I. GRAVITATIA Inca din cele mai vechi timpuri, omenirea a fost preocupata de cercetari asupra Pamantului, de tendinta de cadere a corpurilor privita ca o forta de atractie dintre acel corp si Pamant.
Multi cercetatori ai antichitatii au urmarit suprafata si forma Pamantului precum si astrii din apropierea sa, Luna si Soarele.
Vechii greci, printer care si ilustrul Ptolomeu, a presupus ca Pamantul este in repaus in centrul Universului, iar Soarele si Luna sunt planete ce se rotesc in jurul Pamantului, pe orbite complicate.
Apoi Copernic a contrazis acea ipoteza, in lucrarea “De revolutionibus” aparuta in 1542 demonstrand ca Soarele este in centrul Universului, iar Pamantul este o planet ace se roteste in jurul axei sale, efectuand o miscare de revolutie in jurul Soarelui, celelalte planete avand miscari identice cu a Pamantului.
In secolul al XVI-lea, Tycho Brahe (1548-1601) a adunat o multitudine de date asupra miscarii planetelor, date care au fost analizate si interpretate abia dupa 20 de ani de catre asistentul sau, astronomul german Kepler, care a stability legile miscarii planetelor.
Brahe a fost ultimul mare astronom care a facut observatii in scopul obtinerii de date astronomice fara ajutorul vreunui telescop. Am spus ultimul, deoarece dupa 8 ani de la moartea sa, Galileo Galilei inventeaza telescopul refractor, denumit ulterior luneta Galilei, cu un grosisment de 30X cu ajutorul careia a descoperit fazele planetei Venus, primii patru sateliti ai lui Jupiter, muntii lunari petele solare. Mai tarziu, in a doua jumatate a secolului XVII, este inventat telescopul reflector cu viziune laterala, de catre Isaac Newton, denumit ulterior telescopul cu oglinda al lui Newton.
Johannes Kepler (1571-1630), astronom si mathematician german, considerat ca fondator al astronomiei moderne. In anul 1600 si-a inceput activitatea, la Praga, alaturi de astronomul Tycho Brahe. Un an mai tarziu, acesta din urma moare si Kepler ii ia locul in calitate de astronom al imparatului Rudolf al II-lea. Kepler a descoperit legile de miscare a planetelor (legile lui Kepler).
Primele doua legi (sunt trei in total) le-a publicat in cartea sa “Astronomia nova”, aparuta in anul 1609. Cea de-a treia lege a publicat-o in 1619, in lucrarea intitulata “Harmonices mundi”, iar o alta lucrare a sa din domeniul astronomiei o constituie asa numitele “Tabele rudolfiene”, tabele intocmite de el si care cuprind efemeridele planetelor. Kepler a facut si cercetari de optica. A inventat luneta care-i poarta numele si a carei teorie o da in lucrarea sa “Dioptrice”, aparuta in anul 1611.
Legile miscarii planetelor descoperite de Kepler au constituit o contributie insemnata, hotaratoare, la desavarsirea sistemului heliocentric al lui Copernic.
Pe baza datelor adunate de Brahe si de catre el personal, Kepler stabileste legile miscarii planetelor. Acestea sunt:
- legea orbitelor: toate planetele se misca in jurul Soarelui pe orbite (traiectorii) eliptice, in focarul comun fiind Soarele;
- legea ariilor: raza vectoare care uneste Soarele cu o planeta matrua (descrie) arii egale in intervale de timp egale;
- legea perioadelor: patratul perioadei de revolutie a unei planete in jurul Soarelui este direct proportional cu cubul distantei medii a plantei pana la Soare.
Legile empirice ale lui Kepler arata cat de simplu se poate studia miscarea planetelor daca se ia Soarele drept corp de referinta. De aceea, ele vin in sprijinul teoriei lui Copernic cu privire la sistemul Lumii (sistemul solar). Giordano Bruno si Galilei au fost aprigi aparatori ai teoriei copernicane si fiecare dintre ei a suferit prigoana Inchizitiei din vremea lor.
Dupa anul 1665, un student al Colegiului din Cambridge, a inceput sa studieze miscarea corpurilor ceresti, a planetelor si Soarelui, unul din principalele subiecte ale momentului.
Inspirat de caderea unui mar dintr-un pom, Isaac Newton, fiind acasa si luandu-si ceaiul cu unul dintre prietni, i-a venit idea ca forta care atrage marul catre Pamant, ar putea atrage si Luna catre Pamant.
El demonstreaza mai tarziu ca acceleratia unui corp in cadere este invers proportionala cu patratuldistantei sale pana la Pamant, pornind de la ipoteza ca acceleratia centripetal a Lunii pe orbita sa si acceleratia in jos a unui corp de pe Pamant, pot avea aceeasi origine.
Dupa calculele sale, Newton a dedus fortele care mentin planetele pe orbitele lor, trebuie sa fie invers proportionale cu patratele distantelor lor pana la centrele in jurul carora ele se rotesc.
Din legile emise de Kepler, Newton, a putut deduce legea gravitatiei, care spunea ca fiecare planeta e atrasa de Soare cu p forta proportionala cu masa planetei si invers proportionala cu patratul distantei sale pana la Soare.
Forta gravitationala exercitata asupra unui corp, e proportionala cu masa. Daca un corp aflat in repaus pe o suprafata orizontala este impins, observam ca este necesar un anumit efortpentru aceasta. De ce? Pentru ca masa corpului este cea care face necesara aplicarea unei forte pentru a schimba miscarea corpului.
(principiul doi al mecanicii)
Daca suspendam de un fir un corp de masa m, este nevoie de un effort pentru a tine corpul in repaus in echilibru; altfel va cadea pe Pamant cu o miscare accelerate. Forta necesara pentru a tine corpul, este egala in modul cu forta de atractie gravitationala.
Greutatile diferitelor corpuri, in acelasi loc pe suprafata Pamantului, sunt exact proportionale cu masele lor gravitationale.
Daca vom folosi un resort, de care vom atarna un corp si-l vom lasa sa cada spre Pamant, gasim ca obiectele cu masa inertiala cad cu aceeasi acceleratie provenita din atractia gravitationala terestra. Folosind legea a doua a miscarii, avem:
GA = mAg; GB = mBg sau GA/GB = mA/mB
Greutatile corpurilor in acelasi loc de pe Pamant, sunt exact proportionale cu masele lor inerte. Prin urmare, masa inerta si masa gravitationala, sunt cel putin proportionale intre ele. In realitate ele sunt identice.
Sa presupunem ca o nava cosmica este in repaus intr-un sistem de referinta inertial S, in care exista un camp gravitational uniform, de exemplu, pe suprafata Pamantului. In interiorul navei, un mar lasat liber, va cadea cu o acceleratie g, in campul gravitational; obiectele ce sunt in repaus, astonautul sau un corp atarnat, legat de tavan, vor suferi o forta exercitata de podea, sau resort, opusa greutatii lor.
Daca nava este in miscare, si ajunge intr-o regiune unde nu exista camp gravitational, iar in interiorul navei astronautul lasa liber un mar, el va fi accelerat in jos fata de nava cu o acceleratie g. Toate corpurile care sunt libere de orice forte se misca cu viteze uniforme relative, la reperul initial S, toate aceste corpuri apar in cadere cu aceeasi acceleratie g fata de nava cosmica S.
Intr-adevar, daca astronautul n-ar sti ca motoarele accelereaza nava sa din S, el ar avea motive sa creada ca se afla intr-un camp gravitational -; un camp ale carui forte au accelerat marul in cadere in S si ale carui forte cereau ca o forta de echilibrare sa fie aplicata atat corpului atarnat cat si lui, pentru a-l tine in repaus in S. Astronautul n-ar putea gasi nici o diferenta, bazat fiind pe observatiile in cadrul propiului sau reper, intre o situatie in care nava sa este accelerate fata de un reper inertial intr-o regiune lipsita total de camp gravitational si o situatie in care exista camp gravitational uniform. Cele doua situatii sunt exact echivalente.
Din principiul echivalentei, rezulta ca masa inerta si masa gravitationala, sunt egale.
Toate corpurile care sunt libere de orice forte se vor misca cu viteza uniform relative la un reper inertial, indifferent care ar fi masele lor inertiale, si vor avea aceeasi acceleratie relative la un reper accelerat.
Toate corpurile vor cadea cu aceeasi acceleratie, intr-un camp gravitational uniform.
In general, campurile gravitationale, cum este cel terestru, nu sunt uniforme in intregul spatiu.

