat si la discutia suplimentara 1,sursa de curent si sursa de tensiune echivalenta functioneaza in circuitul exterior,are curenti si tensiuni identici.In consecinta ele furnizeaza sarcini si puteri identice.In acelasi timp sursele examinate nu sunt echivalente din punct de vedere al puterilor pe care le debiteaza .Astfel pentru circuitul din figura 2-6,sursa de tensiune debiteaza o putere:

Pst=Ee*I=

In timp ce sursa de curent (ideala) din fig.2-5 debiteaza o putere:

Psc=UAB*Ig=

3.Cum se poate stabiliza tensiunea intre noduri sau curentul printr-o ramura (latura) de circuit? Pentru stabilizarea tensiunii sau curentului unei portiuni de circuit trebuie sa se asigure cunoasterea acestora pentru toate variatiile parametrului portiuni de circuit respective.De exemplu pentru stabilizarea tensiunii intre punctele A si B din fig.2-1,trebuie sa se conecteze o sursa ideala de tensiune intre punctele respective.De observat faptul ca rezistenta interna a unei surse ideale de tensiune fiind reglabila,tensiunea de la bornele ei (sau intre punctulele A si B) va fi aceeasi pentru orice variatie a rezistentelor sau a t.e.m din fig.2-1.
Daca intr-o latura oarecare a citcuitului se conecteaza o sursa de curent atunci se asigura stabilizarea curentului prin aceasta latura.

4.Cum se determina curenti din circuitul din fig.2-7?

Determinarea tuturor curentilor se face aplicand principiul superpozitiei.Prima data determinam curentii tututor ramurilor produsi de sursa de curent I6.In acest caz sursa de t.e.m E nu are nici o influenta,adica E=o si rezistenta laturii de circuit in care este conectata (fig.2-7) este nula.
Rezistenta R este scurtcircuitata si nu va fi strabatuta de nici un curent.Astfel pentru regimul considerat curenti partiali prin toate laturile vor fi:
I’1=Ig ;I’2=0;I’3=-I’3=-I6
Acum se vor determina curentii generati numai de catre sursa de t.e.m E.In prima ramura actiunea sursei de curent I6 este aliminata,dar rezistenta sa interna fiind infinita,si mentinandu-se in continuare,inseamna ca prima latura de circuit este intrerupta.Curentii partiali ai acestui regim de lucru vor fi:
I’’1=0 ,I2’’=I’’3=
Luand in considerare marimea curentilor partiali pentru cele doua regiuni de lucru,se vor obtine pentru circuitul din fig.2-7 urmatorii curenti:
I1 = I’1 + I’’1 = I’1 = Ig

I2 = I’2 + I2’’ = I2’’ =

I3 = I’3 + I’’3 = - I6 +

De remarcat ca tensiunea intre noduri UAB = R * I2 = E,in timp ce curentul
I1 = I6 ,ceea ce inseamna ca se indeplinesc conditiile de stabilizare a tensiunii intre noduri si ale curentului prin latura de circuit.

2-3.Circuit cu mai multe noduri.Calculul circuitului.

Enuntul problemei

In circuitul din figura 2-8 t.e.m a sursei E=18.3V cu rezistenta interna r=0.2?(aceasta rezistenta se reprezinta separat,in serie,in latura de circuit a sursei de tensiune).Rezistentele receptoarelor sunt: R1=36?, R2=30?,R3=6?,R4=13?,R5=14?,R6=6.5? si R7=7.5?.
Sa se calculeze rezistenta echivalenta si toti curentii din circuit?

