Jocurile in informatie incompleta sunt acele jocuri in care cel putin unul dintre jucatori nu cunoaste functiile de castig ale celorlalti jucatori.

Totusi, acel jucator care nu stie castigurile celorlalti, isi imagineaza care ar putea fi acestea cu o anumita probabilitate.

Introducere

Exemplul 1 Jocul intrarii pe piata

Se considera un joc in care jucatorii sunt doua firme, din care una este deja pe piata, iar a doua doreste sa intre. Prima firma poate sa se extinda construind o noua fabrica, iar cea de-a doua nu cunoaste costul noii constructii, stiind doar ca poate fi 4 unitati sau 1 unitate.

Castigurile sunt descrise in figura 1 a) si b):

F2 F2

I N I N

F1 C -1,-1 1,0 C 2,1 4,0

NC 1,1 2,0 NC 1,1 2,0

Cost mare: p₁ Cost mic: p₂

Figura 1.a) Figura 1 b)

Observam ca castigurile jucatorului 2 depind de faptul ca primul a construit sau nu fabrica, dar nu este influentat de costul acestei investitii. Pentru jucatorul 2 este preferabil sa intre doar daca jucatorul 1 nu construieste.

Pentru jucatorul 1 in schimb vedem ca strategia de a construi este dominanta doar daca are un cost mic.

Daca notam cu probabilitatea cu care jucatorul 2 credea ca 1 are un cost mare, cum 1 construieste doar daca are un cost mic, atunci 2 va intra pentru probabilitatea p 1 p > 1 si nu va intra

1 2

cu probabilitatea p < 1 .

1 2

Fie y probabilitatea ca firma 2 sa intre pe piata (deci (1 – y) este probabilitatea ca firma 2 sa nu intre pe piata).

In acest caz strategia de a nu construi ramane dominanta daca firma 1 are un cost mare. Vom modifica jocul, cu castigurile descrise in figura 2. Fie y probabilitatea ca firma 2 sa intre pe piata (deci (1 – y) este probabilitatea ca firma 2 sa nu intre pe piata).

F2 F2

I N I N

F1 C 0,-1 2,0 F1 C 1.5,1 3.5,0

NC 2,1 3,0 NC 2,1 3,0

Cost mic Cost mare

Figura 2 a) Figura 2 b)

In acest caz strategia de a nu construi ramane dominanta daca firma 1 are un cost mare. Daca este un cost mic, atunci strategia optima a lui1 depinde de probabilitate ca 2 sa intre pe

pe piata.

A construi este mai bine decat a nu construi daca: 1,5 y + 3,5 (1 – y ) > 2 y + 3 (1 – y ). Rezulta y < 1 2 .

Astfel, 1 poate incerca sa prezica comportamentul lui 2 pentru a-si alege propria strategie. Harsanyi a propus o transformare a acestui joc dintr-unul in informatie incompleta intr-un

joc in informatie imperfecta, descriind sub forma extinsa jocul cu ajutorul ”Naturii”. (figura 3):

Natura

Cost mare Cost mic

ap₁i a1 - p₁i

1 1

C NC C NC

2 2

2 2

I NI I I NI I NI

NI

(0,-1) (2,0) (2,1) (3,0) (3.5,0) (3,0)

(1.5,-1) (2,1)

Figura 3

Prin aceasta reprezentare am obtinut un joc clasic, respectiv un joc dinamic in informatie incompleta, al carui echilibru se poate determina prin metode deja prezentate. . Vedem ca in raport cu probabilitatea asignata de jucatorul 1 pentru comportamentul jucatorului 2 vom obtine echilibrul anterior, respectiv: daca firma 1 va crede ca firma 2 intra pe piata cu probabilitatea y > 1 , atunci

2

el va alege sa nu construiasca, iar daca probabilitatea cu care crede ca firma 2 intra este y < 1

2

atunci va alege sa construiasca.

Reprezentarea jocurilor Bayesiene sub forma normala

In informatie completa, reprezentam un joc sub forma normala ca fiind: G(S,u), fiecare jucator stiind care sunt strategiile si castigurile asociate tuturor celorlalti jucatori.

In cazul jocurilor in informatie incompleta fiecare jucator isi cunoaste propriile functii de castig, dar poate sa nu cunoasca una a celorlalti.

