1 INTRODUCERE

Recentele realizari inregistrate in domeniul betonului armat si precomprimat, a materialelor compozite cu potential de rezistenta in general, au un impact inovator asupra proiectarii structurale. Pe langa metodele experimentale, elaborarea de noi metode practice de proiectare implica tot mai mult efectuarea de analize neliniare, realizate prin implementarea modelelor matematice in proceduri numerice laborioase. In acest context, pentru obtinerea unor rezultate de acuratete in analiza elementelor liniare (de tip bare sau tiranti), calculul sectional neliniar este fundamental. z3j13jb
Tehnicile traditionale utilizate la analiza numerica a sectiunilor de beton armat (vezi de exemplu Metoda Stratificarii a1i exemplificata in Figura 1.1), chiar daca dau rezultate satisfacatoare pentru cazuri particulare, nu au simultan potentialul de a putea fi implementate la o mare varietate de forme sectionale si componente, modele constitutive rafinate si un camp larg de fenomene.
Plecand de la aceste consideratii, s-a initiat un program de cercetare pentru identificarea de solutii noi in modelarea asistata de calculator, care sa ofere urmatoarele facilitati:

Figura 1.1 Abordarea prin Metoda Stratificarii a integrarii numerice in sectiuni solicitate la incovoiere pura.
? adaptabilitate la o mare varietate de materiale si configuratii compozite;
? accesibilitate pentru implementarea legilor constitutive atat simple (modele uniaxiale, izotrope) cat si sofisticate (modele multiaxiale, anizotrope), creand posibilitatea surprinderii unui camp vast de solicitari mecanice;
? surprinderea interactiunii dintre fenomenele mecanice si alti factori de risc, cum sunt de exemplu coroziunea, degradarea chimica, focul, inghetul si dezghetul, comportarea in timp etc.;
? asigurarea unor rezultate de mare acuratete, controlabile printr-un sistem de scalare a preciziei;
? viteza optima de procesare si un necesar rezonabil de memorie alocata;
? disponibilitatea de integrare cu metode numerice globale de analiza structurala, cum sunt Metoda Elementului Finit, Metoda Diferentelor Finite, Metode Elementelor de Contur etc.
Demersul stiintific s-a realizat prin fructificarea facilitatilor oferite de limbajele de programare C++ si Delphi, integrate in mediul de programare vizuala Borland C++Builder, iar cartea de fata prezinta in detaliu rezultate si aplicatii practice ale cercetarii pentru structurile de beton armat si precomprimat.
O prima abordare, inovatoare, a fost inspirata de tehnicile computerizate de programare grafica, decurgand natural din asimilarea punctului material cu o unitate (un pixel) a unei componente grafice de tip harta de biti a2i, asa cum se arata in Figura 1.2.
Hartile de biti, ca si obiecte grafice utilizate de limbajele de programare, sunt instrumente puternice prin care se creeaza, manipuleaza si stocheaza imagini. Aceste facilitati pot fi implementate cu succes in analiza sectionala a elementelor de beton armat si precomprimat, prin integrarea lor cu rutine adecvate.

Figura 1.2 Harta de biti a unei sectiuni transversale tipice si tipuri de puncte materiale
Abordarea directa a analizei sectionale cu obiecte grafice de programare, conduce la o viteza de calcul redusa si cantitati importante de memorie alocata pe stiva si/sau dinamic pentru procesarea datelor. O astfel de abordare este ineficienta, insa profitand de facilitatile mediilor de programare vizuala C++, se poate organiza un spatiu virtual similar, caracterizat de un mare volum de informatii stocat si viteza de procesare optima. Acest spatiu poate fi realizat efectiv prin stocarea datelor in tabele cu doua sau trei dimensiuni, sau in liste dinamice si structuri din interiorul obiectelor apartinand unor clase predefinite. Tabelele pot avea dimensiuni foarte mari, insa prin folosirea variabilelor de tip referinta (pointer), alocarea efectiva de memorie pentru ele se poate face o data cu stocarea datelor. Listele simplu sau dublu inlantuite din obiecte au ca noduri structuri de date predefinite, memoria pentru ele fiind de asemenea alocata dinamic, in functie de necesitati. Aceasta duce la folosirea optima a resurselor echipamentelor de calcul, ceea ce asigura o viteza mare de procesare a datelor, adica un timp de calcul scurt. In aceste conditii, precizia maxima oferita de limbajul C++, de 16 zecimale dupa virgula pentru tipul “double”, conduce la erori cumulate nesemnificative.

2 MODELE CONSTITUTIVE

Modelele constitutive sunt elemente cheie in orice analiza neliniara. Calitatea lor este definitorie pentru descrierea comportarii materialelor in cadrul fenomenelor analizate. Comportarea majoritatii materialelor de constructii este descrisa prin diagrame uniaxiale efort unitar - deformatie specifica avand pana la patru ramuri in compresiune si respectiv intindere. Definirea matematica a acestor ramuri se face cu functii de tipul ?(?), mai mult sau mai putin complexe.
In cazul analizelor bazate pe relatiile anizotrope ale teoriei elasticitatii, aceste ramuri nu prezinta puncte de discontinuitate. In conditiile solicitarilor uniaxiale materialul se comporta ca un continuum, iar legea generalizata a lui Hooke si ecuatiile de echilibru spatial ofera suportul fizic si matematic pentru surprinderea proceselor de fracturare.
In cazul analizelor izotrope, diagramele idealizate ale modelelor constitutive prezinta adesea puncte de discontinuitate, care surprind prezenta proceselor de fracturare, a concentrarilor de eforturi secundare, a starilor de eforturi complexe si a schimbarilor semnificative de comportament.
2.1 Beton

La compresiune uniaxiala, betonul este caracterizat de o comportare esential neliniara. Figura 2.1 prezinta raspunsul tipic pentru beton in termenii relatiei dintre efortul unitar si deformatia specifica sub solicitari uniaxiale de scurta durata.

Figura 2.1 Diagrama efort-deformatie pentru beton in teste uniaxiale
La compresiune (vezi Figura 2.2), aceasta relatie prezinta liniaritate pana la circa 30-40 % din efortul maxim de compresiune (?cu). Peste aceasta limita, microfisurile existente in masa betonului incep sa se dezvolte si curba se abate gradual de la liniaritate pana la circa 70-80 % din efortul maxim de compresiune. Peste aceasta limita propagarea prin extindere a microfisurilor devine un fenomen instabil (vezi Figurile 2.2 si 2.3), iar neliniaritatea se accentueaza. Mecanismul comportamental si, in consecinta, configuratia diagramei uniaxiale intre eforturi si deformatii la compresiune este strans legata de natura si dozajul materialelor care intra in compozitia betonului.

Figura 2.2 Etape de dezvoltare si propagare a microfisurilor intr-o epruveta cilindrica de beton solicitata la compresiune

Figura 2.3 Mecanismul de propagare si dezvoltare a microfisurilor in masa betonului comprimatt
Pasta de ciment si agregatele sunt materiale casante, in timp ce betonul obisnuit are o comportare sensibil mai ductila (vezi Figura 2.4.a). Aceasta se explica prin diferenta de rigiditate intre cei doi constituenti, care genereaza concentrari si redistribuiri de eforturi la interfetele de contact intre ei. De asemenea, cand microfisurile incep sa se dezvolte pe masura cresterii eforturilor, o parte mai mare din energia indusa de sarcini este consumata pentru dezvoltarea lor. Astfel, diagrama se abate de la liniaritate. Dupa atingerea efortului ultim de compresiune, deschiderea in continuare a microfisurilor produce o redistribuire a eforturilor care contribuie la o cedare mai ductila.
In cazul betonului de inalta performanta, deoarece diferenta de rigiditate intre agregate si pasta de ciment este mai redusa, distributia eforturilor este mult mai omogena (vezi Figura 2.4.b). Astfel, microfisurile se dezvolta mai tarziu si diagrama efort-deformatie este mult mai apropiata de liniaritate in marea parte a ramurii ascendente. In acelasi timp, redistribuirile de eforturi sunt mai putin semnificative. Rezulta o capacitate portanta mai mare, asociata insa unei ductilitati mai reduse.