In legea atractiei universale, este continuata idea ca forta gravitationala dintre doua particule este independenta de prezenta altor corpuri sau de propietatile spatiului intermediary. Acest fapt a fost folosit de unii pentru a elimina posibila existenta a asa numitelor “ECRANE GRAVITATIONALE”.

Masurand forta de atractie dintre doua corpuri de mase cunoscute putem determina valoarea lui G.
Aceasta valoare a fost obtinuta de P.R.Heyl si P. Chizanowschi de la Biroul National de Standarde al SUA, in 1942, ca fiind:
G = 6,673 * 10-11Nm2/kg2
Aceasta constanta s-a determinat cu ajutorul a doua bile mici, fiecare de masa m, fixate de capetele unei tije usoare. Aceasta a fost suspendata ca axa sa orizontala, printr-un fir vertical fin. Doua bile marifiecare cu masa M au fost plasate in vecinatatea capetelor halterei. Cand bilele mari sunt in pozitiile A si B, bilele mici sunt atrase in virtutea legii gravitatiei si asupra halterei se exercita un moment care o roteste in sens trigonometric, vazuta de sus. Cand bilele sunt in pozitiile A’ si B’, haltera se roteste in sens orar. Firul se opune acestor momente cand este rasucit, unghiul fiind masurat cu ajutorul unui fascicol de lumina reflectat pe o mica oglinda fixate pe fir.
Forta gravitationala mare pe care Pamantul o exercita asupra tuturor corpurilor de langa suprafata sa se datoreste masei foarte mari a Pamantului.
S-a considerat pana acum ca acceleratia gravitationala este o constanta. Din legea lui Newton observam ca aceasta variaza cu altitudinea, adica distanta pana la centrul Pamantului.
Daca ne departam de suprafata Pamantului, variatia procentuala a fortei F este mai mare decat variatia relative a lui r. Forta descreste, atunci cand distanta creste.
Notand cu m1 masa Terrei si cu m2 masa obiectului, forta gravitationala asupra obiectului datorita Pamantului este F = m2g indreptata spre Pamant.

