Introducere

Teoria jocurilor este o ramura relativ noua a microeconomiei dezvoltata in ultimii 60 de ani. Ea a aparut odata cu publicarea lucrarii “The Theory of Games and Economic Behaviour” de catre John von Neumann si Oskar Morgenstern in 1944. Acestia au definit jocul ca “orice interactiune intre diversi agenti, guvernata de un set de reguli specifice care stabilesc mut a rile posibile ale

”. Aceasta descriere se poate

aplica aproape oricarui fenomen social. Astfel incat se astepta de la aceasta stiinta rezolvarea tuturor situatiilor in care oamenii realizeaza ca rezultatul actiunilor lor depinde nu numai de acestea, dar si de actiunile celorlalti participanti la acea interactiune. fiecarui participant si castigurile pentru fiecare combinatie de muta ri

De la comportamentul in trafic pana la decizii de productie si de la razboiul preturilor la decizia de a avea copii, totul parea ca va fi analizat stiintific cu ajutorul teoriei jocurilor. Desi nu a satisfacut toate aceste asteptari, teoria jocurilor si-a gasit numeroase aplicatii in domeniuls tiintelor sociale, inclusiv, sau, poate, mai ales in domeniul economiei.

Teoria jocurilor utilizeaza trei ipoteze fundamentale: juca torii se comport a rational; fiecare

stie ca ceilalti sunt rationali; toti juca torii cunosc regulile jocului.

Pentru a intelege un joc oarecare este necesara mai intai cunoasterea regulilor acestuia,

deoarece astfel se poate afla care actiuni sunt permise (posibile) la un anumit moment. Apoi este necesar a se cunoaste cum aleg jucatorii o actiune din multimea actiunilor posibile.

Problema alegerii actiunilor de catre jucatori este legata de primele doua ipoteze amintite anterior.

Jucatorul care are un comportament rational are anumite preferinte asupra “lucrurilor”: el prefera mierea - zaharului, muzica clasica - jazz-ului, etc.; acest jucator este rational deoarece el va alege acea actiune care ii va satisface cel mai bine preferintele sale. Se poate spune, in consecinta, ca jucatorul rational are o anumita ierarhie a preferintelor, astfel incat este posibila exprimarea acestora cu ajutorul unor functii de utilitate.

Se poate observa ca ipotezele cu care opereaza teoria jocurilor sunt aceleasi cu care se lucreaza in economie si in alte domenii.

Definitia 1. Jocul cu n jucatori este o succesiune de decizii si evenimente aleatoare, simultane sau nu, care respecta o anumita structura a castigului, data de anumite reguli de functionare (regulile jocului).

Evenimentul aleator presupune o distributie de probabilitate asupra unui camp de evenimente.

Regulile jocului vor indica modul in care se iau deciziile de catre jucatori si ordinea acestora.

Un jucator este rational daca va cauta sa-si maximizeze satisfactia in raport cu deciziile proprii, dar tinand cont de deciziile celorlalti jucatori.

Definitia 2. Vom numi strategie a unui jucator, o actiune realizabila (posibila), pe care jucatorul o poate alege in cadrul jocului. Multimea strategiilor jocului este data de multimea strategiilor tuturor jucatorilor.

Vom nota multimea strategiilor jocului astfel:

Curs 1: Elemente ale teoriei jocurilor

S = S₁ x S₂ x ... x S_n,

unde n este numarul de jucatori.

In unele situatii, natura (hazardul) este al (n + 1) - lea jucator.

Definitia 3. Numim functie de castig a jocului functia u = (u₁, u₂, ...u_n), formata din functiile

de castig ale fiecarui jucator. Notand functia de castig a fiecarui jucator u_i si functiile de castig ale celorlalti jucatori u_-i, functia de castig a jocului va fi: u : S → R, u = (u_i, u_-i).

Definitia 4. Numim strategie optimala acea strategie care maximizeaza castigul jucatorului i, indiferent de strategiile alese de ceilalti jucatori.

Echilibrul Nash (care a preluat numele creatorului sau, John Nash) este o multime de strategii (s₁*, s₂*, ..., s_n*) care respecta conditia:

u_i (s₁*, s₂*,...,s_i*, ..., s_n*) = u_i (s₁*, s₂*,...,s_i, ..., s_n*) " i = 1, n

sau

u_i (s_i*, s_-i*) = u_i (s_i, s_-i*), " i = 1, n

In continuare vom aminti o clasificare a jocurilor in raport cu diverse criterii:

a. in raport cu modul in care comunica jucatori intre ei avem - jocuri cooperative;

- jocuri necooperative.

