Dintre contemporanii lui Descartes, nici unul nu a aratat un geniu natural
mai bine decat Pascal. Reputatia lui in matematica consta
mai mult in ceea ce ar fi putut face decat in ceea ce a facut
efectiv, deoarece o lunga perioada din viata a considerat
ca datoria lui este de a se concentra asupra exercitiilor religioase. z2c22cb
Blaise Pascal s-a nascut pe 19 iunie 1623 in Clermont si a murit
la Paris in 19 august 1662. Tatal lui, un judecator din
Clermont, avand la randul sau un anumit renume in stiinta,
s-a mutat in Paris in 1631, pentru a-si continua propriile studii
pe o parte, si pentru a-si educa unicul sau fiu care dovedise deja abilitati
exceptionale. Micul Blaise a fost tinut acasa pentru nu se obosi prea
mult si din acelasi motiv educatia lui a fost mai intai restransa
la invatarea limbilor straine, neincluzand evident
matematica. Acest program a simulat curiozitatea baiatului si, intr-o
zi, la doisprezece ani, a intrebat ce este geometria. Invatatorul
lui i-a raspuns ca este stiinta construirii figurilor exacte si
a determinarii proportiilor dintre diferite parti ale lor. In curand
Pascal se apuca de studiat geometria, sacrificandu-si timpul de
joaca si in ciuda restrictiilor care ii erau impuse, si in
cateva saptamani descopera singur multe proprietati
ale figurilor. Cea mai importanta este aceea privitoare la suma unghiurilor
unui triunghi care este egala cu doua unghiuri drepte, respectiv
180 de grade. Se pare ca dovada consta simplu in impaturarea
unghiurilor peste figura astfel incat varfurile lor
sa se intalneasca in centrul cercului inscris
in triunghi. O demonstratie similara se poate obtine prin impaturarea
unghiurilor astfel incat ele sa se intalneasca
pe piciorul perpendicularei duse din varful unghiului cel mai mare pe
latura opusa. Impresionat de aceasta demonstratie inteligenta,
tatal sau i-a dat o copie a cartii Elementele de Euclid,
pe care Pascal o citeste cu interes pana cand o invata.
La varsta de paisprezece ani este admis la intalnirile saptamanale
tinute de Roberval, Mersenne, Mydorge si de alti matematicieni francezi. In
final din aceste sedinte se naste Academia Franceza. La varsta
de saisprezece ani Pascal scrie un eseu despre conice, iar la optsprezece ani
construieste prima masina aritmetica, un calculator rudimentar,
pe care o va imbunatatii peste opt ani. Scrisorile lui catre Fermat
arata ca aproximativ in aceasta perioada se
concentra asupra geometriei analitice si fizicii. A repetat si experimentele
lui Toricelli.
In 1650 la mijlocul carierei lui stiintifice, Pascal si-a abandonat brusc
idealurile lui in favoarea religiei, asa cum zice in Pensées,
"contempleaza maretia si misterul omului".
In 1653 a trebuit sa administreze mosia tatalui sau.
Acum a adoptat iarasi vechile lui ocupatii si a facut cateva
experimente asupra presiunii exercitate de lichide si gaze. In aceeasi
perioada a inventat triunghiul aritmetic, si impreuna cu
Fermat a creat calculul probabilitatilor.
Medita asupra casatoriei cand un accident l-a determinat
iarasi sa se concentreze asupra religiei. S-a mutat la Port Royal
unde a trait pana in 1662.
Singura lucrare matematica care o mai scrie o a fost un eseu despre cicloida
in 1685. Suferea de insomnie si de o durere de dinti cand i-a venit
idea si spre surprinderea lui suferinta i-a trecut. Privind aceasta ca un semn
divin a continuat problema, lucrand fara oprire opt zile,
si a terminat o lucrare relativ completa despre geometria cicloidei.