Vechii greci credeau ca Pamantul este rotund si unul din ei, Erastone a moasurat raza Pamantului, in ipoteza ca este o sfera.
Mai tarziu, s-a aflat prin masuratori, ca nu este sfera ci un ellipsoid de revolutie, turtit dupa axa de rotatie a Pamantului si umflat la Ecuator. Raza Ecuatoriala depaseste cu 21 km raza la Poli. Turtirea se datoreste efectelor centrifuge cauzate de rotirea a Pamantului.
Faptul ca Ecuatorul se afla la distanta mai mare fata de centrul Pamntului decat de Poli, are loc o crestere treptata a valorii masurate a lui g, atunci cand ne desplasam de la Ecuator spre Poli. Aceasta variatie, se explica prin valori effective a lui g produsa de rotatia Pamantului. Daca Pamantului s-ar roti mai repede, obiectele de pe suprafata de la Ecuator ar parea fara greutate, ceea c ear insemna ca g ar fi zero. Pentru toate vitezele de rotatie, mai mici decat aceasta valoare critica, g are o valoare nenula, bine definite, care este mai mica decat valoarea pe care ar avea-o in acelasi punct, daca Pamantul nu s-ar roti.

II. Johannes Kepler

1. BIOGRAFIE

Astronom, mecanician si matematician german, nascut la Weil der Stadt, Wurttemberg, unul dintre fondatorii astronomiei moderne. Studiile si le-a facut la seminarul teologic protestant din Tubingen. A fost profesor de astronomie si morala la Graz. Intreaga sa activitate l-a definit ca un tenace si abil calculator, un mare vizionar si om de stiinta, dotat cu o bogata imaginatie. Mai toate preocuparile sale stiintifice, teoretice sau de ordin practic, ce sunt legate de domeniul astronomiei, pasiunea lui de o viata, care avea sa-i asigure celebritatea. In 1593 a elaborat lucrarea Prodromus in care a cautat sa determine distantele dintre planete si soare pe baza considerarii corpurilor geometrice perfecte avand convingerea, ca si Pitagora, ca Universul este perfect. Tycho Brahe l-a ales drept colaborator la observatorul din Praga si la moartea acestuia in 1601 va deveni astronom al imparatilor Rudolf II, Mathias II si Ferdinand II intre anii 1601-1630. Utilizand multitudinea de informatii pretioase ramase de la Tycho Brahe ca si din observatiile comune in special asupra planetei Marte, Kepler va anunta in 1609 primele sale doua legi fundamentale privind miscarile planetare in lucrarea ramasa si ea celebra Astronomia nova, al caror continut este urmatorul: L1) Planetele descriu eclipse, Soarele fiind plasat intr-unul din focare. L2) Razele vectoare ale planetelor descriu arii egale in timpuri egale. Dupa detronarea lui Rudolf II in 1612, Kepler primeste din partea noului imparat sarcina de a impune calendarul gregorian, ceea ce il conduce la a intra in conflict atat cu biserica catolica cat si cu cea protestanta. Cu toate neplacerile unui astfel de conflict, deloc de neglijat in general si mai ales pentru acele vremuri, Kepler isi continua cercetarile sale si in 1619, gratie bogatei sale fantezii creatoare, descopera relatia dintre axele mari ale orbitelor planetare si timpul de revolutie al planetelor si publica legea a treia ce ii poarta numele in lucrarea Harmonices mundi libri V la Linz, al carei continut este: L3) Patratele timpurilor de revolutie ale planetelor sunt proportionale cu cuburile semiaxelor mari. Tot in acele vremuri a investigat paralaxa si teoria eclipselor. A alcatuit tabele cu efemeridele planetelor. Dupa izbucnirea razboiului de 30 de ani, este nevoit sa paraseasca Linzul, fiind o vreme, astronom si astrolog al; generalului Wallenstein. In afara cercetarilor de astronomie care i-au adus si bucurii si necazuri, dar i-au asigurat nemurirea in lumea stiintei, Kepler a obtinut alte rezultate valoroase. In anul 1612, an foarte bogat in recoltele de struguri, Kepler, aflat la Linz, s-a interesat de regulile practice de determinare a volumului butoaielor cu vin si in 1615 publuca lucrarea Noua metoda de masurare a butoaielor cu vin. In 1616 va publica o editie populara a acesteia sub titlul Extras din stavechea arta de a masura a lui Arhimede etc. Desi Kepler nu dispunea de o teorie dezvoltata asupra infinitului mic, el a folosit in cartea amintita aceasta notiune in acelasi fel in care, cu un secol mai tarziu, va fii utilizata diferentiala in geometrie. El impartea suprafetele si corpurile in portiuni elementare pe care le suma. Calauzindu-se dupa noua sa idee Kepler a fost primul care a depasit rezultatele obtinute de antici in aceasta directie. A determinat in total marimile a 87 de corpuri noi. In plus cercetarile lui Kepler asupra formei butoaielor ce reda cea mai mare capacitate la cel mai mic consum material, l-au condus spre probleme de maxim si la probleme izoperimetrice, in a caror analiza va urma calea indicata de Pappus in cartea V din Culegerea sa. A stabilit formulele pentru calculul laturilor triunghiului sferic in functie de unghiuri. A studiat poligoanele si poliedrele regulate stelate, publicand rezultatele in 1619. A aratat ca dintre toate paralelipipedele inscrise intr-o sfera, cubul are volumul maxim(1615). A studiat si aplicat in cercetarile sale astronomice concepte ale teoriei conicelor. Astfel a introdus notiunea de excentricitate, a privit asimptotele hiperbolei ca tangente la infinit, a aratat ca parabola este limita unei elipse cand unul dintre focare tinde catre infinit(1609).A avut contributii in optica, mai ales relativ la lunete, construind una in 1611. A studiat lumina, a introdus conceptul de raza de lumina, a explicat reflexia si refractia si a formulat teoria telescoapelor.A elaborat un numar insemnat de lucrari de astronomie, astrologie, matematica precum: Calendarum und Prognosticum, Prodromus dissertationum cosmographicamm continens mysterium ccosmographicum…, De fundamentis astrolegiae certioribus, Judicium de trigono igneo, Ad vitellionem paralipomena quibus astronomiae pars optica traditur si multe altele.