Figura 2.4 Diagrame efort-deformatie pentru beton obisnuit, beton de inalta performanta si principalii constituenti
In literatura de specialitate, pentru analizele neliniare exista numeroase propuneri privind modelarea matematica a comportarii betonului comprimat. CEB recomanda atat in MC 90 a3i cat si EC 2 a4i urmatoarea expresie:
(2.1) unde
;
?c1 -; deformatia specifica corespunzatoare efortului maxim de compresiune (?cu);
;
Ecs -; modulul de elasticitate secant, corespunzator unui efort unitar egal cu 0.4?cu (vezi Figura 2.5).
Relatia (2.1) este valabila atat pentru ramura ascendenta cat si cea descendenta (0????cu). Ca si efort maxim de compresiune ?cu se considera rezistenta cilindrica medie (fcm), iar modulul de elasticitate secant devine astfel Ecs=Ecm. In MC 90 a3i CEB adopta pentru ?c1 valoarea 0.002, iar pentru ?cu1 valori intre 0.003 si 0.0035.

Pentru proiectare, EC 2 a4i accepta si introducerea diagramelor simplificate din Figura 2.6. In aceasta situatie, efortul maxim de compresiune ?cu are valoarea rezistentei cilindrice caracteristice fck, iar diagrama de calcul deriva in urma considerarii coeficientilor partiali de siguranta. Pentru diagrama schematizata din Figura 2.6.a, ramura ascendenta cu variatie parabolica (0????c2) se calculeaza cu relatia:
(2.2)
Valorile caracteristice ale eforturilor si deformatiilor betonului prescrise de EC 2 a4i sunt prezentate in Tabelele 2.1 si 2.2. a. model cu parabola si palier orizontal b. model biliniar
Figura 2.6 Modele schematizate pentru proiectarea curenta (EC 2)

Tabelul 2.1 Eforturi si deformatii unitare caracteristice pentru betonul greu (EC 2)
Clase de rezistenta pentru beton obisnuit fck (N/mm2) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 90 fck,cub (N/mm2) 15 20 25 30 37 45 50 55 60 67 75 85 95 105 fcm (N/mm2) 20 24 28 33 38 43 48 53 58 63 68 78 88 98 fctm (N/mm2) 1.6 1.9 2.2 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 4.2 4.4 4.6 4.8 5.0 fctk,0.05 (N/mm2) 1.1 1.3 1.5 1.8 2.0 2.2 2.5 2.7 2.9 3.0 3.1 3.2 3.4 3.5 fctk,0.95 (N/mm2) 2.0 2.5 2.9 3.3 3.8 4.2 4.6 4.9 5.3 5.5 5.7 6.0 6.3 6.6
Ecm (kN/mm2) 27 29 30 31 32 34 35 36 37 38 39 41 42 44 ec1 (‰) 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.25 2.3 2.4 2.45 2.5 2.6 2.7 2.8 2.8 ecu1 (‰) 3.5 3.2 3.0 2.8 2.8 2.8 ec2 (‰) 2.0 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 ecu2 (‰) 3.5 3.1 2.9 2.7 2.6 2.6 p 2.0 1.75 1.6 1.45 1.4 1.4 ec3 (‰) 1.75 1.8 1.9 2.0 2.2 2.3 ecu3 (‰) 3.5 3.1 2.9 2.7 2.6 2.6 fck -; rezistenta caracteristica la compresiune pe cilindru la 28 zile; fck,cub -; rezistenta caracteristica la compresiune pe cub la 28 zile; fcm -; valoarea medie a rezistentei la compresiune pe cilindru; fctm -; valoarea medie a rezistentei la intindere; fctk -; rezistenta caracteristica la intindere;
Ecm -; modulul de elasticitate secant; ecj -; elongatia corespunzatoare efortului maxim de compresiune (j=1,2,3); ecuj -; elongatia ultima la compresiune (j=1,2,3); p -; exponentul din relatia (2.2).
Tabelul 2.2 Eforturi si deformatii unitare caracteristice pentru betonul usor (EC 2)
Clase de rezistenta pentru beton usor f1ck (N/mm2) 12 16 20 25 30 35 40 45 50 55 60 70 80 f1ck,cub (N/mm2) 13 18 22 28 33 38 44 50 55 60 66 77 88 f1cm (N/mm2) 17 22 28 33 38 43 48 53 58 63 68 78 88 f1ctmN/mm2) flctm=fctm?1 ?1=0,40+0,60?/2200 f1ctk,0.05 (N/mm2) flctk,0.05=fctk, 0.05?1 f1ctk,0.95 (N/mm2) flctk,0.95=fctk,0.95?1
E1cm (kN/mm2) Elcm=Ecm?E ?E=(?/2200)2 e1c1 (‰) kf1cml(Elcm?E) k=1.1 pentru agregat nisipos usor, k=1.0 pentru alte agregate usoare e 1tu1 (‰) elc1 e 1c2 (‰) 2.0 2.2 2.3 2.4 2.5 e 1cu2 (‰) 3.5?1 3.1?1 2.9?1 2.7?1 2.6?1 p 2.0 1.75 1.6 1.45 1.4 e 1c3 (‰) 1.75 1.8 1.9 2.0 2.2 e1cu3 (‰) 3.5?1 3.1?1 2.9?1 2.7?1 2.6?1 f1ck - rezistenta caracteristica la compresiune a betonului usor pe cilindru la 28 zile; f1ck,cub - rezistenta caracteristica la compresiune a betonului usor pe cub la 28 zile; f1cm -; valoarea medie a rezistentei la compresiune pe cilindru a betonului usor; f1ctm -; valoarea medie a rezistentei la intindere a betonului usor; f1ctk -; rezistenta la intindere caracteristica a betonului usor;
E1cm -; modulul de elasticitate secant al betonului usor; elcj -; elongatia betonului usor la efort maxim de compresiune; (j=1,2,3) elcuj -; elongatia ultima la compresiune a betonului usor (j=1,2,3); p -; exponentul din relatia relatia (2.2)
Un alt model frecvent utilizat, adoptat si de STAS 10107/0-90 a5i, a fost elaborat de Hognestad a6i. Acest model prevede urmatoarele relatii:
? pentru ramura ascendenta (0????c0) o parabola de gradul II:
(2.3.a)
? pentru ramura descendenta (?c1<???cu) o variatie liniara :
(2.3.b)
Valoarea modulului lui Young tangent initial (vezi Figura 2.7), in originea sistemului de referinta, este
(2.4) si este dubla fata de modulul secant Ecs corespunzator efortului maxim.
Desayi si Krishnan a7i unifica intr-o singura expresie descrierea comportarii pe cele doua ramuri (vezi Figura 2.7):

Figura 2.7 Diagrama schematizata efort-deformatie uniaxiala a betonului comprimat pentru analize neliniare
(2.5)
Simularea unui numar redus de cicluri la incarcare si descarcare uniaxiala la trepte inferioare de solicitare se modeaza prin segmentele de dreapta avand orientarea definita de panta tangentei in origine la curba caracteristica (directia definita de Ec0), asa cum se prezinta in Figuria 2.8.

Figura 2.8 Traseul uniaxial pentru diagrama efort-deformatie la descarcare si incarcare
O astfel de abordare este indicata doar pentru deformatii specifice mici:
(2.6)
Figura 2.9 prezinta relatia efort-deformatie tipica pentru betonul supus la cicluri multiple incarcare-descarcare. Karson si Jirsa a8i pun in evidenta un domeniu in planul efort-deformatie, definit de o serie de puncte care controleaza degradarea proprietatilor mecanice ale betonului solicitat. Sub limita inferioara a acestui domeniu exista o zona de stabilitate si se poate aplica modelul comportamental din Figura 2.8. Daca sarcinile depasesc limita zonei de stabilitate si efortul maxim este atins la fiecare ciclu, se acumuleaza deformatii plastice importante intre cicluri. Astfel, s-au introdus notiunile de punct conventional si punct de intoarcere (vezi Figura 2.9). Punctul conventional este definit de efortul maxim la care diagrama unui ciclu de reincarcare intersecteaza curba definita de descarcarea ciclului precedent, iar punctul de intoarcere (aflat pe limita superioara a zonei de stabilitate) controleaza energia disipata la fiecare ciclu. Prin modelul simplificat din Figura 2.10, Darwin si Pecknold a9i idealizeaza locul geometric al acestor puncte caracteristice prin doua curbe, iar pentru infasuratoarea eforturilor adopta o linie dreapta definita de (?cu, ?c0) si (0.2?cu, 4?cu), aflata in continuarea palierului ascendent corespunzator primului ciclu de incarcare.