Jocurile cooperative sunt acele jocuri in care jucatorii comunica liber intre ei inainte de luarea deciziilor si pot face promisiuni (care vor fi respectate) inainte de alegerea strategiilor.

Jocurile necooperative sunt jocurile in care jucatorii nu comunica intre ei inainte de luarea deciziilor.

b. in raport cu desfasurarea in timp a jocurilor - jocuri statice

- jocuri dinamice

Jocul static este acel joc in care deciziile jucatorilor se iau simultan, dupa care jocul ia

sfarsit.

Jocul dinamic este acel joc in care deciziile jucatorilor sunt secventiale, adica evolueaza in

timp.

c. in raport cu natura informatiei - jocuri in informatie completa

- jocuri in informatie incompleta

Jocul in informatie completa este acel joc in care toti jucatori cunosc numarul celorlalti jucatori, strategiile fiecaruia, functiile de castig ale fiecaruia, precum si regulile jocului.

Jocul in informatie incompleta este jocul in care cel putin unul dintre jucatori nu cunoaste

una sau mai multe functii de castig ale celorlalti jucatori, restul elementelor (numarul celorlalti jucatori, strategiile fiecaruia si regulile jocului) fiind cunoscute.

d. in cazul jocurilor dinamice, in raport cu tipul informatiei

Curs 1: Elemente ale teoriei jocurilor

- jocuri in informatie perfecta - jocuri in informatie imperfecta

Jocul dinamic in informatie perfecta este jocul dinamic in care fiecare dintre jucatori

cunoaste regulile, numarul jucatorilor, strategiile acestora, precum si evolutia in timp a jocului (istoria jocului).

Jocul dinamic in informatie imperfecta este jocul dinamic in care macar unul dintre jucatori nu cunoaste istoria jocului, cunoscand celelalte elemente.

e. in raport cu structura castigurilor - jocuri de suma nula

- jocuri de suma nenula

Jocul de suma nula este acel joc in care suma castigurilor este zero .

Jocul de suma nenula este jocul in care suma castigurilor este diferita de zero.

f. in raport cu numarul de jucatori - jocuri cu doi jucatori - jocuri multipersoana

- jocuri contra naturii.

Exista patru clase de jocuri care vor fi analizate in primele patru capitole ale cursului: jocuri statice in informatie completa, jocuri dinamice in informatie completa, jocuri statice in informatie incompleta si jocuri dinamice in informatie incompleta. Corespunzator celor patru clase de jocuri, exista patru tipuri de echilibre in jocuri: echilibrul Nash, echilibrul perfect in subjoc, echilibrul Bayesian, echilibrul Bayesian perfect.

 

Jocuri statice in informatie completa

Jocuri sub forma normala

Un joc sub forma normala (sau strategica) este definit prin trei elemente: multimea

jucatorilor i e P, cu P =A1,2,..IS o multime finita, spatiul strategiilor pure S_i pentru fiecare jucator i si functiile de castig ( sau de plata) u . i

Vom nota acest joc cu G = A S 1 ,..., S I ; u 1 ,... u I S .

Vom numi strategie pura ∈pentru jucatorul i actiunea realizabila care poate fi aleasa de jucatorul i din spatiul strategiilor pure S si care ii va aduce castigul u s i S i

i _i(s).

Vom nota cu s × ∈ , S i s = ( s 1 , s 2 ..., s I ) vectorul actiunilor realizabile alese la un moment dat

de catre jucatori (uzual, vom mai nota s = ( ) s i , s - i , cu s - i = ( s 1 ,..., s i - 1 , s i + 1 ,..., s I ) fiind actiunile

(strategiile) alese de catre jucatorii care joaca impotriva jucatorului i ).

Functiile de castig u_i(s) sunt definite ca functii de utilitate de tip von Neumann – Morgenstern pentru fiecare profil al strategiilor realizabile s = () s 1 ,..., s I , adica in functie de

strategiile alese de catre toti jucatorii.

Curs 1: Elemente ale teoriei jocurilor

De exemplu, la nivelul unui agent economic aceasta functie de utilitate poate fi nivelul profitului, nivelul incasarilor sau nivelul costului. Pentru analistii politici, aceste castiguri pot fi numarul de voturi castigate sau alegerea unei platforme electorale.