2 . demonstratie

In urma observatiilor astronomice J. Kepler a stabilit in anul 1619 legile care descriu miscarea planetelor in jurul Soarelui. Acestea, numite si legile lui Kepler, sunt urmatoarele:
Ø planetele se misca pe elipse ce au Soarele situat intr-unul dintre focare.
Ø raza vectoare a planetei descrie arii egale in intervale de timp egale (legea ariilor).
Ø patratele perioadelor de revolutie sunt direct proportionale cu cuburile semiaxelor mari,adica:
T² = CR³, unde prin perioada de revolutie T se intelege timpul in care planeta descrie o elipsa completa.

Daca raza vectoare a planetei descrie ariile SAA' si SBB' in intervale egale de timp, conform legii a doua a lui Kepler, aceste arii sunt egale.
In cele ce urmeaza vom trata Soarele si planetele ca pe niste puncte materiale, avand in vedere ca dimensiunile lor sunt neglijabile in comparatie cu distantele ce le separa.
In anul 1687 I. Newton a reusit sa explice legile miscarii planetelor presupunand ca Soarele exercita o forta de atractie asupra planetelor. Aceasta forta de atractie se manifesta ca o forta centripeta ce obliga fiecare planeta in parte sa se miste dupa o curba inchisa, de forma unei elipse. Newton a demonstrat ca daca se admite ca forta de atractie F din partea care actioneaza asupra planetei P este proportionala cu produsul dintre masele acestora si invers proportionala cu patratul distantei r dintre ele, fiind indreptata catre Soare dupa directia PS, atunci pot fi explicate cele trei legi ale lui Kepler. S-a presupus deci ca forta este data de relatia: , unde MS este masa Soarelui, MP este masa planetei iar k o constanta de proportionalitate.

Sa cautam, sa demonstram legile lui Kepler. Pentru a scrie pe sub forma vectoriala, sa consideram vectorul indreptat de la S la P si sa avem in vedere ca forta are directia lui , dar sensul contrar acestuia. Prin urmare:

.
Momentul acestei forte fata de punctul S este:
.
Folosind ecuatia , rezulta ca momentul cinetic este constant in timp, pastrand aceeasi marime, directie si sens in tot timpul miscarii. Din produsul vectorial se observa ca si , ceea ce inseamna ca vectorii si sunt perpendiculari in tot cursul miscarii pe vectorul constant , adica si , deci si traiectoria, se afla in planul perpendicular pe , plan care trece prin S. Traiectoria miscarii este o curba care se gaseste in acelasi plan.
Determinarea formei geometrice a acestei traiectorii plane necesita calcule mai complicate care arata ca traiectoria este fie o elipsa, fie o parabola, fie o hiperbola, dupa cum viteza initiala a corpului aflat sub actiunea fortei este mai mare sau mai mica.
In cazul planetelor, viteza initiala corespunde conditiilor de miscare pe elipse. In concluzie, forta explica prima lege a lui Kepler.

Sa consideram acum o portiune din traiectorie. Aria a triunghiului hasurat este data de modulul vectorului:
.
Impartind cu intervale de timp , in care Pamantul s-a deplasat din A in B, obtinem: si daca presupunem foarte mic ( = 0) rezulta: , deoarece pentru foarte mic arcul AB coincide cu coarda (in limita = 0). este tocmai aria suprafetei maturate de raza vectoare in intervalul de timp . Deoarece = const., pentru orice interval de timp putem scrie:
.
Se vede imediat din ultima relatie ca in unitatea de timp, indiferent de pozitia instantanee a planetei pe traiectorie, raza vectoare a acestuia descrie o suprafata de aceeasi marime, .
Prin urmare, in intervale de timp egale, raza vectoare a planetei descrie arii egale, am obtinut deci si a doua lege a lui Kepler.