Figura 2.10 Modelul Darwin si Pecknold a9i pentru simularea ciclurilor incarcare-descarcare
Asa cum se observa in Figura 2.10, in raport cu marimea deformatiei specifice totale si directia modulului tangent initial, se disting patru zone asociate punctelor caracteristice:
? zona 1:
(2.7)
? zona 2:
(2.8)
? zona 3:
(2.9)
? zona 4:
(2.10)
In relatiile (2.7?2.10), fck este valoarea caracteristica a rezistentei cilindrice la compresiune uniaxiala. Deformatia plastica ?p corespunzatoare deformatiei totale ?d dinaintea descarcarii se calculeaza cu relatia empirica propusa de Karson si Jirsa a8i:
(2.11)
Asa cum se observa in Figurile 2.9 si 2.10, pentru nivele de solicitare peste locul geometric al punctelor de intoarcere, la un ciclu oarecare descarcarea are loc dupa directia tangentei initiale in origine, dupa care panta descarcarii se considera panta de incarcare a ciclului urmator, care la randul ei este definita de punctul conventional corespunzator si deformatia plastica.
In elementele liniare confinarea betonului poate fi generata de legaturile exterioare si/sau armaturile transversale. In primul caz, intr-o abordare incrementala, eforturile de confinare se raporteaza valorii coeficientului lui Poisson si rigiditatii legaturilor. In cel de-al doilea caz, nivelul eforturilor de confinare se raporteaza valorii coeficientului lui Poisson si marimii deformatiei din armatura transversala, eventual a eforturilor de precomprimare transversala. O rezolvare exacta a starii de eforturi spatiale poate fi rezolvata doar prin analize anizotrope. Intr-o abordare simplificata, pentru un efort de confinare ?2 asociat deformatiei de curgere a armaturii transversale, EC 2 a4i admite diagrama prezentata in Figura 2.11, definita de urmatoarele expresii ale eforturilor si deformatiilor caracteristice:

Figura 2.11 Diagrama efort-deformatie pentru betonul confinat
? pentru efortul ultim la compresiune:
(2.12)
? pentru deformatiile caracteristice:
(2.13)
Modelul constitutiv utilizat curent pentru a caracteriza comportarea betonul intins este prezentat in Figura 2.12. Deoarece rezistenta betonului intins este de doar (5?20) % din rezistenta sa la compresiune, se considera o variatie liniara pentru ramura ascendenta a betonului nefisurat. Palierul descendent, dupa deschiderea fisurii este descris printr-o variatie liniara sau exponentiala, fiind introdus parametrul de degradare ?.

Figura 2.12 Diagrama schematizata efort-deformatie a betonului solicitat la intindere uniaxiala
Efortul maxim (rezistenta) al betonului intins se raporteaza tipului de solicitare, iar valoarea sa este in consecinta relativa.
In analizele neliniare se pot adopta relatiile:
? pentru betonul obisuit, relatia etalonata de Lessard si Aitcin a10i:
(2.14)
? la betonul de inalta performanta, propunerea lui Thorenfeld a11i:
(2.15)
Literatura de specialitate abunda in astfel de formulari, raportate atat intinderii prin despicare cat si intinderii din incovoiere, astfel incat avand in vedere contributia redusa adusa de betonul intins la capacitatea portanta a elementelor liniare, se pot adopta si alte relatii.
Procedeul de modelare a palierului descendent de dupa fisurare a fost introdusa de Hillerborg a12i, comportarea fisurii fiind idealizata printr-un model de fisuri coezive, in care deschiderea fisurii este guvernata de trei parametri: efortul maxim de intindere ?tu, energia de fracturare Gf (vezi Figura 2.13) si legea de degradare a materialului in raport cu deformatia.
Modelul exponential de degradare a betonului este datorat lui Petersson a13i, parametrul ? fiind raportat energiei de fracturare corespunzatoare unui volum de beton dat prin relatia:
(2.16) unde Lf este:
(2.17)
La nivelul unui punct material (cu dimensiuni mici, egale cu unitatea), Lf devine:

(2.18)
In cazul ciclurilor de incarcare-descarcare care au loc cu alternarea solicitarilor de compresiune cu solicitarile de intindere, raportarea eforturilor maxime la intindere si a modulului de elasticitate al palierului de intindere se face la panta si efortul maxim de compresiune asociate ciclului respectiv a14i, si se stabilesc in conformitate cu Figurile 2.9 si 2.10.
2.2 Armaturi din otel

Caracteristicile de deformabilitate si de rezistenta ale armaturilor active si pasive se raporteaza in principal proprietatilor lor uniaxiale. De aceea, armaturile sunt aproape invariabil modelate ca avand doar rigiditate axiala (pe directia longitudinala a barei). Figura 2.14 prezinta diagramele tipice ale otelurilor utilizate in constructii pentru armaturile pasive. EC 2a4i defineste ca si valori caracteristice pentru eforturile si deformatiile armaturilor din otel urmatoarele valori:
? rezistenta caracteristica la curgere (fak): corespunde efortului de curgere la otelurile cu palier de curgere (vezi Figura 2.14.a) fak=?c sau efortului care la descarcare inglobeaza o deformatie remanenta ?r=0.2 % la otelurile fara palier de curgere (vezi Figura 2.14.b) f0.2k= ?c0.2;
? rezistenta caracteristica la intindere (fat): corespunde efortului maxim al efortului unitar (vezi Figura 2.14) fat= ?t;
? alungirea caracteristica la efort maxim (?uk): valoarea deformatiei specifice ?uk=?u corespunzatoare efortului unitar maxim ?u.

Tabelul 2.3 prezinta cerintele EC 2 a4i necesare pentru armaturile pasive din otel utilizate in constructii, fabricate in conformitate cu specificatia europeana EN 10080 a15i.
Ca si diagrame idealizate ale armaturilor solicitate atat la intindere cat si la compresiune, standardul european admite diagramele biliniare (cu palier de consolidare sau cu palier orizontal) din Figura 2.15, care descriu acceptabil comportarea otelului.

Figura 2.15 Diagrame schematizate efort-deformatie pentru armaturi pasive din otel EC 2
Pentru armaturile active ale elementelor din beton precomprimat (vezi Figurile 2.16 si 2.17) confectionate respectand exigentele prevazute de EN 10138 a16i, in acelasi standard sunt prevazute urmatoarele valori caracteristice pentru eforturile si deformatiile de intindere:
? rezistenta caracteristica la intindere (fpk): corespunde efortului unitar maxim fpk=?pt;
? rezistenta caracteristica de curgere (fp0.1k): corespunde efortului ?pc care la descarcare inglobeaza o deformatie remanenta ?pr=0.1 %;
? alungirea caracteristica la efort maxim (?puk): deformatia specifica de intindere ?puk=?pu corespunzatoare efortului unitar maxim ?pt.

Tabelul 2.3 Proprietati ale armaturilor din otel (EC 2)
Forma produsului Bare livrate drepte sau in colaci Sarma Cerinte sau abateri maxime (%)
Clasa de ductilitate A B C A B C
Rezistenta caracteristica la curgere fak sau f0.2k (N/mm2) 400?600 5.0
Valoarea minima a lui k=(ft/fa)k =1.05 =1.08 =1.15
<1.35 =1.05 =1.08 =1.15
<1.35 10.0
Alungirea caracteristica la efortul maxim, euk (%) =2.5 =5.0 =7.5 =2.5 =5.0 =7.5 10.0
Numarul ciclurilor de oboseala N=2×106 cu limita superioara ßfak (pentru ß se recomanda valoarea 0.6) Intervalul de variatie al eforturilor ce provoaca oboseala (N/mm2) 10.0
=150 =100
Indoire teste de indoire-dezdoire - Rezistenta la forfecare - 0.3Afak (A aria sarmei) minima
Conditii de aderenta pentru diametre nominale ale armaturii
(mm)
5?6
6.5?12
>12 Factori de profil (aria relativa) ai amprentei 5.0

0.035
0.040
0.056
Devieri de masa maxime pentru diametre nominale ale armaturii
(mm)
?8
>8 Devierea maxima de la masa nominala a unei sarme sau bare individuale (%) 5.0

±6.0
±4.5

Figura 2.16 Diagrama caracteristica efort-deformatie pentru oteluri de pretensionare (de inalta rezistenta) potrivit EC 2
Ca si diagrama idealizata este propus modelul biliniar din Figura 2.17, similar celui de la armaturile pasive din oteluri prelucrate la rece (vezi Figura 2.15).
Figura 2.18 prezinta diagrame idealizate triliniare, foarte convenabile pentru modelarea caracteristicilor efort-deformatie a armaturilor din otel, inclusiv curgerea lor, implementate curent a17i. Atat in cazul otelului de inalta rezistenta (utilizat in armaturi active) cat si a otelului moale (utilizat in armaturi pasive), primele doua ramuri sunt definite de efortul de curgere ?c (corespunzator unei deformatii remanente ?r=0.1?0.2 %). Cea de a treia ramura necesita specificarea efortului ultim (?u) si a deformatiei ultime ?u asociate.

