y2o4or
1. Obiectivele
· Studiul fiabilitatii unor sisteme cu schimbare/reinnoire
2. Breviar teoretic
Un sistem cu reinnoire este caracterizat de momentele de reinnoire
si de intervalele intre reinnoiri . Numarul Nt de reinnoiri
petrecute intr-un interval precizat (0,t) se constituie ca un proces aleator
discret. In ceea ce priveste relatia intre variabilelele aleatoare
, independenta statistica reciproca pentru indici diferiti este
o ipoteza rationala. Acest fapt permite tratarea in fiecare
interval a acelorasi indicatori de fiabilitate. Daca este functia de
fiabilitate pe inervalul reinnoirile se clasifica dupa relatia
intre functiile de fiabilitate pe diferite intervale. Reinnoire
propriu-zisa este o reinnoire care aduce sistemul de fiecare data
in starea de dinaintea defectarii, adica pentru orice i.
Un asemenea proces se mai numeste si proces de reinnoire simplu.
Intre cazurile mai generale se disting reinnoirile pozitive si reinnoirile
negative cu , respectiv .
Daca se noteaza cu Tr variabila aleatoare definita ca durata
scursa pana la reinnoirea a r-a si cu Nt numarul
de reinnoiri pana la momentul t, atunci, in cazul unui
sistem cu reinnoire propriu-zisa, are loc egalitatea de probabilitati
cu alte cuvinte, numarul de reinnoiri produse in intervalul
(0,t) este mai mare decat r daca si numai daca durata Tr
scursa pana la reinnoirea cu numarul r este
inferioara lui t.
Se noteaza cu Kr(t) functia de repartitie a duratei Tr si cu kr(t) densitatea
ei de repartitie. Procesul aleator Nt poate fi exprimat cu ajutorul acestor
functii cu r = 1,2.... si K0(t) = 1 .
Variabila are ca densitate de repartitie o convolutie multipla de r factori
identici cu transformata Laplace si
Functia de reinnoire este si
In domeniul Laplace, pentru reinnoirea simpla si
3. Metode de rezolvare a referatului
Pentru rezolvarea problemei din referat s-a folosit mediul MATLAB cu ajutorul
caruia am reusit sa modelam matematic un sistem cu schimbare/reinnoire
cu functia de fiabilitate , aceiasi pentru orice indice i, adica in
orice interval Xi dintre doua defectari succesive.
Se admite ca repartitia duratelor de viata pentru sistemul cu
reinnoire in intervalul premergator primei reinnoiri
este de tipul Weibull cu parametrii si , cu p numarul de ordine al studentului in catalogul
grupei.
Solutionarea problemei modelarii consta in simularea Monte
Carlo, adica in generarea de durate de viata aleatoare care
sa respecte legea de repartitie Weibull si in inlocuirea
probabilitatilor diverse cu frecventele relative care tind in probabilitate
catre acele probabilitati. Generarea se realizeaza pe calea
cunoscuta. Se utilizeaza un generator de numere (pseudo)aleatoare
x repartizate uniform in intervalul (0,1) si se rezolva repetat
ecuatia in t, F(t) = x, unde este functia de repartitie Weibull.
4. Rezultate obtinute
In urma simularii folosite s-au obtinut urmatoarele rezultate :
· media duratelor intre doua schimbari succesive
: 191,1707
· probabilitatea ca in decurs de 500 de unitati de timp
sa se produca trei reinnoiri : p = 26% , 37%, 40% .
· functia de reinnoire H(t) si/sau functia densitate a reinnoirilor
h(t)
Graficul functiei de densitate de repartitie f(t)
Graficul functiei de reinnoire H(t)
5. Concluzii
In urma studierii rezultatelor obtinute folosind simularea Monte-Carlo
se poate observa ca probabilitatea reinnoirii se modifica la fiecare rulare
a simularii datorita faptului ca durata de viata este generata aleator. De asemenea
se observa ca media duratelor intre doua schimbari succesive este o functie
ce depinde atat de a cat si de b, care difera de la un student la
altul.
Am luat in calcule numarul din catalog, ca fiind p=25.