Deoarece demonstratia legii a treia a lui Kepler este mai dificila din punct de vedere matematic, vom simplifica lucrurile, presupunand ca traiectoria planetei este circulara (aceasta situatie corespunde satelitilor artificiali care se misca pe orbite circulare). Egaland forta de atractie cu forta centripeta, obtinem: , unde am avut in vedere ca distanta de la planeta la Soare este egala cu raza R a cercului. Rezulta de aici relatiile: , deci:
.
Notand constanta cu c, obtinem a treia lege a lui Kepler: , deoarece, in miscarea circulara, distanta de la un punct oarecare de pe circumferinta pana la centru este egala cu raza cercului. Cercul poate fi considerat ca un caz particular de elipsa cu semiaxele egale intre ele si egale cu raza R a cercului.
Daca tinem seama de dimensiunea Soarelui si planetelor, toata expunerea de mai sus ramane valabila, prin intelegand insa vectorul ce uneste centrul Soarelui cu centrul planetei.
Dupa cum se remarca din relatia Fext = F0 cos ? t, directia fortei de atractie trece intotdeauna prin centrul Soarelui. O astfel de forta, a carei directie trece printr-un punct fix se numeste forta centrala.
Pe langa atractia Soarelui, planeta noastra este supusa si atractiei din partea celorlalte planete din sistemul solar. Dintre toate acestea, cea mai importanta este insa forta de atractie a Lunii, care este totusi de 127 de ori mai mica decat atractia solara (mai exact ). Fortele de atractie a Soarelui si a Lunii sunt dirijate respectiv dupa directiile ce unesc centrul Pamantului cu centrul celor doua corpuri ceresti, situate la distantele D si respectiv d (fig. 3).
Forta totala care actioneaza asupra Pamantului este: , deci, in miscarea M de revolutie, Pamantul are acceleratia:
.

III. Isaac Newton

1. SINTEZELE LUI NEWTON

· Sintezele lui Newton
Kepler propusese trei Legi ale miscarii planetelor bazate pe datele lui Brahe. Se presupunea ca aceste Legi sunt valabile numai in cazul miscarii planetelor; nu se mentiona nimic despre celelalte miscari din Univers. Era clar ca aceste legi erau valabile, dar nimeni nu cunostea o explicatie a acestora.
Newton a schimbat toate acestea.La inceput, el a demostrat ca miscarea obiectelor pe Pamant poate fi descrisa de cele trei noi Legi ale miscarii. Newton a aratat ca cele trei Legi ale miscarii planetelor ale lui Kepler nu erau altceva decat cazuri particulare ale propriilor sale legi (se presupunea ca intre toate corpurile din Univers care poseda masa exista forte de atractie gravitationala). De fapt, Newton a mers chiar mai departe: el a aratat ca Legile miscarilor planetelor ale lui Kepler erau numai aproximativ corecte, si a facut corecturile cantitative care cu observatii detaliate s-au demonstrat a fi valabile.

· Atractia universala. Camp gravitational.
In urma observatiilor astronomice, J.Kepler a stabilit in anul 1916 legile care descriu miscarea planetelor in jurul Soarelui. Acestea, numite si legile lui Kepler, sunt urmatoarele:
- planetele se misca pe elipse ce au Soarele situat intr-unul dintre focare;
- raza vectoare a planetei descrie arii egale in intervale de timp egale.
- patratele perioadelor de revolutie sunt direct proportionale cu cuburile semiaxelor mari, adica
T2 = CR3 unde prin perioada de revolutie T se intelege timpul in care planeta descrie o elipsa completa.
P B B

Dr A
B' r + Dr

r
A

A' S
Daca raza vectoare a planetei descrie ariile SAA' si SBB' in intervale egale de timp, conform legii a doua a lui Kepler, aceste arii sunt egale.
In cele ce urmeaza vom trata Soarele si planete ca pe niste puncte materiale, avand in vedere ca dimensiunile lor sunt neglijabile in comparatie cu distantele ce le separa.
In anul 1687 I. Newton a reusit sa explice legile miscarii planetelor presupunand ca Soarele exercita o forta de atractie asupra planetelor.Aceasta forta de atractie se manifesta ca o forta centripeta ce obliga fiecare planeta in parte sa se miste dupa o curba inchisa de forma unei elipse. Newton a demonstrat ca daca se admite ca forta de atractie F din partea Soarelui care actioneaza asupra planetei P este proportionala cu produsul dintre masele acestora si invers proportionala cu patratul distantei r dintre ele, fiind indreptata catre Soare dupa directia PS, atunci pot fi explicate cele trei legi ale lui Kepler. S-a presupus deci ca forta este data de relatia

Ms mp
F = K r2 unde Ms este masa Soarelui, mp este masa planetei iar K este o constanta de elasticitate.
Sa cautam sa demonstram legile lui Kepler .
Pentru a scrie pe F sub forma vectoriala, sa consideram vectorul r indreptat de la S la P si sa avem ca forta are directia lui r , dar sensul contrar al acestuia. Prin urmare
Ms mp r Msmp
F = -K = -K r r2 r r3

Momentul acestei forte fata de punctul S este
Msmp
MF = r X F = -K r X r = 0 r3
Folosind ecuatia, DL0 /Dt = 0, rezulta ca momentul cinetic L = r x p este constant in timp, pastrand aceeasi marime, directie si sens in tot timpul miscarii.
Din produsul vectorial L= r X p se observa ca L ^ r si L ^p, ceea ce inseamna ca vectorii r si p sunt perpendiculari in tot cursul miscarii pe vectorul constant L, adica r si v, deci si traiectoria, se afla in planul perpendicular pe L, plan care trece prin S. Traiectoria miscarii este o curba care se gaseste in acelasi plan.