Figura 2.18 Diagrame schematizate efort-deformatie triliniare pentru armaturi din otel
In analizele neliniare se pot introduce modele constitutive alcatuite si din mai multe paliere (de exemplu, la otelurile moi prin introducerea ultimului palier descendent) si/sau cu variatii neliniare ale ramurilor. De exemplu, STAS 10107/0-90 defineste pentru armaturile active de tip sarme sau toroane urmatoarea reprezentare analitica:
? pentru ??0.6?pc:
(2.19)
? pentru ?>0.6?pc:
(2.20)

Figura 2.19 Modelarea ciclurilor incarcare-descarcare unde Ep este modulul de elasticitate al armaturii active.
Pentru ciclurile incarcare-descarcare armaturile din otel se pot considera materiale ideal elasto-plastice, comportarea la descarcare fiind guvernata de directia corespunzatoare modulului de elasticitate initial (vezi Figura 2.19).

2.3 Armaturi compozite

Utilizarea pe scara tot mai mare a armaturilor compozite in structurile din beton armat si precomprimat se datoreaza salturilor de dupa 1980.
O armatura compozita (vezi Figura 2.20) consta de obicei din combinatia a doua materiale (matricea si fibrele pe care le inglobeaza) asamblate intr-un tot unitar, fiecare componenta avand un rol distinct. Intre cei doi constituenti exista o interfata clar delimitata, care in unele produse devine o regiune de legatura prin introducerea unui material suplimentar, avand rolulul unui agent de aderenta, care imbunatateste conlucrarea dintre acestea.

Figura 2.20 Microstructura armaturilor compozite
Principalele tipuri de fibre care intra in compozitia armaturilor compozite sunt fibrele de carbon, sticla si mase plastice. Acestea se pot grupa in fascicule care se inglobeaza in matrici circulare (sub aceasta forma fiind utilizate doar la tendoane pretensionate) sau se pot dispune si suprapune in straturi subtiri, rezultand armaturi laminate de tip tesaturi si lame (forma curenta de comercializare).

Figura 2.21 Directii de orientare a fibrelor in armaturi laminate
Factorii majori care influenteaza performanta armaturilor compozite sunt:
? orientarea (vezi Figura 2.21), lungimea, forma si natura fibrelor;
? proprietatile mecanice ale rasinii din care se confectioneaza matricea;
? aderenta dintre fibre si rasina.
Figura 2.22 prezinta comparativ diagrame caracteristice atat pentru armaturile compozite cat si armaturile din otel a18i. Ca trasatura comuna se observa ca eforturile maxime ale armaturilor compozite sunt mult superioare celor din otel, asociate in acelasi timp insa cu o ductilitatea foarte redusa, practic palierul de curgere fiind inexistent.
Plecand de la proprietatile lor, in analizele neliniare modelarea comportarii, atat la intindere cat si la compresiune, a armaturilor compozite se face printr-un singur palier cu variatie liniara, definit de doar doi parametri, efortul si deformatia maxime (Figura 2.23).

Figura 2.22 Diagrame comparative efort-deformatie pentru diverse tipuri de armaturi

Figura 2.23 Diagrama schematizata efort-deformatie pentru armaturi compozite

2.4 Generalizarea modelelor constitutive uniaxiale

In forma generalizata, modelele constitutive uniaxiale se dezvolta ca functii ale efortului unitar in raport cu deformatia specifica (vezi Figura 2.24). Aceste functii pot imbraca o forma mai mult sau mai putin complexa.
Dupa cum se observa, un model constitutiv complet cu n+1 paliere cumulate la intindere si compresiune este definit de un set de functii ?(?)=fi(?) (i=0?n) raportate la punctele de inflexiune si/sau discontinuitate care definesc cele n+1 ramuri. Aceste puncte de inflexiune si/sau discontinuitate se raporteaza in planul cartezian de coordonate a?(?),?(?)i unor perechi a?i,? ii (i=0?n), care alaturi de tipul functiei definesc modelul constitutiv pe fiecare palier in parte. Aceste perechi de coordonate se stabilesc experimental sau, in cazul in care un material prezinta abateri mari de la un prototip dorit de functie, se pot determina prin metode matematice, cum ar fi dezvoltarea prototipului dorit intr-o serie de vecinatati etc.

Figura 2.24 Generalizarea modelelor constitutive uniaxiale
Astfel, fiecare ramura a modelului constitutiv poate fi descrisa printr-o relatie de forma
(2.21)
in care matricile Ci (i=0÷n), corespunzatoare ramurii i (vezi Figura 2.24), includ coeficientii constitutivi ai polinomului de gradul m (m=0).
Polinoamele sunt usor de definit si inteles de utilizatorul curent de soft ingineresc. Practic, prin implementarea lor poate fi surprinsa comportarea oricarui material cu potential structural utilizat in constructii. Pentru cazul betonului, un material compozit si complex el insusi, Figura 2.25 prezinta comparativ diagramele la solicitari uniaxiale de compresiune intre eforturile unitare si deformatiile specifice obtinute utilizand modelele etalonate si recomandate de CEB a3i, Hognestad a6i, Desayi and Khrisnan a7i, prezentate in subcapitolul 2.1. Daca primele modele sunt de tip polinom atat pentru ramura ascendenta cat si descendenta, al treilea model este definit ca un raport intre un polinom de gradul intai si un polinom de gradul doi. Asa cum se pune in evidenta in Figura 2.25, cel de al treilea model nu furnizeaza practic o informatie mai relevanta decat celelalte. Astfel, in continuare se vor analiza modelele constitutive de tip polinom.
Rezolvarea integralelor, necesare analizelor sectionale neliniare, se efectueaza de obicei prin implementarea metodelor numerice de integrare (vezi Tabelul 2.3) pe intreg domeniul definit de conturul sectiunii. Integrarea directa este insa intotdeauna posibila daca functiile fi(?) sunt de tip polinom.

Figura 2.25 Comparatie intre diverse modele constitutive pentru betonul comprimat
Tabelul 2.3 Procedee de integrare numerica a functiilor de o variabila
Procedeul Formula de integrare Reprezentare geometrica metoda dreptunghiului
Tabelul 2.3 (continuare)
Procedeul Formula de integrare Reprezentare geometrica metoda trapezului metoda celor trei puncte (metoda Simpson) metoda repetitiva a trapezului
Tabelul 2.3 (continuare)
Procedeul Formula de integrare Reprezentare geometrica metoda repetitiva a lui Simpson metoda punctului median (Gauss-Legendre) metoda celor doua punte
(Gauss-Legendre)
Tabelul 2.3 (continuare)
Procedeul Formula de integrare Reprezentare geometrica metoda celor trei punte
(Gauss-Legendre)
Adaptarea modelelor constitutive pentru beton si armatura la forma polinomiala generalizata este facila si decurge in mod natural.
In cazul betonului solicitat uniaxial, cele doua ramuri la compresiune au fost etalonate deja ca polinoame de gradul unu si doi prin formularile propuse de CEB a3i si Hognestad a6i. Pentru palierul ascendent al betonului intins, este suficient de luat in considerare o variatie liniara (polinom de gradul unu). Avand in vedere valoarea mica a rezistentei la intindere, palierul descendent poate fi neglijat sau aproximat, de asemenea, la o variatie liniara (vezi Figura 2.12). Acesta este caracterizat de mecanismul de interactiune a agregatelor (vezi Figura 2.26). Pentru o compozitie de beton data, deschiderea limita a fisurii corespunde momentului in care se pierde contactul intre cele doua fete ale fisurii si depinde de calitatea betonului si dimensiunea maxima a agregatelor. Considerand o lege exponentiala de slabire ca si cea din diagrama prezentata in Figura 2.13, Hordijk a19i a etalonat urmatoarea relatie pentru energia de fracturare:
(2.22)

