3.1 Principiul superpozitiei curentilor

Enuntul problemei

Pentru circuitul din fig. 3-1 sa se determine curentii in toate portiunile de circuit si tensiunile intre nodurile A, B si C pentru urmatoarele date: R1 = R3 = 2 O; R2 = 1,6 O; E1 = 3,6 V; E2 = 4,8 V; r01 = r02 = 0,5 O.

I1 A IBA R2 B I2

+ + i5j13jj
E1 R1 R3 E2 r01 - IAC IBC - r02

K C M

Fig. 3-1. Circuit complex continand doua surse de energie.

Rezolvarea problemei.

1. Aplicarea principiului superpozitiei curentilor pentru curentul din fig. 3-1. Circuitele ramificate formate din mai multe surse de energie, amplasata in ramuri diferite, ca in fig. 3-1, se numesc circuite complexe. Pentru calcularea unui astfel de circuit complex exista mai multe metode, dintre care una, principiul superpozitiei, se va examina in acest paragraf, celelalte metode constituind subiectul paragrafelor urmatoare.
Conform principiului superpozitiei, numit cateodata si principiul suprapunerii efectelor, curentul intr-o latura oarecare a circuitului poate fi considerat ca suma algebrica a curentilor produsi in acea latura de fiecare sursa in parte. Curentii produsi de fiecare sursa se numesc curenti partiali. Prima data se determina curentii partiali, pentru problema de aici ai sursei E1 in absenta sursei E2, adica se calculeaza circuitul simplu din fig. 3-2, dupa care se determina curentii partiali produsi de sursa E2 neluand in considerare sursa E1, adica se calculeaza circuitul simplu din fig. 3-3, dupa care se aduna algebric curentii partiali din cele doua cazuri.
Astfel, principiul superpozitiei permite inlocuirea calcului unui circuit continand mai multe surse de energie prin calculul mai multor circuite formate numai dintr-o singura sursa de energie.

I’1 A I’AB R2 B I’2

+
E1 R1 R3 r02 r01 - I’AC I’BC

I’1 I’2

K C M

Fig. 3-2. Eliminarea sursei E2 din circuitul complex din fig. 3-1.

I”1 A I”BA R2 B I”2

R1 R3 + E2 r01
I”AC I”BC r02

I”1 I”2

K C M

Fig. 3-3. Eliminarea sursei E1 din circuitul complex din fig. 3-1.
2. Notarea curentilor partiali. Toti curentii partiali produsi de sursa E1 (fig. 3-2) se noteaza cu litera I urmata de indicele prim (I`) si toti curentii partiali produsi de sursa E2 prin indicele secund (I”) (fig. 3-3).
3. Calculul curentilor partiali. Pentru circuitul format numai din sursa E1 (fig. 3-2) se calculeaza, mai intai rezistenta echivalenta.

Astfel rezistenta portiunii BC:

R3 ? r02 2 ? 0,5
R’BC = ------- = ------ = 0,4 O
R3 + r02 2 + 0,5

Rezistenta portiunii BC este conectata in serie cu rezistenta R2, deci:

R’ABC = R2 + R’BC = 1,6 + 0,4 = 2 O

Se obtin astfel doua rezistente identice R’ABC si R1 conectate in paralel, din care cauza rezistenta echivalenta a circuitului exterior sursei E1 este:

R1 R’ABC 2
R’AC = ---- = ----- = --- = 1 O
2 2 2

Curentul de la sursa E1 este:

E1 3,6
I’1 = -------- = ---- = 2,4 A
R01 + R’AC 1,5

Curentul partial I’1 se imparte in nodul A in doi curenti identici:

I’1 2,4
I’AB = I’AC = ----- = ---- = 1,2 A
2 2

In nodul B curentul I’AB se divizeaza in curentii I’2 si I’BC:

R3 2
I’2 = I’AB ? ------- = 1,2 ? ------ = 0,96 A; r02 + R3 0,5 + 2
I’BC = I’AB -; I’2 = 1,2 -; 0,96 = 0,24 A

Pentru circuitul al doilea, care contine numai sursa E2, (fig. 3-3), se obtine:

R1 ? r01 2 ? 0,5
R”AC = ------- = ------ = 0,4 O ;
R1 + r01 2 + 0,5

R”BA = R2 + R”AC = 1,6 + 0,4 = 2 O ;

R”BAC 2
R”BC = ------ = --- = 1 O, pentru ca R3 = R”BAC.
2 2

In latura de circuit care contine sursa E2, circuitul partial este:

E2 4,8
I”2 = -------- = ---- = 3,2 A.
R”BC + r02 1,5

Din cauza ca R”BAC = R3 = 2 rezulta ca:

I”2 3,2
I”BA = I”BC = ----- = --- = 1,6 A.
2 2

Curentii prin portiunile de circuit conectate in paralel cuprinse intre nodul AC sunt:

R1 2
I”1 = I”BA ? ------- = 1,6 ? ------ = 1,28 A ; r01 + R1 2,5

I”AB = I”BA -; I”1 = 1,6 -; 1,28 = 0,32 A

4. Calculul curentilor pentru circuitul complex din fig. 3-1. Curentii prin laturile de circuit se obtin prin insumarea algebrica a curentilor partiali din latura respectiva.
Pentru latura CKA, curentul partial I’1(fig. 3-2) este orientat de la nodul C inspre nodul A si curentul partial I”1 (fig. 3-3) dinspre nodul A catre nodul C, adica in sens opus cu primul curent partial. Curentul total prin latura CKA fiind:

I1 = I’1 -; I” 1 = 2,4 -; 1,28 = 1,12 A

Sensul curentului I1 (fig. 3-1) coincide cu sensul celui mai mare curent partial, in cazul de aici cu sensul curentului I’1.
La fel se determina si curentii IBA si I2:

IBA = I”BA -; I’AB = 1,6 -; 1,2 = 0,4 A ;

I2 = I” 2 -; I’2 = 3,2 -; 0,96 = 2,24 A.