Determinarea formei geometrice a acestei traiectorii plane necesita calcule mai complicate care arata ca traiectoria este fie o elipsa, fie o parabola, fie o hiperbola , dupa cum viteza initiala a corpului aflat sub actiunea fortei este mai mare sau mai mica. In cazul planetelor viteza initiala corespunde conditiilor de miscare pe elipse.
In concluzie, forta de atractie explica prima lege a lui Kepler.

Sa consideram acum o portiune din traiectorie. Aria DS a triunghiului ASB este data de modulul vectorului

1
DS = r X Dr
2
Impartind cu intervalul de timp Dt, in care Pamantul s-a deplasat din A in B, obtinem

DS = 1 r X r
Dt 2 Dt

si daca presupunem Dt foarte mic (Dt®0), rezulta

DS = 1 r X v = 1 rrr X p = 1 L
Dt 2 2mp 2mp

Deoarece pentru ½Dr½ foarte mic arcul AB coincide cu coarda ½AB½(in limita Dt®0), DS=1/2mpLDt este tocmai aria suprafetei masurate de raza vectoare in intervalul de timp Dt. Deoarece L=constant, pentru orice interval de timp Dt putem scrie

DS = 1 mpLDt
2

Se vede imediat din ultima relatie ca in unitatea de timp, indiferent de pozitia instantanee a planetei pe traiectorie, raza vectoare a acesteia descrie o suprafata de aceeasi marime, DS/Dt=L/2mp
Prin urmare, in intervale de timp egale, raza vectoare a planetei descrie arii egale; am obtinut deci si a doua lege a lui Kepler.
Deoarece demonstratia legii a treia a lui Kepler este mai dificila din punct de vedere matematic, vom simplifica lucrurile, presupunand ca traiectoria planetei este circulara ( aceasta situatie corespunde satelitilor artificiali care se misca pe orbite circulare ). Egaland forta de atractie cu forta centripeta obtinem
Msmp
K =mpw2R
R2 unde am avut in vedere ca distanta de la planete la Soare este egala cu raza R a cercului. Rezulta de aici relatiile:

4p2 4p2
KMs=w2R3= , deci T2=
T2R3 KMsR3
Notand costanta 4p2/KMs cu C, obtinem a treia lege a lui Kepler

T2=CR3,

deoarece, in miscarea circulara, distanta de la un punct oarecare de pe circumferinta pana la centru este egala cu raza cercului. Cercul poate fi considerat ca un caz particular de elipsa cu semiaxele egale intre ele si egale cu raza R a cercului.

Daca tinem seama de dimensiunile Soarelui si planetelor, toata expunerea de mai sus ramane valabila, prin r intelegand insa vectorul ce uneste centrul Soarelui cu centrul planetei.
Dupa cum se remarca , directia fortei de atractie trece intotdeauna prin centrul Soarelui. O astfel de forta, a carei directie trece printr-un punct fix, se numeste forta centrala.
Pe linga atractia Soarelui, planeta noastra este supusa si atractiei din partea celorlalte planete din sistemul solar. Dintre toate acestea, cea mai importanta este insa forta de atractie FL din partea Lunii, care totusi de 127 de ori mai mica decat atractia solara ,mai exact
FL = 1 = 0,0058
FS 127,415

Fortele de atractie Fs a Soarelui si FL a Lunii sunt dirijate respectiv dupa directiile ce unesc centrul Pamantului cu centrele celor doua corpuri ceresti, situate la distantele D si, respectiv, d.
Forta totala care actioneaza asupra pamantului este
MS mp m1 mp
F = Fs + FL =K D +K d
D3 d3 deci, in miscarea sa de revolutie, Pamantul are acceleratia a = F = K Ms D + K mL d mr D3 d3

Conform principiului al treilea al mecanicii, Pamantul actioneaza asupra Soarelui cu o forta (-Fs ) si asupra Lunii cu o forta (-FL ) .Aceste forte care au punctele de aplicatie in centrul Soarelui, si, respectiv in centrul Lunii, se comporta ca niste forte centrifuge.
Newton a generalizat relatiile, considerand ca intre orice pereche de corpuri din univers se manifesta o forta de atractie de forma

F = K m1m2 r212

unde m1 si m2 sunt masele celor doua corpuri, iar r12 este distanta ce separa centrele lor. Constanta K se numeste constanta atractiei universale, fiind aceeasi pentru toate perechiile de corpuri care se atrag.
Considerand doua corpuri care de mase egale cu unitatea, situate la o distanta r12, egala cu unitatea, obtinem : F=K. Constanta K este numeric egala cu forta de atractie dintre doua mase unitate, ce se gasesc la distanta egala cu unitatea una fata de cealalta. In sistemul SI valoarea sa masurata este K = 6,66 10-11 Nm2 /kg.
L

d FL
P

Datorita valorii mici a lui K, forta de atractie dinre doua corpuri de pe suprafata Pamantului este mica, determinarea ei experimentala este dificila. Atractia Pamantului este insa importanta, datorita masei mari a acestuia. Forta cu care Pamantul atrage un corp determina in principal greutatea acelui corp. Pentru un corp de masa m, situat la suprafata Pamantului, neglijand efectele de rotatie diurne a Pamantului se poate scrie egalitatea

mg0 = K mMr
R2

deci acceleratia gravitatiei g0 , la suprafata Pamantului, este g0 = K Mr
R2

Masurand pe g 0 , si stiind ca raza R a Pamantului este cam de 6400 km, putem obtine masa Mp a planetei noastre,