Rezolvarea problemei:

1.Planul de rezolvare a problemei.Rezistenta totala,echivalenta poate fi determinata fie prin metoda inlocuirii masive a diferentelor rezistoarelor conectate in serie sau in paralel prin rezistente echivalente,fie aplicand legea lui Ohm:
Re= , unde I este curentul sursei de tensiune din circuitul din fig.2-8.Se observa ca curentul I este recunoscut astfel incat pentru determinarea rezistentei echivalente si se face la primul ponder.Curentii din circuit pot fi calculati prin mai multe metode din care cel mai des folosite sunt:
1.Aplicarea legi lui Ohm referitoare la repartizarea curentilor prin ramurile din circuit conectate in paralel.In acest caz mai intai se simplifica schema apoi se dezvolta din nou,procedand dupa metoda prezentata la paragraful 2-1.
2.Calculul tensiunilor puterilor cu ajutorul teoremelor lui Kirchhof si apoi a curentilor din ramuri cu ajutorul legi lui Ohm,in mod direct pe schema data.
Primul procedeu de rezolvare se refera la rezolvarea generala a problemei si al doilea la discutii suplimentare.

2.Calculul reszistentelor echivalente.Caculul se incepe de la latura externa B’CD (fig.2-8) uneori se considera in mod gresit ca punctul C (locul unde conductorul formeaza un unghi) este un nod.Pentru a nu se gresi trebuie stiut ca nodul unui circuit electric este locul unde se conecteaza trei sau mai multe laturi de circuit.Dupa aceasta definitie punctul C nu este un nod,astfel incat acelasi curent I6,7 trece atat prin rezistorul R6 cat si prin rezistorul R7,adica aceste rezistoare sunt conectate in serie iar rezistorul echivalent are rezistenta: R6,7= R6+R7=6.5+7.5=14?
Rezistorul R6,7 este conectat in paralel cu rezistorul R5 de rezistenta identica,astfel incat rezistorul echivalent este:

RB’D= ?

Inlocuind sectorul B’D din circuitul din figura 2-8 cu rezistorul sau echivalent RB’D se obtine schema din fig.2-9 unde punctul D nu este un nod (analog punctul C examinat inainte in fig.2-8).

Fig.2-9 Simplificarea schemei din fig.2-8 prin inlocuirea succesiva a portiunilor de circuit cuprins intre nodul B si D (a) si B si F (b).

Rezistoarele RB’D si R4 sunt conectate in serie.Observand ca ramura BDF din fig.2-9,a este conectata in paralel cu rezistorul R2 se obtine rezistenta rezistorului echivalent al intregii portiuni de circuit cuprins intre nodurile B si F:

?

Inlocuind rezistoarele RB’D,R4 si R2 prin rezistorul echivalent RBF,ca in fig.2-9,b se realizeaza etapa urmatoare de simpificare a schemei initiale.Prin analogie cu schema precedenta din fig.2-9,b,rezistenta rezistorului echivalent dintre nodurile A si F este:

?

care este cuplat in serie cu r, astfel rezistorul echivalent intregului circuit este:

Re=RAF+r=12+0.2=12.2?

3.Calculul curentilor. Mai intai se determina curentul I:

Acest curent se imparte in nodul A al circuitului (fig.2-9,b) in curentii I1 si I2 care trec prin doua laturi de circuit cuplate in paralel.Un astfel de caz s-a examinat mai inainte, cand s-a obtinut relatia (2-5) care amplificata aici:

Curentul din cealalta latura,I3,se va determina prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff pentru nodul A:

I2=I-I1=1.5-0.5=1A
La fel din fig.2-9,a se gasesc curentii I4 si I2

I4=I3

I2=I3-I4=1-0.6=0.4A
Prin aceeasi metoda se gasesc si curentii I5 si I6,7 din fig.2-8.

I6,7=I4

I5=I4-I6,7=0.6-0.3=0.3A

Discutii suplimentare

1.Cum se determina tensiunile nodurilor si curentii prin ramuri,direct din schema initiala din fig.2-8?Cunoscand curentul total I=1.5A,se determina tensiunea intre nodurile A si F astfel:
UAF=E-r0I=18.3-0.2*1.5=18V
De unde rezulta cuerntul I1:

I1=

I3=I-I1=1.5-0.5=1A

Apoi se aplica a doua teorema a lui kirchhoff parcurgand conturul inchis ABFA in sens orar:
R3I3+R2I2-R1I1=0
UAB+UBF-UAF=0