Directia curentilor IBA si I2 (fig. 3-1) coincide cu directia curentilor I” BA respectiv I” 2.
Pentru latura AC, cei doi curenti partiali I’AC si I” AC au acelasi sens, deci:

IAC = I’AC + I” AC = 1,2 + 0,32 = 1,52 A.

La fel si pentru latura BC:

IBC = I’BC + I” BC = 0,24 + 1,6 = 1,84 A.

5. Calculul tensiunilor. Tensiunile intre noduri sunt:

UBA = IBA ? R2 = 0,4 ? 1,6 = 0,64 V;
UAC = IAC ? R1 = 1,52 ? 2 = 3,04 V;
UBC = IBC ? R3 = 1,84 ? 2 = 3,68 V.

6. Verificarea rezultatelor obtinute. Verificare se face utilizand teoremele lui Kirchhoff:

Pentru nodul A:

IAC = I1 + IBA

In adevar:

1,52 = 1,12 + 0,4.

Pentru nodul B:

I2 = IBA + IBC

In adevar:

2,24 = 0,4 + 1,84

Pentru conturul din circuitul ABC:

UAC -; UCB + UBA = 0

In adevar:

3,04 -; 3,68 + 0,64 = 0

conturul stabilindu-se in sens antiorar.

Discutii suplimentare.

1. Cum se aplica principiul superpozitiei, pentru calcularea circuitelor complexe care contin mai mult de doua surse de energie? Daca un circuit complex are, de exemplu, trei surse de energie E1, E2 si E3, amplasate in ramuri diferite, trebuie sa se stabileasca trei scheme pentru calcularea curentilor partiali: o schima care contine numai sursa E1, a doua care contine numai sursa E2 si a treia cu E3. Dupa determinarea curentilor partiali in fiecare din cele trei scheme se efectueaza in mod corespunzator adunarea lor algebrica si se obtin curentii pentru circuitul dat.
2. Care sunt avantajele folosirii principiului superpozitiei? Dificultatea cea mai mare, in aplicarea principiului superpozitiei il constituie calcularea curentilor partiali. Din aceasta cauza, acest principiu este folosit pentru un numar mic de surse de energie, doua, cateodata trei. Acest principiu se recomanda a fi utilizat pentru determinarea curentilor in laturile de circuit in care sunt dispuse sursele de energie.
3. In ce caz calcularea curentilor cu ajutorul principiului superpozitiei poate sa introduca erori mari la determinarea rezultatelor? In cazul in care curentul total printr-o latura se exprima prin diferenta a doua valori apropiate, o aproximare, chiar cu eroare mica a curentilor partiali poate sa provoace o eroare relativ mare a rezultatului, care este curentul laturii. In acest caz aplicarea principiului superpozitiei este dezavantajoasa.

3-2. METODA ECUATIILOR LUI KIRCHHOFF

Enuntul problemei.

Fie circuitul din fig. 3-4, in care E1 = 60 V; E2 = 48 V; E3 = 6 V; R1 = 200 O; R2 = 160 O; R3 =10 O.
Sa se determine curentii prin toate laturile de curent:

D I1 A G

I2 I3

R1 R2 R3

E1 E2 E3

C B F

Fig. 3-4. Circuit complex cu trei laturi.

Rezolvarea problemei.

1. Principiul metodei. Aceasta metoda se bazeaza pe aplicarea primei si celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff, care nu necesita transfigurarea schemei si este aplicabila pentru orice circuit, fapt care constituie principalul ei avantaj.
Cate ecuatii trebuiesc scrise pentru rezolvarea circuitului? Este evident ca numarul de ecuatii trebuie sa fie egal cu numarul de necunoscute, in cazul acestei probleme, cu numarul curentilor. Rezolvarea problemei trebuie, deci, sa inceapa cu determinarea numarului de curenti necunoscuti.
2. Determinarea numarului de curenti necunoscuti si alegerea sensului acestor curenti. In fiecare portiune de circuit neramificat (latura) curentul are aceeasi valoare de la inceputul si pana la sfarsitul ei. Pentru circuitul examinat (fig. 3-4) in nodurile A si B sunt conectate trei portiuni de circuit (laturi): BCDA prin care curentul este I1, BA cu curentul I2 si BFGA avand curentul I3.
Astfel, numarul de curenti diferiti este egal cu numarul laturilor circuitului electric.
Cum se aleg sensurile curentilor? Se stie ca pentru un circuit complex este imposibil de determinat sensurile tuturor curentilor, fara a se calcula, in prealabil, circuitul. Se incepe, deci, prin alegerea, in mod arbitrar, a sensurilor curentilor (a sensurilor pozitive ale curentilor); dupa aceea pentru sensurile alese se stabilesc ecuatiile. Dupa rezolvarea acestor ecuatii se gasesc sensurile efective ale curentilor dupa sensul lor algebric, astfel: curentii a caror sensuri efective sunt opuse sensurilor alese initial sunt exprimate prin numere negative.
Astfel, pentru prezentul caz, se poate sustine inca inainte de calcularea circuitului ca nu toate sensurile alese (notate prin sageti in fig. 3-4) coincid cu sensurile reale (efective) pentru ca este evident faptul ca toti curentii nu pot fi dirijati spre nodul A.
In concluzie, curentii din ecuatiile lui Kirchhoff sunt marimi algebrice a caror semne depind de sensul curentilor.
3. Stabilirea ecuatiilor dupa teoremele lui Kirchhoff. Pentru problema de aici exista trei curenti necunoscuti I1, I2 si I3, iar pentru determinarea lor este necesar sa se stabileasca trei ecuatii.
Se incepe prin aplicarea primei teoreme a lui Kirchhoff. Pentru un circuit care are n noduri se pot stabili un numar (n-1) de ecuatii independente; pentru un nod oarecare al circuitului nu mai este necesara scrierea ecuatiei pentru ca aceasta rezulta din ecuatiile precedente.
Circuitul din fig. 3-4 are doua noduri A si B. Scriind, deci, o singura ecuatie, cu prima teorema a lui Kirchhoff, de exemplu, pentru nodul A, avem:

I1 + I2 + I3 = 0 (3-1)

Celelalte doua ecuatii cautate se scriu dupa teorema a doua a lui Kirchhoff, de exemplu, pentru ochiurile de circuit BAGFB si CDGFC, (pentru ca ecuatiile sa fie independente, fiecare ochi trebuie sa contina fata de ochiul precedent o latura de circuit in plus).

Parcurgand fiecare ochi in sens orar si tinand seama de regula semnelor (v. discutia suplimentara 3 din paragraful 2-1) se obtine:

R2? I2 -; R3? I3 = E2 -; E3 (3-2)
R1? I1 -; R3? I3 = E1 -; E3 (3-3)

4. Calculul curentilor. Inlocuind in ecuatiile (3-2) si (3-3) valorile rezistentelor si valorile t.e.m. se obtine:
100 ? I2 -; 10 ? I3 = 48 -; 6

sau
100 ? I2 -; 10 ? I3 = 42 (3-4)
200 ? I1 -; 10 ? I3 = 54 (3-5)

Astfel, calculul curentilor se reduce la rezolvarea unui sistem de trei ecuatii (3-1), (3-4) si (3-5) cu trei necunoscute. Scotand curentul I2 din ecuatia (3-1) si introducand valoarea sa in ecuatia (3-4):

- 100 ? (I1 + I3) -; 10 ? I3 = 42

reducand termenii asemenea se obtine:

- 100 ? I1 -; 110 ? I3 = 42 (3-6)

S-au obtinut, astfel, doua ecuatii (3-5) si (3-6) cu doua necunoscute I1 si I3.
Inmultind ecuatia (3-6) cu 2 si adunand rezultatul, termen cu termen cu ecuatia (3-5) se obtine:

- 10 ? I3 -; 220 ? I3 = 138,

de unde rezulta curentul

138
I3 = - ----- = - 0,6 A.
230

Inlocuind valoarea curentului I3 in ecuatia (3-6) se obtine ca:

- 100 ? I1 -; 100 ? (- 0,6) = 42

de unde:
42 -; 66
I1 = ----- = 0,24 A
-100

Curentul I2 se determina din ecuatia (3-1)

I2 = - I1 -; I3 = - 0,24 + 0,6 = 0,36 A

Curentii I1 si I2 au valori pozitive si I3 valoare negativa, in consecinta, sensul primilor doi curenti a fost ales in mod corespunzator, in timp ce curentul I3 nu. Sensul real (efectiv) al curentului I3 este reprezentat printr-o sageata punctata in fig. 3-4. Suma curentilor I1 + I2 = 0,24 + 0,36 = 0,6 A este curentul I3 si care are sensul real din nodul A inspre nodul B pa latura AGFB.

Discutii suplimentare.

1. Cate contururi contin circuitele reprezentate in fig. 3-4 si 3-1? Circuitul din fig. 3-4 are trei contururi: DABCD, DGFCD si AGFBA. Pentru stabilirea a doua ecuatii cu cea de a doua teorema a lui Kirchhoff este necesar si suficient sa se aleaga doua contururi. Pentru simplificarea calculelor se recomanda sa se aleaga contururi care formeaza ochiuri independente, in cazul de aici DABCD si AGFBA. Numarul de ochiuri este intotdeauna egal cu numarul ecuatiilor independente care se pot scrie cu cea de a doua teorema a lui Kirchhoff.
Pentru calcularea circuitului din fig. 3-1 prin intermediul teoremelor lui Kirchhoff, trebuie sa se stabileasca cinci ecuatii independente (circuitul avand 5 laturi de circuit). Circuitul are trei noduri A, B si C, si drept urmare cu prima teorema a lui Kirchhoff se pot stabili doua ecuatii independente. Celelalte trei ecuatii care lipsesc (pana la cinci) se scriu cu ajutorul celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff.
Pentru circuitul din fig. 3-1 se pot distinge 6 contururi : ACKA, ABCKA, ABMKA, ABCA, ABMCA si BMCB, dar se obtin ecuatii independente numai pentru trei contururi, de exemplu, ACKA, ABCA si BMCB si care contine fiecare o latura in plus.
Astfel, un circuit electric ramificat contine mai multe contururi pentru care se pot stabili ecuatii.
2. Cum decurg calculele daca valorile ecuatiilor sunt cunoscute si se cere determinarea celorlalti parametri ai circuitului? Este evident ca prin rezolvarea celor trei ecuatii independente (3-1), (3-2) si (3-3) scrise pentru circuitul din fig. 3-4 se determina fiecare din cele 3 marimi necunoscute. De exemplu, atunci cand se cunosc curentii si rezistentele se poate determina t.e.m. E1, E2 si E3 sau cand se dau curentii si t.e.m. se pot afla rezistentele.
Astfel, rezolvarea unui circuit dupa metoda ecuatiilor lui Kirchhoff poate fi efectuata pentru orice marime. Numarul marimilor necunoscute nu trebuie sa depaseasca numarul ecuatiilor independente care se pot stabili cu ajutorul celor doua teoreme a lui Kirchhoff.
3. Pentru parcurgerea contururilor trebuie sa se aleaga intotdeauna acelasi sens? Pentru scrierea ecuatiilor (3-2) si (3-3) s-a ales acelasi sens de parcurgere a contururilor si anume sensul orar. Luand, de exemplu, pentru conturul AGFBA din fig. 3-4 sensul de parcurgere opus se obtine:

R3 ? I3 -; R2 ? I2 = E3 -; E2 (3-7)

Comparand ecuatiile (3-2) si (3-7) se observa ca ele sunt identice, trecerea de la una la alta facandu-se prin inmultirea ambilor membrii ai ecuatiei cu -;1.
In consecinta, alegerea sensului de parcurgere a conturului poate fi facuta in mod arbritar.
4. Prezinta avantaj rezolvarea problemei a carei circuit este dat in fig. 3-1 prin metoda ecuatiilor lui Kirchhoff? Circuitul electric din fig. 3-1 are cinci curenti necunoscuti pentru aflarea carora trebuiesc stabilite cinci ecuatii, doua dupa prima teorema a lui Kirchhoff si trei dupa a doua teorema a lui Kirchhoff.
Rezolvarea unui sistem de cinci ecuatii nu este asa simpla ca rezolvarea a doua ecuatii simple, ca atunci cand curentii se determina cu ajutorul principiului superpozitiei.

3-3 METODA CURENTILOR CICLICI (OCHIURILOR INDEPENDENTE)

Enuntul problemei.

Pentru circuitul din fig. 3-5, care s-a calculat in paragraful precedent prin metoda ecuatiilor lui Kirchhoff, sa se determine toti curentii pentru aceleasi date prin metoda curentilor ciclici.

D A G

I1 I2 I3

R1 R2 R3

E1 E2 E3

C B F

Fig. 3-5. Curentii de contur ai unui circuit cu trei laturi.

Rezolvarea problemei.

1. Curentii de contur (ciclici) si legatura lor cu curentii laturilor. Metoda curentilor ciclici se bazeaza pe utilizarea numai celei de a doua teoreme a lui Kirchhoff, ceea ce permite micsorarea numarului de curenti de rezolvat.
Pentru aceasta, se imparte schema in ochiuri (contururi independente) si se introduce pentru fiecare ochi (contur) curentul sau de contur, marime care, necunoscuta fiind, trebuie calculata.
Astfel, pentru circuitul dat, fig. 3-5, se pot realiza doua ochiuri, DABCD SI AGFBA si prin aceste contururi trec curentii ciclici I11 si I22.
Din schema se observa ca pentru laturile exterioare, DC si GF curentii de contur coincid cu curentii prin laturi, adica I1 = I11 si I3 = I22. Pentru latura din mijloc, portiunea de circuit AB din fig. 3-5, curentul I2 al laturii este determinat de diferenta curentilor ciclici, adica I2 = I22 -; I11, tinandu-se seama ca pentru problema de aici, curentul I2 este dirijat in acelasi sens cu curentul I22 si are sens opus curentului I11. In consecinta, pentru problema data, doi curenti de contur permit calcularea curentilor din trei laturi de circuit.
2. Determinarea rezistentelor proprii si comune a contururilor. Suma tuturor rezistentelor unui contur se numeste rezistenta proprie a conturului, astfel, pentru conturul DABCD (fig. 3-5) rezistenta proprie este:

R11 = R1 + R2 = 200 + 100 = 300 O.

si pentru conturul AGFBA:

R22 = R2 + R3 = 100 + 10 = 110 O.

Rezistenta unei laturi comune pentru doua contururi, ca latura AB din fig. 3-5 se numeste rezistenta comuna. Ea se noteaza cu R12 pentru primul contur si pentru al doilea contur cu R21. Observand ca R12 si R21 reprezinta rezistenta aceleasi laturi de circuit, este evident ca R12 = R21. Pentru cazul de aici R12 = R21 = R2 = 100 O.
3. Stabilirea ecuatiilor de contur si calculul curentilor. Scrierea ecuatiilor de contur se face dupa a doua teorema a lui Kirchhoff, pentru conturul BCDAB:

R1 ? I11 -; R2 ? (I22 -; I11) = E1 -; E2

sau grupand termeni care contin curentii I11 si I22 se obtine:

(R1 + R2) ? I11 -; R2 ? I22 = E1 -; E2.

In mod analog se stabileste si ecuatia pentru conturul AGFBA:

R22 ? I22 -; R21 ? I11 = E2 -; E3.