= goR2 = 6. 1024 kg.
K

Cand corpul de masa m se gaseste la altitudinea h de suprafata Pamantului, distanta de la corp la centrul Pamnantului este R+h, relatia devine

mgh = K mMr
(R+h)2

unde g 0 reprezinta acceleratia gravitatiei la altitudinea h.
Se obtine gh = K Mp KMp R2 = g0 R2
(R+h)2 R2 (R+h)2 (R+h)2

Relatia de mai dus ne arata ca acceleratia gravitatiei scade cu altitudinea. aceasta inseamna ca greutatea unui corp nu este de fapt constanta, asa cum eram obisnuiti sa o consideram, ci variaza cu altitudinea. Totusi, pentru corpuri care cad pe Pamant de la o inaltime h, mult mai mica decat raza Pamantului R, putem considera pe gh constant in tot timpul caderii. Intr-adevar, termenul 1/1+h /R @ 1- h/R, pentru h/R << 1, deci

12 @ (1-h/R)2 @ 1- 2 h
(1+ h/R)2 R

unde am neglijat din nou termenul in h2/R2. Introducand ultima relatie obtinem

gh = g 0 (1-2h/R).

Folosind ultima formula, sa calculam acceleratia gravitatiei la inaltimea h=1 km, avind in vedere ca R @ 6400 km:

g h = 1km = g0 (1-2/6400) = g 0 (1-1/3200).

Daca neglijam pe 1/3200 fata de 1, nu facem o eroare prea mare, astfel ca putem considera ca gh = 1 km @ g0 si deci acceleratia gravitatiei, ca si greutatea, sunt practic constante in tot cursul caderii corpului de la altitudinea de 1 km. Daca h < R, insa de acelasi ordin de marime, nu mai pot fi neglijati termenii continand puteri superioare ale lui h/R, nu mai este valabila dezvoltarea.
Daca in fiecare punct dintr-o anumita regiune a spatiului se exercita o forta, spunem ca in acea regiune exista un camp de forte. Astfel forta de atractie a Pamantului se exercita in fiecare punct in jurul sau. Spunem atunci ca Pamantul creeaza un camp de forte gravitationale sau, mai pe scurt, un camp gravitational sau gravific.
Dupa cum am vazut, toate corpurile din Univers exercita forte de atractie asupra celorlalte corpuri. Din acest motiv trebuie sa consideram ca fiecare corp da nastere unui camp gravific intr-o anumita regiune a spatiului. Putem spune ca masa fiacarui corp exprima nu numai proprietatile sale inertiale, dar si proprietatile sale gravifice.

Asupra unui corp de masa m ce se gaseste in punctul M actioneaza forta gravifica :

M

Mpm
F = -K r M r3

Dupa cum se observa din figura, vectorul r este dirijat de la C la M. Marimea acestei forte nu depinde numai de masa mp a Pamantului ce creeaza campul gravific, ci si de marimea a masei corpului ce se gaseste in camp. Vrem sa introducem o marime care sa caracterizeze doar proprietatile campului gravific al Pamantului, fara sa depinda de caracteristicile corpurilor ce se afla in acest camp. O astfel de marime ne-ar permite sa comparam inte ele diferite campuri gravifice. Pentru aceasta consideram actiunea diverselor campuri asupra aceleiasi mase, luata drept masa etalon. Cu cat forta care actioneaza asupra masei etalon este mai mare, cu atat campul respectiv este mai intens. Conventional s-a luat drept masa etalon unitatea de masa, adica m=1kg in SI. Marimea
G = F = - K Mp r m r3

se numeste intensitatea campului grafic al masei mp ; cu cat modulul acestui vector este mai mare, cu atat actiunea campului asupra unei mase este mai puternica.
Din definitia data se vede ca T are aceeasi expresie ca si acceleratia gravitatiei g, semnificatia sa fizica fiind alta : vectorul G ne da forta cu care campul actioneaza asupra unitatii de masa.
In figura anterioara este reprezentata intensitatea campului gravitational al Pamantului, care are acelasi modul in punctele egal departate de centrul pamantului, adica de suprafata unei sfere cu centrul in C. Din acest motiv se spune ca G are simetrie sferica.