Figura 2.26 Interactiunea agregatelor dintre cele doua fete ale fisurii
Avand in vedere aceste elemente, palierul descendent va fi definit de efortul maxim la intindere ?tu si deformatiile ?t0 si ?lim, aceasta din urma corespunzand deschiderii limita a fisurii pentru care mai exista contact intre fetele acesteia.
Reprezentarea analitica (vezi Figura 2.27), pentru cele patru ramuri (i=0?3) sub forma generalizata, a modelului constitutiv uniaxial pentru beton considerand formularea Hognestad a6i la compresiune este:
? ramura 0:
(2.23.a)
? ramura 1:
(2.23.b)

Figura 2.27 Diagrama generalizata efort-deformatie pentru beton
? ramura 2:
(2.23.c)
? ramura 3:
(2.23.d)
Sub forma vectoriala, deformatiile care delimiteaza cele patru ramuri considerate sunt:
(2.24)
Pentru armaturile din otel, de exemplu, considerand modelul triliniar din Figura 2.18, reprezentarea se face pe sase ramuri (i=0?5), asa cum se precizeaza prin Figura 2.28, avand urmatoarea reprezentare analitica (indicii t si c au fost introdusi pentru a indica tipul de solicitare, intindere respectiv compresiune, valoarea absoluta a eforturilor corespondente fiind aceeasi, diferind doar semnul):
? ramura 0:
(2.25.a)
? ramura 1:
(2.25.b)
? ramura 2:
(2.25.c)

Figura 2.28 Diagrama generalizata efort-deformatie pentru armaturi din otel
? ramura 3:
(2.25.d)
? ramura 4:
(2.25.e)
? ramura 5:
(2.25.f)
Deformatiile care delimiteaza cele sase ramuri considerate sunt:
(2.26)

Figura 2.29 Diagrama generalizata effort-deformatie pentru armaturi compozite
La armaturile compozite sunt necesare doar doua (i=0,1) ramuri simetrice in intindere si compresiune (vezi Figura 2.29) sunt:
? ramura 0:
(2.27.a)
? ramura 1:
(2.27.b) iar vectorul deformatiilor care la delimiteaza este
(2.28)
Definirea ramurilor corespunzatoare ciclurilor de incarcare si descarcare reprezinta un caz aparte atat pentru beton cat si armatura din otel (vezi Figurile 2.8, 2.10 si 2.19). In zonele cu puncte materiale aflate in astfel de zone trebuie generate modele constitutive pentru ramuri care trebuie inserate in spectrul modelelor constitutive care definesc comportarea materialelor la nivel infinitezimal.
Pentru un numar redus de cicluri, descarcarea se modeleaza printr-o singura ramura liniara definita de directia tangentei in origine a modelului constitutiv uniaxial si efortul maxim de la care porneste descarcarea. Pentru un numar mare de cicluri, in cazul betonului se poate introduce modelul simplificat Darwin si Pecknold a9i din Figura 2.10, palierele fiind definite in consecinta.
2.5 Biblioteca “lib_mat”

In continuare sunt prezentate codurile sursa ale unor functii dezvoltate in limbajul de programare C++, incluse in fisierul “lib_mat.cpp”. Functiile “Beton”, “Eps_beton”, “Otel”, “Eps_otel”, “Fibre” si “Eps_fibre” calculeaza coeficientii polinoamelor de grad maxim doi si deformatiile specifice intre care sunt definite aceste functii. Datele se stocheaza in tabele cu trei si respectiv doua dimensiuni. O alta functie prezentata este functia “Model_constitutiv”. Aceasta cand este apelata pentru o deformatie curenta, returneaza coeficientii corespunzatori palierului curent. O astfel de organizare permite atat definirea rapida de catre utilizator a modelelor constitutive, cat si implementarea bibliotecilor pentru o mare varietate de materiale.

lib_mat.cpp

#include <math.h>

//------------------------------------------------- /* functie care calculeaza coeficientii parabolelor de grad maxim II pentru beton si ii stocheaza intr-un tabel tredimensional
*/ void Beton(int nr_mat,float e_tlim,float s_tu, float e_t0,float s_cu,float e_c0, double *coefa8ia3i)
/* nr_mat - numarul de ordine al materialului curent e_tlim - deformatia ultima la intindere s_tu - efortul maxim de intindere e_tu - deformatia corespunzatoare lui s_tu s_cu - efortul maxim de compresiune coef ia8ia3i - matricea coeficientilor pentru toate materialele
*/

lib_mat.cpp (continuare)

A coefanr_matia0ia2i=0.0; coefanr_matia0ia1i=s_tu/(e_t0-e_tlim); coefanr_matia0ia0i=s_tu*e_tlim/(e_t0-e_tlim); coefanr_matia1ia2i=0.0; coefanr_matia1ia1i=s_tu*e_t0; coefanr_matia1ia0i=0.0; coefanr_matia2ia2i=-s_cu/pow(e_c0,2); coefanr_matia2ia1i=2*s_cu/e_c0; coefanr_matia2ia0i=0.0; coefanr_matia3ia2i=0.0; coefanr_matia3ia1i=s_cu; coefanr_matia3ia0i=-0.075*s_cu/e_c0; for (int i=4;i<8;i++)
A coefanr_matiaiia2i=0.0; coefanr_matiaiia1i=0.0; coefanr_matiaiia0i=0.0;
S
S
//------------------------------------------------- /* functie care calculeaza coeficientii parabolelor de grad maxim II pentru beton si ii stocheaza intr-un tabel tredimensional
*/ void Eps_beton(int n_m,float e_tlim,float e_t0, float e_c0,float e_cu, float *eps_refa9i)
/* n_m - numarul de ordine al materialului curent e_tlim - deformatia ultima la intindere e_tu - deformatia corespunzatoare lui s_tu e_cu - deformatia corespunzatoare lui s_cu eps_refaia9i - deformatiile ce delimiteaza cele 8 ramuri
*/
A eps_refan_mia0i=e_tlim;

lib_mat.cpp (continuare)

eps_refan_mia1i=e_t0; eps_refan_mia2i=0.0f; eps_refan_mia3i=e_c0; eps_refan_mia4i=e_cu; eps_refan_mia5i=100*e_cu; eps_refan_mia6i=100*e_cu; eps_refan_mia7i=100*e_cu; eps_refan_mia8i=100*e_cu;
S
//------------------------------------------------- /* functie care calculeaza coeficientii parabolelor de grad maxim II pentru armaturi din otel si ii stocheaza intr-un tabel tredimensional
*/ void Otel(int nr_mat,float e_u,float s_u, float e_c,float s_c,float e_e, double *coefa8ia3i)
/* nr_mat - numarul de ordine al materialului curent e_u - modulul deformatiei ultime la intindere si compresiune s_u - modulul efortului maxim de intindere si compresiune e_c - modulul deformatiei corespunzatoare lui s_c s_c - modulul efortului de curgere la intindere si compresiune e_e - modulul deformatiei elastice la intindere si compresiun coefaia8ia3i - matricea coeficientilor pentru toate materialele
*/
A coefanr_matia0ia2i=0.0; coefanr_matia0ia1i=(s_u-s_c)/(e_u-e_c); coefanr_matia0ia0i=(s_u*e_c-s_c*e_u)/(e_u-e_c); coefanr_matia1ia2i=0.0; coefanr_matia1ia1i=0.2*s_c/(e_c-e_e); coefanr_matia1ia0i=s_c*(e_e-0.8*e_c)/(e_c-e_e);

lib_mat.cpp (continuare)

coefanr_matia2ia2i=0.0; coefanr_matia2ia1i=0.8*s_c/e_e; coefanr_matia2ia0i=0.0; coefanr_matia3ia2i=0.0; coefanr_matia3ia1i=0.8*s_c/e_e; coefanr_matia3ia0i=0.0; coefanr_matia4ia2i=0.0; coefanr_matia4ia1i=-0.*s_c/(e_e-e_c); coefanr_matia4ia0i=s_c*(e_e-0.8*e_c)/(e_e-e_c); coefanr_matia5ia2i=0.0; coefanr_matia5ia1i=(s_c-s_u)/(e_c-e_u); coefanr_matia5ia0i=(s_u*e_c-s_c*e_u)/(e_c-e_u); for (int i=6;i<8;i++)
A coefanr_matiaiia2i=0.0; coefanr_matiaiia1i=0.0; coefanr_matiaiia0i=0.0;
S
S
//------------------------------------------------- /* functie care calculeaza coeficientii parabolelor de grad maxim II pentru armaturi din otel si ii stocheaza intr-un tabel tredimensional
*/ void Eps_otel(int n_m,float e_u,float e_c, float e_e,float *eps_refa9i)
/* n_m - numarul de ordine al materialului curent e_u - modulul deformatiei ultime la intindere si compresiune e_c - modulul deformatiei corespunzatoare lui s_c e_e - modulul deformatiei elastice la intindere si compresiun eps_refaia9i - deformatiile ce delimiteaza cele 8 ramuri
*/
A eps_refan_mia0i=-e_u;