Prima lucrare asupra geometriei conicilor, scrisa in 1639, a fost
publicata doar in 1779. Conica este o curba plana rezultata
din intersectia unui con circular cu un plan. Se pare ca a fost scrisa
sub indrumarea lui Desargues. Doua rezultate sunt deopotriva
importante si interesante. Primul este o teorema cunoscuta sub
numele de Teorema lui Pascal :
Daca un hexagon poate fi inscris intr-o conica atunci
punctele de intersectie ale laturilor opuse vor fi colinieare (pe aceiasi dreapta).
A doua care i se datoreaza in mare parte lui Desargues spune urmatoarele:
Daca un patrulater poate fi inscris intr-o conica
si ducem o dreapta care intersecteaza laturile in A, B ,C
respectiv D, si conica in P si Q atunci:
Pascal si-a imbunatatit triunghiul aritmetic in 1653,
dar nu exista nici o consemnare a metodei lui pana in
1665. Triunghiul este o figura simpla (ca cele doua si
se poate continua la infinit). Fiecare linie este formata din numere
egale cu suma numerelor din stanga pozitiei de pe linia precedenta.
De exemplu 20=1+3+6+10. Daca asezam triunghiul altfel (ca in
dreapta) este mai usor sa vedem ca un numar este egal cu
suma celor doua numere de deasupra lui, respectiv suma dintre numarul
din stanga si cel de deasupra in prima figura. varful
triunghiului fiind 1. Cele doua reguli sunt echivalente.
Numerele unei linii se numesc numere figurate. Primele se numesc numere de
ordinul intai, cele din a doua linie numere de ordinul doi, cele
din a treia linie numere de ordinul trei s.a.m.d. Se poate usor demonstra ca
a m-lea numar de pe al n-lea rand este:
Triunghiul se obtine, in cazul primei figuri, trasand o diagonala
in jos din coltul dreapta sus. Numarul pe fiecare diagonala
dau coeficientii binomiali al unei dezvoltari, sunt coeficientii binomiali
ai binomului lui Newton. De exemplu a cincia diagonala 1, 4, 6, 4, 1
sunt coeficientii binomiali ai dezvoltarii (a+b)4 . Pascal a folosit
triunghiul pe de-o parte pentru diferite calcule proprii si pe de alta
parte pentru a calcula combinari de m luate cate n pentru cate
a gasit formula corecta:
Probabil ca matematician Pascal este cel mai bine cunoscut pentru corespondenta
lui cu Fermat din 1657 in care a stabilit principiile probabilitatii.
Totul a pornit de la o problema propusa lui Pascal de un jucator
numit Chavalier de Méré (Cavalerul Marii). La randul sau
acesta i-a transmis-o lui Fermat. Problema era urmatoarea: Doi jucatori
de valori egale vreau sa plece de la masa inainte de a termina
o partida. Daca se cunoaste scorul (in puncte) si numarul de punctelor
pana la care vroiau sa joace (adica numarul
turelor daca o tura castigata inseamna un punct)
se cere sa se afle in ce proportie trebuie sa imparta
miza. Fermat si Pascal au dat acelasi raspuns dar demonstrati diferite.
Urmatoarea este demonstratia celui din urma:
Aceasta este metoda mea de a determina partea fiecarui jucator
cand, de exemplu, doi jucatori joaca pe trei ture si fiecare au
pus 32 de galbeni.
Sa zicem ca primul jucator a castigat doua
puncte, iar al doilea unul. Acum trebuie sa joace ultima tura
pentru un punct. Daca primul jucator ar castiga ar lua toata
miza adica 64 de galbeni, in timp ce daca al doilea ar castiga
fiecare ar avea doua puncte si ar trebui impartita miza, adica
32 de galbeni la fiecare. Asadar daca primul jucator ar castiga
64 de galbeni i-ar apartine, daca nu ar lua 32 de galbeni. Atunci daca
cei doi jucatori doresc sa se opreasca aici primul ar zice: "Am
asigurat un castig de 32 de galbeni chiar daca pierd tura urmatoare,
cat despre ceilalti 32 poate ii voi castiga eu poate tu, sansele
sunt egale. Haide sa impartim cei 32 de galbeni ramasi
egal iar eu voi lua si pe cei 32 care imi sunt asigurati." Primul
jucator va avea 48 de galbeni iar al doilea 16.