In care tensiunea UAF=R1I1 s-a luat cu sensul minus pentru ca la parcurgerea ochiului in sens orar curentul I1 este in opozitie.
De aici rezult tensiunea intre nodurile B si F
UBF=UAF-UAB=18-6*1=12V

Procedand la fel ca mai sus se obtine :

I2=

I4=I3-I2=1-0.4=0.6A
Tensiunea intre nodurile B’ si D este:
UB’D=UBF-UDF=UBF-R4*I4=12-13*0.6=4.2V

I5=

I6,7=I4-I5=0.6-0.3=0.3A

2. De ce trece acelasi curent I4 atat prin conductorul BB’ cat si prin rezistorul R4 din fig.2-8?In nodul B’ soseste curentu I4 care este egal,dupa prima teorema a lui Kirchhoff cu I5 + I6.7 ,aceeasi curenti I5 si I6.7 se reantalnesc in nodul D fiind curentul I4 orientat din nodul D spre nodul F; I4 = I5 + I6.7

3.De ce conductorul BB’ din fig.2-8 poate fi considerat ca un singur nod?Faptul ca pe schema nu s-a reprezentat rezistenta conductorului BB’ inseamna ca aceasta rezistenta are valoarea atat de mica incat se poate neglija,adica se poate considera ca RB’B=0.In acest caz caderea de tensiune UB’B = I4 * 0 = 0 .Dar caderea de tensiune intre doua puncte este egala cu diferenta potentialelor celor doua puncte: UB’B = VB - VB’ = 0,de unde rezulta ca VB = VB’.
Astfel pentru cazul ,intre punctele B si B’ nu este nici o cadere de tensiune,potentialele acestor puncte fiind egale;din punct de vedere practic circuitul portiunii BB’ poate fi reprezentat printr-un conductor de lungime oarecare.Aceasta da posibilitatea de a deplasa pe schema punctele de conexiuni de-a lungul conductorului de conectare cosiderat ca un nod de circuit.
4.Cum se modifica toti curentii din fig.2-8 atunci t.e.m E creste de doua ori?Pentru circuitul examinat toate rezistentele nu depind de curentii care trec prin rezistoare si nici de tensiunile apilcate la bornele rezistoarelor adica atunci cand curentii variaza rezistentele au aceleasi valori care sunt date in enuntul problemei.Pentru rezistoare raportul dintre curent si tensiune (legea lui Ohm) se caracterizeaza printr-o lege de variatie liniara,un astfel de circuit fiind un circuit liniar.Astfel daca t.e.m E se va dubla atunci si curentii si tensiunile tuturor portiunilor de circuit se vor dubla.

2-4.Calculul unui circuit prin metoda transfigurarii.

Enuntul problemei
Pentru circuitul din fig.2-10 se dau: E = 3.6 V , r0 = 0.12 ? , R1 = 8 ? , R2 = 10 ?, R3 = 2 ?, R4 = 4 ? , R5 = 5?.
Sa se calculeze toti curentii.

Fig.2-10 Schema care se simplifica prin transfigurarea conexiunii triunghi a rezistentelor in conexiune stea.
Rezolvarea problemei.

1.Particularitatile circuitului considerat.Pentru problemele precedente s-au putut determina sensurile curentilor inainte de efectuarea calculelor.Se poate face aceeasi determinare si pentru circuitul din fig.2-10?
Pentru a raspunde la aceasta intrebare se traseaza pe schema sensul curentului I care in nodul A se imparte in doi curenti I1 si I2.Apoi trebuie sa se indice sensul curentului I3 care trece prin latura de circuit cuprinsa intre nodurile B si C dar acest curent poate avea doua sensuri ( reprezentate in desen prin linie plina respectiv printr-o sageata cu linie punctata).Directia reala a curentului I3 depinde de parametri schemei si nu se poate afla decat dupa calculul circuitului.
Astfel pentru circuitul considerat prin calcul,se determina atat valorile curentilor cat si sensurile lor.
Pe de alta parte,pana aici calculul circuitelor cu o singura sursa de energie sa bazat pe simplificarea schemei prin echivalarea rezistentelor conectate in serie si paralel.Se poate rezolva problema de aici tot prin aceasta metoda?
Se va arata ca metoda simplificarii nu poate fi aplicata,din cauza ca circuitul examinat nu contine rezistoare cuplate in serie sau in paralel.In adevar nu exista tiristoare conectate la aceeasi pereche de noduri (conditia de conectare in paralel) si nici rezistoare strabatute de acelasi curent (conditia de cuplare in serie).
Astfel circuitul examinat nu poate fi impartit in portiuni de circuit conectate in serie sau in paralel.Asemenea circuite se numesc circuite complexe,din aceasta categorie facand parte si circuitul examinat din fig.2-10.