· Proprietati ale atractiei universale
Legea atractiei universale a fost formulata -si este riguros valabila- pentru puncte materiale. Soarele, planetele, Luna, nu sunt puncte materiale, ci corpuri cu dimensiuni finite. Dar legea atractiei se poate aplica si in acest caz, deoarece Newton a aratat ca:
-Doua corpuri sferice omogene (cu densitatea r=const.), se atrag ca si cum masele lor ar fi concentrate in centrele lor (adica, se atrag ca doua puncte materiale).
-Doua corpuri sferice cu distributie sferica a densitatii (r=r(r)), se atrag ca si cum masele lor ar fi concentrate in centrele lor.
In prima aproximatie, corpurile ceresti se pot considera sferice si cu distributie sferica a densitatii. Acest fapt, precum si faptul ca distantele corpurilor ceresti sunt (in general) mult mai mari decat dimensiunile lor, permit ca, in prima aproximatie, sa se aplice legea atractiei universale sub forma

F = G m1m2 r2

Abaterile de la forma sferica si de la distributia sferica a densitatii, vor produce anumite perturbatii in miscarea studiata cu forta. F.
Legea atractiei universale, a lui Newton, este una din cele mai importante legi ale naturii. Atractia are cateva proprietati remarcabile, si anume:
· Atractia actioneaza intre toate corpurile Universului, oricat de indepartate ar fi ele (dupa cunostintele actuale).
· Fortele de atractie depind de asezarea reciproca a corpurilor. Daca asezarea se schimba, se schimba si fortele.
· Fortele de atractie nu depind de compozitia chimica, starea fizica sau de diferitele proprietati ale corpurilor, ci numai de masele lor.
· Atractia este o forta pentru care nu exista nici o bariera (nu poate fi ecranata, slabita etc.).
Demonstrarea acestor afirmatii se face in cursurile de Mecanica teoretica pe baza notiunii de potential newtonian.
Natura gravitatiei, esenta ei fizica, nu este pana in prezent lamurita. Conform teoriei relativitatii generale a lui Einstein (numita si teoria gravitatiei) - atractia (gravitatia) este o manifestare a proprietatilor spatio- temporale ale lumii materiale. Ea este o proprietate primara a materiei, proprietate care sta la baza tuturor miscarilor si, dupa esenta ei, este identica cu inertia.

Lucrare de laborator

1. Scop: deducerea acceleratiei gravitationale.
2. Consideratii teoretice:
Acceleratia gravitationala (notata cu g) reprezinta acceleratia impusa de Pamant asupra corpurilor situate in apropierea acestuia. Acceleratia gravitationala nu este o constanta, ci variaza in latitudine si altitudine. In aceasta lucrare se va masura valoarea acceleratiei gravitationale la paralela de 45°.
Scotand pendulul din echilibru si punandu-l in miscare circulara (sa oscileze), astfel ca amplitudinea unghiului de oscilatie a sa sa nu depaseasca 5°, putem determina acceleratia gravitationala (g). Se va folosi un unghi mai mic de 5° deoarece cosinusul acestui unghi tinde spre 1. g se va determina din: , unde T -; perioada de oscilatie ( , unde t -; timpul de oscilatie si n -; numarul de oscilatii), l -; lungimea firului si alfa unghiul de oscilatie.
3. Materiale necesare si dispozitive:
- Fir lung fixat la capatul unui suport, corp de dimensiuni mici care atarna la capatul firului, stativ, rigla, cronometru.
4. Mod de lucru:
Se masoara lungimea firului. Pendulul este scos din starea de repaus si pus intr-o miscare circulara (se pune in miscare circulara prin aplicarea unei viteze tangente la un cerc). Din acest moment este pornit cronometrul si se masoara timpul la un numar de oscilatii n.
Pe parcurs (dupa cateva masuratori) se modifica lungimea firului, raza traiectoriei (care este un cerc) sau se va masura pentru un alt numar de oscilatii.
Experimentul se efectueaza de mai multe ori si datele experimentale sunt puse intr-un tabel.
5. Datele experimentale si prelucrarea lor:
Tabelul cu valori pentru perioada de rotatie si : si (R -; raza cercului de traiectorie).
Nr.crt. l (m) n (nr.de oscilatii) t(s) R (m) T(s)
1 0,39 25 30 0,05 1,20 0,99
2 0,39 25 31 0,05 1,24 0,99
3 0,39 30 36,5 0,06 1,22 0,99
4 0,35 25 30,5 0,05 1,22 0,99
5 0,35 30 36 0,06 1,20 0,99
6 0,35 20 24 0,04 1,20 0,99
7 0,285 20 21,5 0,04 1,08 0,99
8 0,285 25 27,5 0,05 1,10 0,98
9 0,285 30 36,5 0,05 1,22 0,98
Tabel pentru calcularea acceleratiei gravitationale (notat cu g):
Nr.crt. T(s) l (m) g ( )
1 1,20 0,99 0,39 10,57 9,69 0,89 0,41
2 1,24 0,99 0,39 9,90 0,21
3 1,22 0,99 0,39 10,23 0,54
4 1,22 0,99 0,35 9,18 0,51
5 1,20 0,99 0,35 9,49 0,20
6 1,20 0,99 0,35 9,49 0,20
7 1,08 0,99 0,285 9,54 0,15
8 1,10 0,98 0,285 9,10 0,59
9 1,22 0,98 0,285 7,40 2,29

Am exclus ultima valoare deoarece este prea diferita fata de celelalte (prea mica).

6. Concluzii:
Acceleratia gravitationala este constanta. S-a obtinut o valoare in jur de 9,69.
Timpul de efectuare a unui cerc complet de catre pendul este acelasi in cadrul unei masuratori (raza cercului scade si viteza scade).
7. Surse de erori:
- Experimentatorul nu este prea priceput;
- Privire neperpendiculara pe diviziune (la rigla);
- Firul poate avea proprietati elastice (se deformeaza);
- Nu s-au eliminat valorile extreme;
- Rigla, cronometru neetalonat corect.