Inlocuind valorile rezistentelor si a t.e.m. se obtine:

300 ? I11 -; 100 ? I2 = 60 -; 48 = 12 ;

110 ? I22 -; 100 ? I11 = 48 -; 6 = 42.

Astfel, calculul curentilor de contur I11 si I22 se reduce la rezolvarea unui sistem de doua ecuatii.
Inmultind cea de a doua ecuatie cu 3 si adunand-o, membru cu membru cu prima ecuatie se obtine:

300 ? I11 -; 100 ? I22 + 330 ? I22 -; 300 ? I11 = 12 + 126

de unde, dupa reducerea termenilor asemenea:

230 ? I22 = 138

sau:

I22 = 138/230 = 0,6 A.

Inlocuind aceasta valoare in prima ecuatie de contur se obtine curentul I11:

I11= (12 + 100 ? I22) ? 300 = (12+ 100*0,6) ? 300 = 0,24 A.

Folosind legatura stabilita mai inainte (punctul 1) intre curentii ciclici si curentii reali se obtin valorile curentilor prin laturile de circuit:

I1 = I11 = 0,24 A
I3 = I22 = 0,6 A
I2 = I22 -; I11 = 0,6 -; 0,24 = 0,36 A.

Discutii suplimentare.

1. Cum se modifica ecuatiile contururilor daca se alege sens opus pentru curentul I22 din fig. 3-5? In cazul in care curentul I22 este orientat in sens antiorar, ecuatiile de contururi se scriu sub forma:

R11 ? I11 + R12 ? I22 = E1 -; E2

R22 ? I22 + R21 ? I11 = E3 -; E2.

Din compararea ecuatiilor obtinute acum cu cele folosite in rezolvarea problemei se poate trage urmatoarea concluzie referitoare la semnul caderii de tensiune pe rezistenta comuna a contururilor: sensul este pozitiv atunci cand curentii ciclici, prin rezistenta comuna, au acelasi sens si semn negativ cand curentii ciclici au sensuri contrare.

2. In care cazuri este avantajos de a aplica metoda curentilor ciclici? Avantajul acestei metode fata de metoda ecuatiilor lui Kirchhoff apare atunci cand circuitul contine un numar mare de ochiuri.
Astfel, pentru calcularea curentilor circuitului ce contine un montaj in punte, din fig. 2-10, format din sase laturi si trei ochiuri, trebuiesc stabilite dupa metoda ecuatiilor lui Kirchhoff sase ecuatii si numai trei ecuatii prin metoda curentilor ciclici, fapt ce rezulta si din fig. 3-6.

R1 R2

E

r0 R3

R4 R5

Fig. 3-6. Curentii de contur (ciclici) pentru un montaj in punte.

Este evident ca pentru calcularea montajului in punte dupa metoda curentilor ciclici, prin rezolvarea sistemului de ecuatii stabilit, este necesar un timp mai scurt decat atunci cand se aplica metoda de transfigurare din problema paragrafului 2-4.

3-4. METODA CELOR DOUA NODURI.

Enuntul problemei

Doua generatoare conectate in paralel, fig. 3-7, cu t.e.m. E1 = E2 = 230 V si de rezistente interne r1 = 0,5 O si r2 = 0,4 O alimenteaza un receptor a carui rezistenta echivalenta R = 10 O.
Sa se determine toti curentii, puterile generatoarelor, pierderile de puteri pe rezistentele interne precum si puterea receptorului R.

I1 A I3

I2
+ +
E1 E2 R

r1 r2
-; -;

B

Fig. 3-7. Functionarea in paralel a doua generatoare.

Rezolvarea problemei.

1. Aplicarea metodei celor doua noduri. Spre deosebire de metoda curentilor ciclici, care se poate aplica pentru rezolvarea oricarui circuit, metoda celor doua noduri nu poate fi aplicata decat pentru calculul circuitelor care au numai doua noduri, fiind indiferent numarul de laturi.
In practica se intalnesc des circuite numai cu doua noduri si aceasta metoda simplifica, in mod considerabil, calculele.
Pentru calcul se foloseste formula urmatoare, care determina tensiunea intre cele doua noduri:

?EG
U0 = --- ?G

unde:
- ?EG este suma algebrica a produselor t.e.m. prin conductanta corespunzatoare,
- ?G este suma conductantelor laturilor.

Atunci, prin circuitul considerat, fig. 3-7,

E1 ? G1 + E2 ? G2
U0 = UAB = ------------- ?
G1 + G2 + G3

In cazul de aici termenul E3 ? G3 lipseste, pentru ca, in latura a treia nu exista t.e.m. Daca, de exemplu, t.e.m. E2 ar avea sens opus, atunci inaintea termenului E2 ? G2 trebuia sa se puna semnul minus.
2. Calculul tensiunii dintre noduri. Mai intai se determina conductanta fiecarei ramuri:

1 1
G1 = ----- = ----- = 2 S; r1 0,5

1 1
G2 = ----- = ----- = 2,5 S; r2 0,4

1 1
G = ----- = ----- = 0,1 S.
R 10

Astfel, tensiunea dintre cele doua noduri este:

E1 ? G1 + E2 ? G2 230 ? 2 + 230 ? 2,5
UAB = ---------- = ------------ = 225 V.
G1 + G2 + G3 2 + 2,5 + 0,1

3. Alegerea sensurilor pozitive pentru curenti. Circuitul considerat (fig. 3-7) este format din trei laturi de circuit prin care trec curentii corespunzatori I1, I2 si I3, curenti a caror sensuri, inaintea calcului circuitului sunt necunoscute, circuitul fiind complex; va trebui, deci, sa se aleaga sensurile pozitive in mod arbitrar, ca in fig. 3-7, reprezentati prin sageti.
4. Calculul curentilor. Sensurile curentilor, adoptate in fig. 3-7, coincid cu sensul t.e.m. In acest caz tensiunea dintre noduri sau tensiunea la capetele laturii, este egala cu diferenta dintre t.e.m. a sursei si caderea de tensiune pe rezistenta ramurii, adica:

UAB = E1 -; I1 ? r1 = E2 -; I2 ? r2

de unde:

E1 -; UAB
I1 = ------- = (E1 -; UAB) ? G1 = (230 -; 225) ? 2 = 10 A. r1

E2 -; UAB
I2 = ------- = (E2 -; UAB) ? G2 = (230 -; 225) ? 2 =12,5 A. r2

Dupa legea lui Ohm, curentul I este:

UAB
I = ----- = UAB ? G = 225 ? 0,1 = 22,5 A.
R

5. Calculul puterilor. Puterile debitate de surse sunt:

P1 = E1 ? I1 = 230 ? 10 = 2,3 Kw ;
P2 = E2 ? I2 = 230 ? 12,5 = 2,875 kW.

Pierderile de putere pe rezistentele interne sunt:

P01 = r1 ? I12 = 0,5 ? 102 = 50 W = 0,05 kW ;

P02 = r2 ? I22 = 0,4 ? 12,52 = 62,5 W = 0,0625 kW.

Puterea consumatorului este:

P = R ? I2 = 10 ? 22,52 = 5,0625 kW.

Stabilirea bilantului puterilor:

P01 + P02 + P = 0,05 + 0,0625 + 5,0625 = 5,175 kW ;

P1 + P2 = 2,3 + 2,875 = 5,175 kW.

Astfel:

P01 + P02 + P = P1 + P2

Ceea ce era de asteptat, in cazul in care calculele au fost corect efectuate.

Discutii suplimentare.

1. Cu ce precizie trebuie calculata tensiunea dintre noduri? In majoritatea problemelor practica, caz intalnit si in problema rezolvata, tensiunea dintre noduri difera putin fata de t.e.m. Din aceasta cauza, considerand pentru problema de aici, in determinarea tensiunii UAB o eroare de numai 1 %, adica, luand U’AB = 227,25 V in loc de 225 V se va obtine pentru curentul I1 = 10 A valoarea I’1 = (E1 -; U’AB) = (230 -;227,25) ? 2 = 5,5 A, adica pentru curent eroarea este de 45%.
Acest exemplu demonstreaza ca tensiunea intre noduri trebuie sa fie calculata cu o precizie mai mare cu cel putin de doua ordine decat precizia cu care se calculeaza curentii. Metoda celor doua noduri nu poate fi, deci, aplicata la calcularea circuitelor cu tensiunea dintre noduri foarte apropiate de tensiunea surselor de alimentare.
2. Care sunt parametrii surselor care determina repartitia curentilor in laturile circuitului? Pentru asigurarea functionarii in paralel a mai multor generatoare trebuie cunoscuta repartitia curentului (a sarcinii) intre aceste generatoare.
Astfel, pentru E1 = E2 se obtine urmatorul raport intre generatoare:

I1 (E1 -; UAB) ? G1 G1 r2
----- = ---------- = ---- = ----- ,
I2 (E2 -; UAB) ? G2 G2 r1

adica, in cazul in care t.e.m., ale generatoarelor conectate in paralel sunt egale, raportul curentilor este invers proportional cu raportul rezistentelor interioare ale generatoarelor.
3. In ce caz una din sursele conectate in paralel functioneaza in regim de receptor? Conectand in paralel cu un generator oarecare, o baterie de acumulatoare in calitate de sursa de alimentare de rezerva (in cazul defectarii generatorului) se obtine ceea ce se numeste o conectare “in tampon” a acumulatoarelor. Acest tip de conexiune este folosit pentru alimentarea receptorilor care din cauza restrictiilor tehnologice nu suporta o deconectare chiar de scurta durata, a sursei. Presupunand ca, in cazul problemei de aici, prima sursa este un generator si a doua o baterie de acumulatoare conectata in tampon. Este evident ca in conditii normale receptorul trebuie a fi alimentat numai de la generator, in timp ce bateria trebuie sa functioneze fie in gol, fie in regim de sarcina, ceea ce se poate asigura atunci cand t.e.m. a generatorului depaseste t.e.m. a bateriei de acumulatoare.
De exemplu, pentru E1 = 245 V si E2 = 230 V tensiunea dintre noduri, din relatia (3-8) este:

E1 ? G1 + E2 ? G2 245 ? 2 + 230 ? 2,5
UAB = ---------- = ------------- = 232 V ;
G1 + G2 + G3 4,6

iar, curentul prin bateria de acumulatoare:

I2 = (E2 -; UAB) ? G2 = (230 -; 232) ? 2,5 = -5A ,

adica, sensul curentului I2 este opus sensului t.e.m. E1 si bateria de acumulatoare functioneaza in regim de receptor (consumator).
Atunci cand generatorul este debransat, acumulatorul devenind singura sursa de alimentare din circuit intra in functionare in regim de generator si alimenteaza astfel receptorul.