lib_mat.cpp (continuare)

eps_refan_mia1i=-e_c; eps_refan_mia2i=--e_e; eps_refan_mia3i=0.0; eps_refan_mia4i=e_e; eps_refan_mia5i=e_c; eps_refan_mia6i=e_u; eps_refan_mia7i=100*e_u; eps_refan_mia8i=100*e_u;
S
//------------------------------------------------- /* functie care calculeaza coeficientii parabolelor de grad maxim II pentru armaturi compozite si ii stocheaza intr-un tabel tredimensional
*/ void Fibre(int nr_mat,float e_u,float s_u, double *coefa8ia3i)
/* nr_mat - numarul de ordine al materialului curent e_u - modulul deformatiei ultime la intindere si compresiune s_u - modulul efortului maxim de intindere si compresiune coefaia8ia3i - matricea coeficientilor pentru toate materialele
*/
A coefanr_matia0ia2i=0.0; coefanr_matia0ia1i=s_u/e_u; coefanr_matia0ia0i=0.0; coefanr_matia1ia2i=0.0; coefanr_matia1ia1i=s_u/e_u; coefanr_matia1ia0i=0.0; for (int i=2;i<8;i++)
A coefanr_matiaiia2i=0.0; coefanr_matiaiia1i=0.0; coefanr_matiaiia0i=0.0;
S

lib_mat.cpp (continuare)

S
//------------------------------------------------- /* functie care calculeaza coeficientii parabolelor de grad maxim II pentru armaturi compozite si ii stocheaza intr-un tabel tredimensional
*/ void Eps_fibre(int n_m,float e_u,float *eps_refa9i)
/* n_m - numarul de ordine al materialului curent e_u - modulul deformatiei ultime la intindere si compresiune eps_refaia9i - deformatiile ce delimiteaza cele 8 ramuri
*/
A eps_refan_mia0i=-e_u; eps_refan_mia1i=0.0; eps_refan_mia2i=e_u; for (int i=3;i<9;i++)
A eps_refan_miaki=100*e_u;
S
S
//------------------------------------------------- /* functie care returneaza coeficientii parabolelor de grad maxim II pentru maxim 8 ramuri definite de un model constitutiv
*/ double Model_constitutiv(int mat,float *eps_refa9i, double *coefa8ia3i, float e, double ca3i)
/* mat - numarul de ordine al materialului eps_refaia9i -; tabelul deformatiilor ce delimiteaza cel 8 ramuri coefaia8ia3i - tabelul coeficientilor pentru toate materialele

lib_mat.cpp (continuare)

e - deformatia speficica curenta ca3i - vectorul coeficientilor constitutivi returnati (ai parabolei)
*/

A
while (e>eps_refamatia8i || e<eps_refamatia0i)
A ca0i=0.0; ca1i=0.0; ca2i=0.0;
S for (int i=1;i<9;i++)
A if (e>=eps_refamatiai-1i && e<eps_refamatiaii)
A ca0i=coefamatiai-1ia0i; ca1i=coefamatiai-1ia1i; ca2i=coefamatiai-1ia2i;
S
S return(ca3i);
S
//--------------------------------------------------

3 METODE INCREMENTALE

Analizele structurale neliniare se rezolva prin succesiuni de calcule liniare. Spre deosebire de sistemele liniare, sistemele neliniare nu pot fi rezolvate direct, ci doar prin procedee iterative sau de cautare. Toate aceste abordari se reduc invariabil la solutionari liniare repetate, pana la obtinerea convergentei. O atentie deosebita trebuie acordata interpretarii fizice a rezultatelor in vederea obtinerii solutiei corecte. Pentru ilustrarea metodelor iterative se va face in continuare referire la un sistem convenabil, cu un singur grad de libertate a20i.
In calculul neliniar de ansamblu, matricea de rigiditate (definitorie pentru proprietatile fizice ale structurii) se raporteaza nivelului deplasarilor si eforturilor.
Abordarea incrementala cea mai la indemana este cea formulata de “Metoda iterarii directe". Prin aceasta metoda se cauta solutii succesive, fiecare etapa de iterare facand uz de precedenta prin intermediul matricii U (matricea deplasarilor) pentru a evalua valoarea curenta a matricii de rigiditate K(U):
(3.1) unde r=1, 2, 3…
Solutia initiala este considerata de regula U0=0, iar procesul se reia pana se obtine convergenta, adica Ur-Ur-1?0.
Figura 3.1 prezinta implementarea “Metodei iterarii directe" pentru identificarea solutiei corespunzatoare nivelului de incarcare P, in conditiile raspunsului neliniar P-u. Se poate observa ca deplasarile sunt considerate ca necunoscute si la fiecare iteratie se utilizeaza matricea de rigiditate derivata din panta secanta.
O abordare mai completa si, in consecinta o procedura mai rafinata de iterare, este “Metoda Newton-Raphson" (vezi Figura 3.2). Atat timp timp cat nu se atinge convergenta, ecuatia de echilibru KU=P nu va fi satisfacuta in nici un pas de iterare, rezultand sistemul de forte reziduale :
(3.2)
Sistemul fortelelor reziduale cuantifica departarea sistemului de starea de echilibru necunoscuta. O mai buna aproximare a acesteia va exista pentru:
(3.3)

Figura 3.2 Metoda Newton-Raphson unde aproximarea incrementului sau corectiei ?Ur este data de
(3.4)
Odata cu cresterea numarului de iteratii r, convergenta se obtine atunci cand ?Ur?0. Metoda permite mai usor o abordare biografica a analizelor structurale deoarece ea se implementeaza prin introducerea valorilor tangentiale ale rigiditatii structurale si nu a celor secante. Pentru un increment dat al sarcinilor exterioare, formularea prin “Metoda Newton-Raphson" converge mai rapid decat cea prin “Metoda iterarii directe". Totusi, nu exista nici o garantie de convergenta, in special daca pasii de incarcare sunt mari si apar diferente mari intre pantele modelelor constitutive aplicate in vederea calculului matricii de rigiditate.
Nici una din metodele prezentate pana acum nu garanteaza obtinerea convergentei a21i. Algoritmul optim de cautare se obtine de obicei prin combinarea acestora, astfel incat matricea de rigiditate K se reactualizeaza, prin caracteristicile sale tangentiale, doar ocazional pe parcursul procesului de iterare. In loc sa se asambleze o noua matrice de rigiditate la fiecare iteratie, se poate introduce urmatoarea aproximatie in interiorul unui pas incremental:
(3.5)
Astfel, in interiorul aceluiasi pas incremental se mentine aceeasi matrice pe parcursul intregului proces de cautare a convergentei:
(3.6)
Acest algoritm este cunoscut sub denumirea de “Metoda Newton-Raphson modificata" si este schematizat in Figura 3.3. Matricea tangentiala de rigiditate se asambleaza doar odata cu aplicarea unui nou increment al incarcarii, economisind o durata semnificativa de timp pentru fiecare iteratie.
Desi in termenii vitezei de procesare algoritmul este avantajos, din nefericire rata de convergenta obtinuta este inferioara celei realizate cu metoda initiala "Newton-Raphson" a22i.