O categorie speciala de jocuri o constituie jocurile de suma nula. In cazul acestor jocuri,

I

suma castigurilor este zero, ∑ u_i ( s ) = 0 , ∈ × ∀ , adica pierderea unor jucatori reprezinta s S i

i = 1

castigul celorlalti. Cum aceste jocuri reprezinta doar un caz particular, este mai interesanta analiza jocurilor in general, indiferent de suma utilitatilor (a castigurilor).

Faptul ca jocul se desfasoara in informatie completa presupune ca jucatorii stiu care sunt strategiile realizabile ale tuturor, precum si care sunt functiile de castig ale fiecaruia, in functie de strategiile alese.Vom numi acestea „ cunostinta comuna”.

Exemplul 1. Dilema prizonierului

Sa consideram exemplul clasic al „dilemei prizonierului”. Aceasta presupune ca doi suspecti sunt arestati, fiind invinuiti de comiterea unei crime. Ei sunt anchetati in camere separate, si fiecare are la dispozitie doua variante de raspuns: fie sa pastreze tacerea, adica sa nege ca ar fi comis crima, fie sa il acuze pe celalalt prizonier. Daca suspectii se acuza reciproc, atunci ei vor primi ca pedeapsa cate 7 ani de inchisoare. Daca ambii neaga, atunci pedeapsa va fi de 1 an inchisoare pentru fiecare, iar daca unul neaga, iar celalalt acuza, atunci cel care acuza va fi eliberat , iar cel care neaga va fi pedepsit cu 10 ani de inchisoare.

In aceasta descriere a jocului avem toate elementele necesare pentru un joc sub forma normala (strategica). Multimea jucatorilor este finita, i ∈ A 1 , 2 S , multimea strategiilor pentru fiecare

jucator este aceeasi, S = A A , N S ( cu A = Acuza, N = Neaga), iar functiile de castig vor fi:

u 1 ( ) 7 A , A = - ; u 1 ( ) 0 A , N = ; u 1 ( ) 10 N , A = - ; u 1 ( ) 1 N , N = - ;

u 2 ( ) 7 A , A = - ; u 2 ( ) 10 A , N = - ; u 2 ( ) 0 N , A = ; u 2 ( ) 1 N , N = - .

Acest joc in forma normala poate fi reprezentat si sub forma matriceala.

Matricea jocului va contine toate elementele necesare descrierii unui joc in forma normala, adica jucatorii, strategiile disponibile si functiile de castig .

In cazul nostru avem:

Prizonier2

A N

A -7,-7 0,-10

Prizonier1

N -10,0 -1,-1

Figura 1

Liniile si coloanele matricii indica strategiile realizabile ale jucatorilor (strategiile pure), iar celulele matricii vor contine castigurile fiecarui jucator, in functie de strategiile alese, cu primul numar indicand castigul jucatorului1, iar al doilea pe cel al jucatorului 2.

Vom defini o strategie mixta a jucatorului i o distributie de probabilitate pasupra multimii strategiilor realizabile (pure). Daca vom nota cu P spatiul strategiilor mixte, el va fi produsul cartezian al strategiilor mixte realizabile pentru fiecare jucator: P = x P_i i , cu p_i e P_i.

Curs 1: Elemente ale teoriei jocurilor

Suportul (baza) unei strategii mixte va fi format din strategiile pure pe care le au la dispozitie jucatorii, care au asignate probabilitati pozitive de a fi alese. Castigul jucatorului i care va juca strategia mixta p_i este:

u i ( p i ( s )) = ∑ p i ( s j ) ⋅ u i ( s ) .

s j ∈S

Evident, ∑ p i ( s j ) = 1 .

j

p_i = (0 0 , 0 ,.., 1 ,.., ) Observatie. Putem considera strategiile mixte si ca o generalizare a strategiilor pure, daca , cu probabilitatea 1 corespunzator strategiei pure s ∈ j S i si 0 pentru toate

celelalte.

 

 

Strategii dominate

Vom explica acest concept pornind de la exemplul precedent. In cazul jucatorului 2, el poate juca fie A, fie N. Daca primul jucator va juca A, atunci 2 are de ales intre a juca A si a avea castigul (-7) sau a juca N si a avea castigul (–10). Evident ca el va prefera sa joace A, deoarece sta mai putin in inchisoare. Daca 1 joaca N, atunci 2 poate juca A, cu cu castigul (0) sau N, cu castigul

(–1). Evident, el va alege tot A.

Cu alte cuvinte, indiferent ce ar alege jucatorul 1, pentru jucatorul 2 este mai bine sa joace