2.Calculul rezistentei echivalente.Pentru cazul cosiderat rezistenta echivalenta a circuitului nu se poate determina direct prin aplicarea metodelor folosite in problemele precedente.Intrebarea care se pune este daca se poate transforma schema astfel incat dupa transfigurare sa se poata aplica metodele precedente.
Acest mod de lucru este posibil daca se inlocuieste conexiunea in triunghi a rezistoarelor cu conexiunea stea a rezistentelor sau invers,transfigurarea stea in triunghi.Aceasta transformare se efectueaza pentru rezistoarele R1 , R2 si R3 conectate in triunghi.
Mai intai se retranscrie schema,scotandu-se rezistoarele conectate in triunghi,insa se pastreaza denumirile nodurilor A,B si C ca in fig.2-11,a.

a)

b)

Fig.2-11.Schema din fig.2-10 in care triunghiul rezistoarelor R1,R2 si R3 a fost deconectat (a);schema din fig.2-10 in care s-a inlocuit triunghiul rezistoarelor prin conexiunea stea a rezistoarelor RA , RB si RC,care compun conexiunea stea.

?

?

?

In continuare, calculul circuitului din schema echivalenta din fig.2-11,b se face dupa metodele cunoscute. Astfel, rezistorul Rc este conectat in serie cu rezistorul R4 iar rezistorul RB este conectat in serie cu rezistorul R5 , rezistorul echivalent al ramurii OCD este:
RC,4 = RC + R4 = 0,8 + 4 = 4,8 O
Si pentru ramura OBD
RB,5 = RB + R5 = 1 + 5 = 6 O
Rezistoarele RC,4 si RB,5 fiind conectate in parallel au rezistorul echivalent egal cu:

Rezistenta rezistorului echivalent intregului circuit este:

RC=RA+ROD=4+2,67=6,67O

3. Calculul curentilor. Pentru determinarea curentilor din circuit asemanator circuitului echivalent din fig. 2-11,b se procedeaza ca la problemele discutate mai inainte.
Curentul de la sursa este:

I=

Curentul prin ramura OCD este:

Curentul prin ramura OBD este:

Din schemele 2-10 si 2-11,b se observa ca laturile de circuit CD si BD raman aceleasi, valorile curentilor I4 si I5 fiind valabile pentru ambele scheme.
In continuare se trece la schema initiala din fig.2-10 si se aplica a doua teorema a lui Kirchhoff pentru contorul CBD, curentul I3 fiind considerat in sensul indicat de sageata cu linie continua:
- I3R3 + I5R5 - I4R4 = 0
Introducand valorile numerice rezulta:
- I3 * 2 + 0,235 * 5 - 0,295 * 4 = 0 sau
2 * I3 ˜ 0,12 - 0,12 de unde rezulta ca I3 = 0
Atunci: I1 = I4 - I3 = I4 si: I2 = I3 + I5 = I5

Discutii suplimentare

1. Ce semnificatie are valoarea nula pentru curentul I3?

Circuitul examinat, din fig.2-10 se numeste montaj in puncte. Intr-un montaj in puncte, curentul I3 din latura CB, numita diagonala puntii, este egala cu zero daca produsul rezistentelor rezistoarelor din bratele opuse sunt egale. In adevar, in cazul de aici R1R5 = 8 * 5 = 40 si R2R4 = 10 * 4 = 40, de unde rezulta valoarea nula pentru curentul I3.
Montajul in punte se foloseste, pe scara larga, in tehnica masurarilor electrice si, mai ales, pentru masurarea rezistoarelor.