Figura 3.4 Corectia incrementala Newton-Raphson intr-o etapa
O alta metoda (vezi Figura 3.4) este asa numita "Corectia incrementala Newton-Raphson intr-o etapa". Aceasta poate fi sintetizata pe scurt prin relatia:
(3.7) unde este incrementul curent al incarcarii si insumeaza fortele reziduale neechilibrate din pasul anterior.
Chiar daca singura coretie a fortelor reziduale la un pas de iterare se transforma in pasi incrementali efectivi ai incarcarii exterioare , se cumuleaza insa o mica deviere de la solutia adevarata. Pentru algoritmul devine pur incremental, fara corectii, dar cu o deviere de aceasta data mai mare (vezi traseul marcat cu patrate). La cealalta extrema, cand se regaseste forma incrementala traditionala "Newton-Raphson".
Modelele constitutive definite ca tip polinomial se preteaza foarte bine la oricare din metodele incrementale prezentate mai sus. Astfel, pentru structurile liniare se creaza posibilitatea de adjustare a rigiditatii la nivel de element si ansamblu structural pornind direct de la relatiile constitutive ale materialelor si echilibrul sectional.
O astfel de rezolvare este mult mai generala si mai convenabila decat abordarea prin care in prealabil se etaloneaza relatii intre momentele incovoietoare si curburi, eforturile axiale si deformatiile axiale etc., care stau apoi la baza stabilirii rigiditatii elementelor.

a. rezistente medii b. rezistente caracteristice
Figura 4.9 Diagrame constitutive pentru armaturi
Modelele constitutive au fost definite dupa cum urmeaza:
? pentru otelul beton: diagrame biliniare cu consolidare atat la intindere (vezi Figura 4.9) cat si la compresiune;
? pentru beton: model cu o singura ramura liniara la intindere (fara palier descendent), iar la compresiune modelul constitutiv al lui Hognestad a6i (vezi subcapitolul 2.1), cu o ramura ascendenta parabolica si o ramura descendenta liniara (vezi Figura 4.10).
Analizele neliniare s-au efectuat prin metodologia “Metodei Newton-Raphson“, pasii incrementali fiind definiti in raport cu rigiditatea sectionala tangentiala. a. rezistente cilindrice medii b. rezistente cilindrice caracteristice
Figura 4.10 Diagrame constitutive pentru beton a. grinda G 4200 b. pana P 4300
Figura 4.11 Diagrame moment-curbura obtinute pe rezistente medii
Pentru studiul ductilitatii, rezultatele sunt prezentate sintetic in Figura 4.11, sub forma diagramelor comparative moment-curbura. In Tabelul 4.1 sunt prezentati comparativ si factorii de ductilitate de curbura. a. otel clasa C - EN 10080 a. otel PC 52
Figura 4.12 Eforturi comparative in grinda G 4200 la cedare
Rezultatele comparative privind starile de eforturi asociate modului de cedare sunt sintetizate in Figura 4.12 (pentru grinda G 4200) si Figura 4.13 (pentru pana P 4300). Tabelul 4.2 prezinta rotirile sectionale la cedare precum si informatii valorice cu privire la fisurare si cedare.
Tabelul 4.1 Rezultatele sintetice ale analizelor neliniare pentru studiul ductilitatii
Elementul Mcurgere
akNmi ?curgere?10-6
amm-1i ?rupere?10-6
amm-1i ?rupere
akNmi ??=?rupere/?curgere
PC 52 EN 10080 PC 52 EN 10080 PC 52 EN 10080 PC 52 EN 10080 PC 52 EN 10080
G 4200 198.2 196.1 5.41 6.40 52.95 47.80 231.5 224.0 9.78 7.46
P 4300 803.7 789.6 7.35 8.88 16.37 17.15 861.4 843.6 2.26 1.93
Tabelul 4.2 Rezultatele sintetice ale analizelor neliniare privind modul de cedare
Elementul ?rupere?10-6
amm-1i Mfisurare/Mrupere ?rupere
akNmi Modul de cedare
PC 52 EN 10080 PC 52 EN 10080 PC 52 EN 10080
G 4200 57.88 53.32 0.20 0.19 191.0 193.8 cedarea simultana a armaturii intinse si a betonului comprimat
P 4300 15.46 16.05 0.06 0.05 712.5 720.0 cedarea betonului dupa intrarea in curgere a armaturii intinse a. otel clasa C - EN 10080 a. otel PC 52
Figura 4.13 Eforturi comparative la cedarea in pana P 4300

4.7 Aplicatie pentru elemente solicitate la compresiune excentrica

Cresterea nivelului de siguranta impus de evolutia standardelor si normelor de proiectare conduce adesea la necesitatea interventiilor in vederea satisfacerii acestuia.
In cazul unei cladiri construita la sfarsitul anilor 1960, la parter s-a constatat ca stalpii de beton armat ai structurii in cadre nu au rezerve suficiente de rezistenta la gruparea speciala de actiuni, in conformitate cu cerintele “Starii Limita de Rezistenta si Stabilitate” reglementata prin STAS 10107/0-90 a5i si P 100-92 a28i. S-a hotarat efectuarea unor analize neliniare pentru stalpi considerand modelele constitutive generate in baza rezistentelor caracteristice ale materialelor. Stalpii (vezi Figura 4.14 pentru stalpul S7) au fost realizati din beton echivalent cu clasa actuala C 16/20 si armati cu armaturi transversale si etrieri din otel moale, de tip OB 37.

Figura 4.14 Sectiune stalp de beton armat S7
Modelele constitutive determinate considerand rezistentele caracteristice ale materialelor sunt prezentate in Figura 4.15. Deoarece etrierii erau dispusi la distante de 300 mm in zonele plastice potentiale, nu s-a luat in considerare efectul de confinare a betonului.
Figura 4.16 prezinta starea de eforturi in stalpul S7, obtinuta prin “Metoda iterarii directe”, sub nivelul de lunga durata al sarcinilor gravitationale. a.beton de clasa C 16/20 b. otel beton OB 37
Figura 4.15 Diagrame constitutive determinate in baza rezistentelor caracteristice
Figura 4.17 prezinta starile de eforturi in stalpul S7, asociate actiunilor din gruparea speciala, obtinute de asemenea prin “Metoda iterarii directe”. Se poate observa ca atat pentru seismul de pe directia transversala cat si pentru cel de pe diretia longitudinala cedarea are loc prin cedarea zonei comprimate de beton, rezultand necesitatea interventiei pentru consolidarea elementului.

Figura 4.16 Eforturi curente de exploatare in stalpul S7


Figura 4.17 Eforturi in stalpul S7 obtinute in gruparea speciala

Figura 4.18 Consolidarea sectiunii stalpului S7
Consolidarea s-a efectuat prin suplimetarea cantitatii de armatura cu armaturi compozite de tip lamele cu fibre de carbon (vezi Figura 4.18), urmarindu-se obtinerea unui raspuns in domeniul elastic pentru seismul de calcul. La nivelul parterului, forta seismica de calcul s-a introdus cu o valoare a coeficientului de reducere datorita incursiunilor in domeniul postelastic ?=1.0, la celelalte nivele (unde nu s-a inregistrat necesitatea consolidarii) acesta considerandu-se ?=0.25.
Modelul constitutiv liniar pentru lame cu fibre de carbon, prezentat in Figura 4.19, a fost determinat in baza rezistentei minime garantata de fabricant, iar calculele neliniare s-au efectuat prin incrementala “Metoda Newton-Raphson”, pornind cu starea de eforturi din exploatare (vezi Figura 4.16) de la care s-a considerat ca intra sub tensiune armatura suplimentara. Desi in final gradul de confinare a sectiunii stalpului a fost majorat prin prevederea unei armaturi transversale suplimentare de tip tesatura cu fibre unidirectionale din fibra de carbon, nu s-a luat in considerare efectul acesteia asupra modelului constitutiv al betonului. Rezultatele obtinute in noile conditii in gruparea speciala de actiuni sunt prezentate in Figura 4.20.

Figura 4.19 Diagrama constitutiva pentru lamele cu fibre de carbon


Figura 4.20 Eforturi in stalpul S7 obtinute in gruparea speciala dupa consolidare (?=1.0 la parter)

4 ELEMENTE DE BETON ARMAT

Asa cum s-a precizat in capitolul anterior, aplicarea metodelor incrementale de analiza pretinde ajustari de rigiditate cel putin la fiecare increment al sarcinii aplicate. In raport cu schema adoptata, corectia de rigiditate se face dupa valoarea secanta sau tangenta. La nivelul unui element liniar, rigiditatea depinde de:
? constantele elastice corespunzatoare modelelor constitutive ale materialelor (corespunzatoare schemei secante sau tangente);
? caracteristicile geometrice ale sectiunii transversale;
? lungimea barei;
? legaturile barei la extremitati.
Pentru elementele compozite, cum este si cazul elementelor de beton armat si precomprimat, rezolvarea se face prin introducerea notiunii de sectiune ideala.
Considerarea la fiecare pas al analizelor structurale a caracteristicilor geometrice asociate sectiunii ideale asigura:
? aplicarea ipotezelor si relatiilor de calcul sectional furnizate de rezistenta materialelor si/sau teoria elasticitatii pentru fiecare increment al sarcinilor exterioare si al eforturilor interne asociate;
? calculul eforturilor sectionale, corespunzatoare echilibrului, prin integrarea pe domeniul sectiunii a eforturilor unitare in concordanta cu modelele constitutive;
? reevaluarea, la fiecare pas incremental, a proprietatilor de rigiditate prin integrarea pe domeniul sectiunii a constantelor definite de modelele constitutive, cu valoarea lor tangenta sau secanta.