3-5. METODA GENRATORULUI ECHIVALENT DE TENSIUNE. REGIMUL CU SARCINA VARIABILA.

Enuntul problemei.

Fie circuitul din fig. 3-7 cu t.e.m. E1 = 232 V si E2 = 22 V, avand rezistente interne egale r1 = r2 = 0,4 O. Rezistenta R a sarcinii generatorului variaza intre (0 ÷ 1) O.
Sa se determine relatia dintre curentul, puterea sarcinii si randamentul generatorului in functie de rezistenta R.

A A1

+ + R
E1 E2

r1 r2
-; -;
UAB

C B B1

Fig. 3-8. Impartirea circuitului in parti interioare si exterioare.

Rezolvarea problemei.

1. Aplicarea metodei generatorului echivalent de tensiune. Aceasta metoda se recomanda pentru determinarea marimilor electrice (curenti tensiuni, puteri, etc.) pentru o latura a unui circuit complex. Avantajele metodei generatorului echivalent de tensiune, fata de celelalte metode, ies in evidenta atunci cand rezistenta laturii analizate este variabila (sarcina variabila), ca in problema de aici.

2. Stabilirea schemei echivalente. Circuitul examinat poate fi impartit fata de cele doua noduri, A si B, in doua parti (Fig. 3-8): ramura de studiat cu rezistenta R pe care o denumim sectorul exterior al schemei si restul circuitului care a mai ramas, denumit sectorul interior al schemei.
Cele doua parti, interna si externa, ale schemei din fig. 3-8 sunt conectate intre ele prin liniile punctate AA1 si BB1, fiecare linie apartinand unui nod.
Dupa teorema lui Thévenin tot sectorul interior al schemei poate fi inlocuit printr-o singura sursa de alimentare cu t.e.m. Ee si rezistenta Re (fig. 3-9, latura ACB).

A

Ee I

R

Re

C B

Fig. 3-9. Transformarea circuitului intr-o sursa echivalenta de tensiune.

Dupa o asemenea substitutie in circuitul din fig. 3-7 este transfigurat intr-un circuit simplu, neramificat, ca in fig. 3-9, a carui calcul nu prezinta dificultati.
Astfel, rezolvarea problemei trebuie sa inceapa prin determinarea parametrilor echivalenti, Ee si Re, ai sectorului interior al schemei.
3. Calculul parametrilor sursei echivalente de tensiune. Dupa teorema lui Thévenin t.e.m. a sursei echivalente de tensiune Ee este egala cu tensiunea la bornele sectorului interior al circuitului atunci cand sectorul exterior este deconectat (regim de functionare in gol), tensiune notata cu UABO. In cazul nostru aceasta inseamna ca t.e.m. echivalenta Ee este egala cu tensiunea intre punctele A si B a schemei din fig. 3-8 pentru regimul de mers in gol Ee = UABO = E1 -; r1 ? I’, I’ fiind curentul prin conturul ABCA din fig. 3-8. Se observa ca, atunci cand rezistorul R este deconectat (eliminat din circuit), curentul I’ se determina ca in paragraful 1-2:

E1 -; E2 232 -; 228 4
I’ = ----- = ------- = --- = 5 A . r1 + r2 0,8 0,8

Astfel incat rezulta:

Ee = E1 -; r1 · I’ = 232 -; 0,4 · 5 = 230 V.

Aceasta tensiune Ee = UABO actioneaza in circuitul exterior din punctul A inspre punctul B, ca in fig. 3-9.
Se calculeaza, apoi, rezistenta interna a sursei echivalente Re. Pentru aceasta se elimina toate t.e.m. din sectorul interior al schemei, (in cazul de aici E1 si E2) si se determina rezistenta echivalenta a schemei pentru regimul de mers in gol fata de bornele care delimiteaza partile circuitului, in cazul de aici A si B, din fig. 3-8.

r1 · r2 r1 r2 0,4
RABO = ------ = --- = ---- = ---- = 0,2 O . r1 + r2 2 2 2

Rezistenta echivalenta astfel obtinuta pentru sectorul interior al schemei reprezinta parametrul Re cautat al sursei echivalente de tensiune, adica Re = RABO = 0,2 O.
4. Determinarea relatiei intre curent si rezistenta I = f(R). Curentul in schema echivalenta, fig. 3-9 este:

Ee Ee 1 230 1 1,15 · 103
I = ----- = --- · ------ = --- · ------ = ----- Re + R Re 1 + R/Re 0,2 1 + R/Re 1 + R/Re

Cu ajutorul acestei relatii se calculeaza curentii pentru diferite valori ale raportului R/Re sau R (tabelul 3-1), de unde rezulta ca: micsorarea curentului urmeaza o variatie hiperbolica atunci cand R creste.

Tabelul 3-1

R/Re 0 0,5 1 2 3 5
R aOi 0 0,1 0,2 0,4 0,6 1
I aAi 1150 766 575 383 287,5 191,5

5. Determinarea relatiei dintre putere si sarcina? Cu datele curentului I si a rezistentei R din tabelul 3-1 se calculeaza puterea sarcinii P = R · I2 si rezultatele obtinute se trec in tabelul 3-2 pe baza carora se traseaza diagrama puterii P fata de raportul dintre rezistenta circuitului exterior si rezistenta interna a sursei.