2. Cate conexiuni stea si cate conexiuni triunghi se pot forma pentru circuitul din fig.2-10?
Acest circuit contine doua conexiuni stea, R1 , R3 , R4 si R2 , R3 , R5 si doua conexiuni triunghi, R1 , R2 , R3 si R3 , R4 , R5.

3. Cum se tine seama de scursul curentului din diagonala puntii?

Mai inainte s-a aratat ca prin diagonala puntii curentul I3 poate avea doua sensuri, sensul real fiind necunoscut inainte de efectuarea calculelor. Daca directia aleasa nu este cea reala, atunci in urma calculului se vor obtine pentru curent valori negative.

2-5. Probleme propuse pentru rezolvare

18. Pentru circuitul din fig.2-12 se cunosc: E = 100 V ; R1 = 2,1 ? ; R2 = 7,78 ? ; R3 = 0,3 ? ; R4 = 0,2 ?. Sa se calculeze curentii, tensiunile si puterile pentru toate laturile circuitului si puterea sursei. Sa se stabileasca bilantul puterilor?

19. Sa se determine curentii prin rezistoarele R3 = 20 ? si R4 = 20 ? din fig.2-12 daca intensitatea curentului electric de la sursa este I = 0,6 A.

20. Pentru circuitul din fig.2-12 sa se transforme sursa de tensiune intr-o sursa de curent echivalenta, considerand rezistoarele R1 si R2 conectate in serie, drept rezistenta interna a sursei de t.e.m E = 10 V. Sa se calculeze curentul sursei de curent, conductanta proprie si curentii care trec prin rezistoarele R3 si R4 daca R1 = R2 = 4 ?, R3 = 6 ? si R4 = 12 ?.

21. La doua noduri de circuit electric se conecteaza trei ramuri de circuit. In serie cu ramura din mijloc se conecteaza o sursa de tensiune cu t.e.m E = 60 V si de rezistenta interna ro = 0,1 ? si doua rezistoare R1 = 0,4 ? si R6 = 0,5 ?. Una din laturile extreme se compune din trei rezistoare conectate in serie R3 = 2? , R4 = 10 ? si R5 = 8? , iar cealalta ramura extrema este formata dintr-un singur resistor R2 = 5 ?. Sa se deseneze schema circuitului. Sa se determine toti curentii si tensiunile la bornele sursei si intre noduri.

22. Sa se determine, pentru circuitul din fig.2-13, curentii prin laturile de circuit si caderile de tensiune pe resistor daca I =150 mA , R1 = 0,5 k? , R2 = 1,5 k? , R3 = 12 k? si R4 = 6 k?.

23.Pentru masurarea rezistoarelor prin metoda ampermetrului si a voltmetrului se folosesc doua scheme (fig.2-14,a si b).Cu ajutorul acestor scheme rezistenta rezistorului necunoscut Rx se determina ca raportul dintre indicatiile voltmetrului si ampermetrului.Pentru ambele scheme rezistentele ampermetrului si voltmetrului sunt : RA = 0.2 ? si Rv = 500 ?
Sa se determine erorile de masura ale rezistoarelor de rezistenta :
1) 10?;
2) 100?; pentru fiecare schema in parte.Ce schema trebuie aleasa pentru masurarea de rezistoare de rezistente mici si pentru rezistoare de rezistente mari?

24.Pentru reglarea tensiunii U1 dintre grila si catodul unei lampi electronice cu trei electrozi se foloste schema din fig. 2-15 unde R2 = 100 k? , Rg = 1 M? si R1 = 100 k?. Tensiunea de la bornele sursei este egala cu U.Sa se gaseasca valorile extreme ale tensiunii U1 in functie de tensiunea U pentru urmatoarele valori ale rezistentei voltmetrului Rv : a) de valoare foarte mare b) Rv=1M?