4.1 Elemente de beton armat solicitate la incovoiere simpla

Considerand cazul simplu al solicitarii de incovoiere pura (vezi Figura 4.1), daca se ia ca si referinta modulul tangent initial al materialului component principal (betonul), caracteristicile sectiunii ideale in raport cu axele principale de rigiditate sunt:
? aria
(4.1)
? pozitia axei principale de inertie y-y
(4.2)
? momentul de inertie in raport cu axa y-y
(4.3) unde j este constituentul curent (j=0?l) al sectiunii.
Indicele matricei de beton, materialul principal, este 0. Valoarea secanta asi sau tangenta ati a modulului lui Young , pentru un constituent j, deriva in fiecare punct material al acestuia in functie de tipul de rigiditate considerata, secanta sau respectiv tangenta.

Figura 4.1 Sectiune de beton armat solicitata la incovoiere pura
Considerand functiile polinomiale de gradul doi (vezi Figura 2.24) introduse in capitolul 2, care sintetizeaza modelele constitutive ale materialelor, expresiile modulului lui Young sunt:
? modulul de referinta, care este indicat a fi modulul tangent initial al principalului component, betonul (vezi relatia 2.23.c):
(4.4)
? modulii tangent si secant in fiecare punct material al constituentului j al sectiunii solicitat pe ramura i:
(4.5)
(4.6) unde i=0÷nj (nj este numarul de ramuri al modelului constitutiv pentru constituentul j), si .
Orice material constituent al unei sectiuni compozite are conturul definit de o functie care in varianta explicita este de forma: y=yj(z) (4.7)
Raportarea deformatiei specifice curente de pe sectiune la acelasi sistem de referinta se obtine prin relatia (vezi Figura 4.1)
(4.8)
Introducand relatiile (4.4)?(4.8) in expresiile (4.1) ?(4.3) si aplicand formula lui Green pentru integrale de suprafata, integrarea pe domeniul fiecarui constituent se reduce la rezolvarea unei integrale curbilinii in raport cu variabila z.
Avand in vedere exprimarea polinomiala a modelelor constitutive, astfel de functii se pot integra direct sau cu ajutorul procedeelor de numerice.
Caracteristicile ideale in raport cu rigiditatea tangenta sunt:
? aria ideala:
(4.9)
? pozitia axei principale de inertie y-y:
(4.10)
? momentul de inertie ideal in raport cu axa y-y:
(4.11)
Caracteristicile ideale in raport cu rigiditatea secanta sunt:
? aria:
(4.12)
? pozitia axei principale de inertie y-y:
(4.13)
(4.13)
? momentul de inertie in raport cu axa y-y:
(4.14)
Odata calculate caracteristicile geometrice ale sectiunii ideale, deformatiile specifice in fiecare punct al sectiunii se calculeaza simplu aplicand legea lui Hooke si formula lui Navier:
(4.15) iar eforturile unitare pe sectiune rezulta aplicand relatiile constitutive corespunzatoare pentru deformatia specifica si material:
(4.16) unde i=0÷nj (nj este numarul de ramuri al modelului constitutiv pentru constituentul j), si .
Sub forma incrementala (r=1, 2, 3 …), relatia (4.15) devine:
(4.17) si cresterea eforturilor unitare asociata:
(4.18)
La iteratia r, momentul incovoietor rezidual este:
(4.19) unde My,r este rezultanta eforturilor de incovoiere pe sectiune:
(4.20)

Figura 4.2 Cresteri incrementale pe sectiunea solicitata la incovoiere simpla
Intre doi pasi incrementali apar variatii ale limitelor de integrare. Variatia deformatiilor specifice conduce la necesitatea adaptarii la fiecare pas a modelelor constitutive prin schimbarea limitelor de integrare pe conturul fiecarui constituent. Figura 4.3 prezinta eforturile si deformatii ale matricii de beton (constituentul 0) inainte de aplicarea momentului incremental (echilibrul la pasul r-1) si limitele de integrare asociate acestora.

Figura 4.3 Deformatii si eforturi ale constituentului 0 corespunzatoare incrementului r-1

Figura 4.4 Deformatii si eforturi ale constituentului 0 corespunzatoare incrementului r
Figura 4.4 prezinta eforturile si deformatiile aceluiasi constituent 0 dupa aplicarea incrementului , adica echilibrul corespunzator pasului r.
Din comparatia celor doua figuri rezulta necesitatea reconsiderarii limitelor de integrare pe conturul sectiunii. Practic, acest lucru de poate realiza prin redefinirea la fiecare pas incremental a punctelor (corespunzatoare limitelor de integrare) care definesc conturul fiecarei componente a sectiunii. In cazul incrementarii prin “Metoda iterarii directe” , , etc.

4.2 Elemente de beton armat solicitate la incovoiere oblica

La sectiunile incovoiate oblic (vezi Figura 4.5), procedura este similara, fiind necesare doar cateva operatii suplimentare.
Pe langa caracteristicile geometrice ale sectiunii ideale date de expresiile (4.9)÷(4.11) si (4.12÷4.14) pentru directiile incrementale tangenta si respectiv secanta, trebuie luate in considerare si distanta yi pana la cealalta axa principala de inertie z-z, respectiv momentul de inertie ideal Izi. De asemenea, datorita suprapunerii eforturilor unitare datorate momentelor incovoietoare de pe cele doua directii, variatia modulului lui Young are loc in raport cu ambele coordonate y si z.
Astfel, caracteristicile sectiunii ideale au urmatoarele expresii globale:
? aria
(4.21)
? pozitia axei principale de inertie y-y
(4.22)
? pozitia axei principale de inertie z-z:
(4.23)
? momentul de inertie in raport cu axa y-y:
(4.24)
? momentul de inertie in raport cu axa z-z :
(4.25)
Unghiul ? (vezi Figura 4.5), pe care axa neutra il face cu y-y se calculeaza in baza relatiei:
(4.26) unde ? este unghiul dintre rezultanta momentului incovoietor cu aceeasi axa principala de rigiditate y-y.
Raportand variatia liniara a deformatiilor specifice la directia zcos?, procedand similar ca si in cazul incovoierii drepte, rezulta caracteristicile sectiunii ideale in raport cu axele sale principale de rigiditate. Pentru abordarea incrementala urmarind rigiditatea tangenta se obtine:
? aria ideala:
(4.27)
? pozitia axei principale de inertie y-y:
(4.28)
? pozitia axei principale de inertie z-z:
(4.29)
? momentul de inertie ideal in raport cu axa y-y:
(4.30)
? momentul de inertie ideal in raport cu axa z-z:
(4.31)
Pentru incrementarea dupa rigiditatea secanta rezulta:
? aria ideala:
(4.32)
? pozitia axei principale de inertie y-y:
(4.33)
? pozitia axei principale de inertie z-z:
(4.34)
? momentul de inertie in raport cu axa y-y:
(4.35)
? momentul de inertie in raport cu axa z-z:
(4.36)
Calculul incremental trebuie organizat dupa cum urmeaza:
? se calculeaza caracteristicile geometrice ideale in raport cu axele principale de inertie pentru ?x=0 pe intreg domeniul sectiunii;
? se aplica primul increment (r=1) al momentului incovoietor care se proiecteaza pe cele doua axe principale de inertie si se stabileste starea de deformatie pe sectiune cu relatia:
(4.37)
? se calculeaza inclinarea axei neutre cu relatia (4.26);
? se calculeaza rezultantele eforturilor interioare de incovoiere in raport cu axele principale de inertie cu relatiile:
(4.38)
(4.38)
(4.39)
? se calculeaza momentele incovoietoare reziduale cu relatia (4.19) dupa directiile axelor principale de inertie si se stabilesc urmatoarele incremente ale momentelor incovoietoare;
? se stabilesc limitele de integrare pe contururile constituentilor in raport cu directia zcos? pentru urmatorul pas si se reia procesul, considerand de asemenea eforturile reziduale, pentru r=2, 3,…

4.3 Elemente de beton armat solicitate la compresiune excentrica

La elementele comprimate excentric (vezi Figura 4.6) calculele sectionale sunt similare cu cele