Tabelul 3-2

R/Re 0 0,5 1 2 3 5
P akWi 0 58,7 66,12 58,7 49,5 36,7

Se observa, din graficul din fig. 3-10, ca regimul de maxima putere in circuitul exterior se obtine atunci cand R = Re (aceasta afirmatie se va demonstra in discutia suplimentara 3).

6. Determinarea randamentului

P I2 · R R 1
? = --- = -------- = ----- = ------- Ps I2 · (R + Re) R + Re 1 + Re/R

Pentru regiuni caracteristice randamentul este:

- pentru R = 0

0
? = ----- = 0
0+Re

- pentru R = Re
Re
? = ------ = 0,5 sau ? = 50 %
Re + Re

- pentru R = 8

1
? = ----- = 1 sau ? = 100%
Re
1 + - 8

In concluzie, randamentul creste cu marirea raportului R/Re si atinge valoarea maxima (100%) din punct de vedere teoretic in regimul de mers in gol.

Discutii suplimentare.

1. De ce teorema lui Thévenin mai este denumita si teorema bipolului activ? In timpul rezolvarii problemei referitoare la circuitul complex dat in fig. 3-8 s-a impartit circuitul in parte interioara si parte exterioara. Partea interioara reprezinta un circuit activ cu doua borne de acces cu exteriorul, notate cu A si B in fig. 3-8, ceea ce reprezinta un bipol activ.
Parametrii sursei echivalente de tensiune Ee si Re sunt determinate de schema si parametrii bipolului activ dat. Din aceasta cauza teorema lui Thévenin se mai numeste si teorema bipolului activ.
2. Din ce cauza metoda generatorului echivalent de tensiune mai este numita, cateodata si metoda mersului in gol si scurtcircuit? Daca se masoara tensiunea intre punctele A si B (fig. 3-8) atunci cand rezistenta R este deconectata, adica atunci cand generatorul echivalent functioneaza in regim de mers in gol se obtine tocmai tensiunea echivalenta, adica Ee = UABO. Daca intre punctele A si B se inseriaza un ampermetru de rezistenta mica, adica generatorul de tensiune echivalent functioneaza in regim de scurtcircuit, curentul masurat este curentul de scurtcircuit, Isc si egal (din fig. 3-9, pentru R=0) cu

Ee
Isc = -- Re

De unde rezulta rezistenta echivalenta

Ee
Re = -- Isc

Inlocuind Ee = UABO se obtine

UABO
Re = ---- Isc

In concluzie, efectuand masurari la mers in gol si scurtcircuit, se poate determina, experimental, parametrii generatorului echivalent.
3. Cu se poate determina analitic conditia obtinerii unei puteri maxime in circuitul exterior? Expresia puterii functie de rezistenta circuitului exterior este:

E R
P (R) = I2 · R = ( ----- )2 · R = E2 · ------- R + Re (R + Re)2

De unde se obtine succesiv:

R 1
P(R) = E2 · ------------ = E2 · ------------ =
R2 + 2·R·Re + Re2 R + 2·Re + (Re2/R)

1
= E2 · ------------ (ÖR + Re/ÖRe)2

Pentru ca t.e.m. E este constanta, ca si Re, inseamna ca puterea va fi maxima atunci cand numitorul expresiei puterii va fi minim. Numitorul este minim atunci cand termenii sunt egali, proprietate valabila pentru suma a doua numere a caror produs este constant.

Deci:
Re
ÖR = --- ÖR

de unde:
R = Re .

4. In ce cazuri se alege pentru circuitul din fig. 3-9 un regim de putere maxim si cand se alege un regim de randament maxim? Pentru circuitele de putere mica, cazul aparatelor electronice speciale) unde nu conteaza pierderea unei anumita energii, se alege R = (1 ÷ 3)·Re, asigurandu-se astfel un regim apropiat de puterea maxima disipata de rezistenta receptorului R, randamentul fiind cuprins intre (50 ÷ 75)%.
Pentru circuitele de putere medie sau mare nu se poate admite un randament atat de mic care determina importante pierderi de energie. In aceste cazuri se aleg rezistente exterioare cuprinse in intervalul R = (10 ÷ 20)·Re, asigurandu-se astfel un randament ridicat, peste 95%, cu toate ca puterea debitata este de mai multe ori mai mica decat puterea maxima posibila.

P akWi
? %

100

0 1 2 3 4 5 R/Re

Fig. 3-10. Graficul variatiei puterii si randamentului in functie de raportul rezistentei circuitului exterior R ca si rezistentei circuitului intern a sursei Re.

3-6. PROBLEME PROPUSE PENTRU REZOLVARE.

43. Sa se determine curentii prin toate laturile de circuit din figura 3-11, daca E1 = E2 = 120 V; r1 = 0,5 O, r2 = 0,4 O, R1 = 10 O, R2 = 14,5 O, R3 = 12,4 O si R4 = 83,3 O. Se sa rezolve problema prin doua metode a superpozitiei si a celor doua noduri.

R2 A

+ +
E1 E2 R4 r1 r2
- -

R1 R3

B

Fig. 3-11. Pentru problema 43.

44. Sa se determine pentru circuitul din fig. 3-12, cu ajutorul principiului superpozitiei toti curentii daca E1 = 45 V, E2 = 60V, R1 = 60 O, R2 = 100 O, R3 = 150 O, R4 = 20 O. Rezistentele interne ale surselor se neglijeaza.

R1 A R4

E2

R2 R3 . r2

E1

r1 B