25.Un circuit electric este format din trei ramuri conectate in paralel. In ramura din mijloc este amplasata o sursa de alimentare cu E = 120 V si de rezistanta interna r = 0.3 ? si conectata in serie cu un rezistor R3 = 7.6 ? .Intr-una din laturile externe sunt conectate in serie rezistoarele R1 = 6.6 ? si R2 = 0.4 ? , iar in cealalta latura se conecteaza doua rezistoare in paralel R5 = 3 ? si R6 = 15 ? si inseriate cu rezistorul R4 = 0.5 ?.
Sa se traseze schema circuitului si sa se calculeze toti curentii,puterea debitata de sursa, puterea furnizata circuitului exterior si pierderea de putere pe rezistenta interna.
Sa se stabileasca bilantul puterilor.
Sa se verifice calculele cu ajutorul teoremelor lui Kirchhoff.

26.Sa se determine rezistenta echivalenta a circuitului din fig.2-16, daca R1 = 2.5 ? ; R2 = R5 = 60 ? ; R3 = 20 ? si R4 = 13.5 ?.

27.Pentru circuitul din fig.2-17 se dau: U = 120 V ; R1 = R2 = R3 = R4 = R5 = 120 ?. Sa se determine numarul de noduri , rezistenta echivalenta a circuitului , toti curentii si tensiunile intre noduri.
Sa se efectueze verificarea calculelor cu ajutorul celei dea doua teorema a lui Kirchhoff pentru ochiurile ABCDFGA,AGHA si ABFGHA.

28.Curentul anodic Ia = 2 mA si curentul grilei ecran Ie = 1 mA , ai unei…. Sunt orientate inspre catod (fig.2-18) dinspre borna << - >> a unei surse de tensiune U = 240V.Tensiunea intre catod si anod este Ua = 140 V, tensiunea intre grila ecran si catod este Ue = 120 V si rezistorul R2 = 24 k?.
Sa se calculeze rezistentele R1 si Ra si sa se aleaga puterea lor nominala,stiind ca pana la 1W rezistentele se fabrica pentru puterile nominale 0.25 ; 0.5 ; 1W.
Ce valori vor lua Ua si Ue daca lampa electrica este extrasa din suportul ei?

29.O parte dintr-o schema radio, reprezentata in fig.2-19, are urmatoarele caracteristici: U = 300 V ; R1 = 5 k? cu puterea nominala de 0.25W , Ia = 6 mA.Curentul continuu nu trece prin condensatorul C este strapuns, adica se stabileste contact intre armaturi.Care sunt consecintele acestei defectiuni?

30.In timpul montarii circuitului din fig.2-20 datorita supraincalziri firului de legatura la lipire se produce intreruperea rezistorului R1 .Cum variaza (cresc sau scad) indicatiile aparatelor de masura conectate in circuit,daca tensiunea intre bornele A si B ramane aceeasi?

31. Pentru circuitul din fig.2-20 in urma unei perturbari a functionari normale,indicatia ampermetrului creste, voltmetrul V1 indica valoarea zero si voltmetrul V2 indica valoarea tensiuni aplicata intre bornele A si B.
Care sunt defectiunile?

32.Care vor fi indicatiile aparatelor de masura din fig.2-21, daca punctele K si N se leaga printr-un conductor de rezistenta nula?

33.Cum variaza indicatiile aparatelor de masura din circuitul 2-21 in cazul in care cursorul reostatului R1 este deplasat in jos plecand din punctual M?

34.Sa se stabileasca expresia rezistentei rezistorului echivalent circuitului din fig.2-22 si sa se calculeze aceasta rezistenta echivalenta daca R1=R2=R3=R5=5.5? ,R4=12? si R6=3.25?.

35.Sa se determine rezistenta rezistorului echivalent circuitului din fig.2-23 daca R1=R4=60?, R2=R5=40?, R3=10? si R6=80?.

36.Pentru circuitul cu schema din fig.2-24 ampermetrul indica un curent de 0.5mA. Sa se determine tensiunea la bornele sursei de alimentare daca R1=600?,R2=6k?,R3=2k?,R4=1k? si R5=4k?.