Mai departe sa zicem ca primul jucator a obtinut doua
puncte iar al doilea nici unul si sunt pe cale sa mai joace o tura pentru
un punct. Daca primul jucator castiga acest punct va castiga
si jocul si va lua 64 de galbeni, iar daca al doilea castiga
atunci jucatorii vor fi in situatia analizata anterior.
Dar, daca nu mai doresc sa joace, primul jucator ar zice:
"Daca mai obtin un punct castig 64 de galbeni, daca
pierd tot primesc 48 (ca inainte). Da-mi 48 de galbeni pe care
ii am sigur si restul de 16 ii impartim in doua
egal cum sansele sunt egale." Asadar primul jucator ia 56 de galbeni
iar al doilea 8.
Si in sfarsit primul jucator are un punct si al doilea nici
unul. Daca mai joaca pentru un punct si primul jucator
ar castiga s-ar afla in situatia anterioara in care
el are dreptul la 56 de galbeni, iar daca al doilea ar castiga
fiecare ar avea un punct si castigul ar fi impartit. Dar
daca nu ar mai dori sa continue primul ar zice: "Da-mi 32
de galbeni pe care ii iau sigur, si imparte restul din 56 respectiv
24 (deoarece am deja 32) in doua." Atunci primul va avea 32+12=44
de galbeni si in consecinta, al doilea va avea 20 de galbeni.
Pascal continua rezolvand probleme asemanatoare cand
jocul este castigat de cine obtine m+n puncte. Raspunsul este dat
de triunghiul sau aritmetic. Solutia problemei generalizate in care valoarea
jucatorilor este diferita poate fi gasita in
majoritatea cartilor de algebra si este in concordanta
cu raspunsul lui Pascal, desi notatiile pot fi diferite.
Pascal a folosit aceasta noua teorie in al noualea
capitol al cartii sale Pensées. El spune urmatoarele: Daca
valoarea fericirii eterne este infinita chiar daca probabilitatea
ca o viata religioasa sa asigure fericirea eterna
este mica, totusi speranta perspectiva, masurata
prin produsul celor doua, trebuie sa fie destul de mare pentru
a merita sa fi religios. Daca se poate trage vreo concluzie din afirmatia
aceasta este neclaritatea obtinuta cand se aplica formule
matematice intrebarilor morale ale caror date nu sunt de obicei
in sfera stiintelor exacte, de aceea afirmatia nu a fost apreciata
pozitiv.
Ultima lucrare matematica a lui a fost Cicloida. in 1658. Cicloida este
linia curba trasata de un punct de pe circumferinta unui cerc
care se roteste fara alunecare pe o dreapta. In 1630
Galileo a atras atentia asupra acestei forme de altfel gratioase, si sugerase
ca arcele podurilor sa fie construite astfel. Patru ani mai tarziu
Roberval a aflat aria determinata de cicloida. Descartes nu a
apreciat aceasta solutie si l-a provocat la aflarea tangentelor, aceeasi
provocare i-a fost trimisa lui Fermat care a rezolvat-o numaidecat.
Cateva intrebari au fost puse de alti matematicieni. Acestea
se refereau la curba si la suprafata si volumul determinate de cicloida
la rotirea in jurul axei, bazei si tangentei. Acestea la un loc cu aflarea
pozitiei centrului de greutate al corpurilor solide formate au fost rezolvate
de Pascal in 1658. Rezultatele au fost emise ca intrebari
spre rezolvare. Wallis reuseste sa raspunda la toate cu
exceptia celor legate de centrul de greutate. Solutiile lui Pascal (afectate
de metoda indivizibilitatii) seamana cu rezolvarea pe care ar da-o un
matematician din zilele noastre cu ajutorul calculului cu integrale. El a obtinut
(prin insumare) echivalentul integralelor lui sin?, sin2? si ?·sin?,
o limita fiind 0 sau ½p. De asemenea a investigat geometria spiralei
lui Arhimede. Aceste studii, potrivit lui D'Alembert, formeaza o legatura
intre geometria lui Arhimede si calcului infinitezimal a lui Newton.