Atunci fie u i ( a 1 , a 2 ,..., a n ; t i ) functia de utilitate a jucatorului i daca este de tipul t i , cu

t i ∈T (spatiul tipurilor posibile). i

Vom nota cu p i ( t - i t i ) probabilitatea ca jucatorul de tipul t sa creada ca ceilalti sunt de i

tipul t_- i .

Definitia 1 Reprezentarea sub forma normala a unui joc Bayesian static cu n jucatori presupune sa specificam spatiul actiunilor (strategiilor) A i , spatiul tipurilor jucatorilor T i , apoi

“credintele” acestora .

• tipul jucatorului i - t - este informatie privata a jucatorului i si face parte din multimea p i , respectiv functiile de castig, u i

i

tipurilor T . i

 

• credintele (asteptarile) jucatorului i: descriu incertitudinea lui i asupra tipurilor posibile (n-1) ale celorlaltijucatori, t , dat fiind tipul sau . p i ( t - i t i )

- i t i

Atunci un joc static in informatie incompleta (joc bayesian) este G = AA, T, P, US.

In abordarea lui Harsanyi desfasurarea unui joc bayesian este urmatoarea: ƒ “natura alege tipul jucatorilor t= ( t , t ,..., t )

;

ƒ fiecare jucator isi cunoaste propriul tipt, dar nu il cunoaste pe al celorlalti t 1 2 i n -i ;

ƒ jucatorii aleg simultan actiunile lor; ƒ se “receptioneaza” castigurile u i ( a 1 , a 2 ,..., a n ; t i ) .

Observatia 1. Putem calcula p 1 ( t - i t i ) utilizand regula Bayes:

p ( t , t ) p ( t , t )

p ( t t ) = - i i = - i i (1)

i - i i p ( t i ) ∑ p ( t - i , t i )

t _-∈ i T - i

Observatia 2. In multe probleme tipul jucatorilor este independent. Deci p i ( t - i ) nu depinde

de t , dar va depinde totusi de distributia de probabilitate p(t) asupra tipurilor. i

Definitia 2. Vom numi strategie pentru jucatorul i o functie S i (_i t ) , in care S i (_i t ) specifica o

actiune particulara din multimea actiunilor A i , pentru orice t _i, ale jocului G (A, T, P, U).

Definitia 3. In jocul Bayesian static G = AA, T, P, US strategiile *=(sunt un echilibru Bayesian de tip Nash in strategii pure daca pentru fiecare jucator i si fiecare tip t din T , s s 1 *, s 2 *,..., s n *)

i i

s i * ( t i ) este solutie a problemei:

max ∑ u i ( s 1 * ()( )( ) ( ) t 1 ,..., s * i - 1 t i - 1 , a i , s * i + 1 t i + 1 ,..., s * n t n ; t ) ( ) ⋅ p t - i t i . (2)

a i ∈ A i t - i ∈ T - i

Astfel, la echilibru, nici un jucator nu isi va modifica strategia, chiar daca se schimba actiunea in cadrul aceluiasi tip.

Exemplul 2 Duopolul Cournot in informatie incompleta

Se considera modelul duopolului Cournot, in conditii de informatie incompleta. Astfel, pe

piata unui produs exista doi producatori, care produc cantitatile q₁ , respectiv q₂. Contitatea totala de produs de pe piata va fi Q.

Functia de cerere inversa este: P(Q) = c – Q, Q = q + 1 q 2

Costul mediu pe unitatea de produs al firmei 1 este c, iar costul total va fi:

c 1 ( q 1 ) = cq 1 .

Firma 2 in schimb, poate avea doua tipuri de cost, si anume fie un cost mediu mare, c_M, fie un cost mediu mic, c_m, astfel incat functia de cost total a firmei 2 va fi:

 c M q 2

c 2 ( q 2 ) =  cu c m < . c M

 c m q 2

Firma 1 crede cu probabilitatea θ ca firma 2 are costul mare, c_M, si cu probabilitatea 1 - θ ca firma 2 are costul mic, c_m. Tipul firmei 2 este dat de costul mediu pe care il poate avea. Aceasta

 

este o informatie privata, adica firma 2 isi cunoaste propriul cost, in schimb firma 1 nu stie acest cost, deci nu poate determina profitul firmei 2. In schimb firma 1 isi formeaza anumite credinte, presupuneri, asupra tipului care este firma 2. Astfel, presupune cu probabilitatea θ este firma 2 este de tipul c , si cu probabilitatea 1- θ este de tipul c . M m

Fiecare dintre firme are de rezolvat problema: Pentru firma 2:

max ( q - q 1 * - q 2 - c M ) q