37.La bornele unei surse de energie de rezistenta interna r0=0.8? sunt conectate doua ramuri de circuit.Printr-una din ramuri de rezistenta necunoscuta Rx trece un curent I=0.5A.In aceasta ramura sunt dispuse trei rezistoare R2=24?,R3=10? si R4=15? astfel R3 in paralel cu R4 si apoi legate in serie cu R2.
Sa se determine pe rezistenta rezistorului necunoscut Rx si t.e.m a sursei daca pe rezistorul R3 caderea de tensiune este 12V.

38.Ampermetrul A1 si A2 din fig.2-25 indica 1.6mA, respective 2.4mA.Sa se determine rezistenta rezistorului necunoscut Rx si t.e.m a sursei daca R1 =R2=5k?, R3=1.5k? si R4=2k?; se neglijeaza rezistenta interna a sursei si rezistentele ampermetrelor.

39.Pentru circuitul din fig.2-26 se cunosc: E1=E2=4.8V , R1=R2=960?,R3=260?,R4=R5=720?, R6=600?,R7=400?; rezistentele interne ale surselor se neglijeaza, r1=r2=0.
Sa se calculeze toti curentii si potentialele punctelor A,B si C.

40.O linie de alimentare cu energie electrica a unui motor electric cu tensiunea nominala de U2=450V are lungimea de 1km,este construita din aluminiu si are doua conductoare, fiecare de diametru de 4mm.Tensiunea la inceputul liniei este U1=500V.Sa se traseze schema circuitului si sa se determine pierderea de tensiune pe linie, curentul prin linie si densitatea de curent prin linie, puterea receptorului si pretul energiei pierdute lunar in linia de alimentare pentru functionare medie de 10 ore din 24 de ore 1kwh costa … .

41. Cu cati volti se poate reduce tensiunea generatorului , din problema 40 , racordat la inceputul liniei , daca se inlocuiesc conductoarele de alimentare cu conductoare identice de cupru , regimul de functionare al motorului ramanand acelasi?

42. Sa se determine rezistenta conductoarelor din aluminiu ale unei linii de alimentare cu enrgie electrica a unui receptor de putere 4.5kw si de tensiune nominala U2=450V daca tensiunea U2 variaza cu 1% , datorita variatilor de temperature cu 300 .Rezistenta conductoarelor este mult mai mica decat rezistenta receptorului.

2-6. PROBLEMA DE CONTROL

Rezistoarele din circuitul din fig.2-27 au rezistentele: R1=2.5?, R2=2?, R3=9? , R4=15? , R5=3? , R6=10? si R7=3?.
Sa se determine valoarea cate unei marimi electrice (curentul I,tensiunea U sau t.e.m E) indicate in variatile din tabelul 2-1, utilizand valoarea cunoscuta aratata in tabelul a unei marimi electrice , rezistentele fiind cunoscute.
Tabelul 2-1 se foloseste tinand seama ca toate tensiunile se dau in volti iar curentii in ampere , indicile tensiunilor si curentilor corespund indicilor rezistoarelor din fig.2-27, de exemplu , U1 este tensiunea pe rezistorul R1 sau Is este curentul care trece prin rezistorul R5.

Tabelul 2-1

Numarul variantei 1 2 3 4 5 6 7 8
Marimi cunoscute U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7 U8
100 50 45 6 30 6 3 0
Marimi necunoscute I2 E E E E I1 I3 I5

Numarul variantei 9 10 11 12 13 14 15 16
Marimi cunoscute I2 I2 I3 I3 I3 I3 I3 I4
6 3 1.2 2 3 4 5 0.1
Marimi necunoscute I4 I6 I1 I2 I4 I5 I6 I1
Numarul variantei 17 18 19 20 21 22 23 24
Marimi cunoscute I4 I4 I4 I5 I5 I5 I6 I6
0.2 0.3 0.2 0.75 0.5 0.8 0.06 10
Marimi necunoscute I2 I3 I7 I1 I2 I3 I1 I2